期末专题02 一元二次函数、方程和不等式（含基本不等式）5大考点（期末真题汇编，福建专用）高一数学上学期人教A版

期末专题02 一元二次函数、方程和不等式（含基本不等式）6大考点 5大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次不等式的解集 考点03 基本不等式中“1”的妙用 考点05 基本不等式的综合应用 考点05 实际应用 地 城 考点01 不等式的性质 1．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【详解】，故， 故，故. 故答案为：. 2．(24-25高一上·福建泉州·期末)（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，则，C选项正确. D选项，若，则，D选项错误. 故选：AC 3．(24-25高一上·福建永春第一中学·期末)（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 4．(24-25高一上·福建厦门·期末)（多选）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由对数函数的单调性，不等式的性质逐个判断即可； 【详解】对于A，由单调递增可知：正确； 对于B，取，显然不成立，错误； 对于C：因为，所以正确， 对于D：由， 因为， 所以， 所以    正确， 故选：ACD 5．(24-25高一上·福建三明·期末)（多选）已知正数、满足，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式和不等式性质，结合特殊值，逐个计算验证即可. 【详解】对于A，正数、满足，即，两边平方得到，即， 当且仅当取得最值，但是，则取不到最值，即，故A正确. 对于B，，由，则，则.故B正确. 对于C，假设，满足正数、且，但是，故C错误. 对于D，，即，展开得到，由，得到，故D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 地 城 考点02 一元二次不等式的解集 7．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】当一元二次不等式的解集为这种形式时，说明对应的一元二次方程有两个相等的根，则说明方程有两个相等的根.我们可以根据韦达定理来求解和的值，进而求出的值. 【详解】一元二次不等式的解集为， 则说明方程有两个相等的根. 根据韦达定理，由于方程的根， 那么两根之和，即，解得. 两根之积，解得. 将，代入，可得. 故选：D. 8．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或， 故选：B 9．(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学·期末)已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求出集合、，再根据题意得，可得答案. 【详解】集合或， 集合， 若是的必要不充分条件，则， 所以，解得. 故选：A. 10．(24-25高一上·福建南平·期末)已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）化简集合，，根据集合的补集和并集运算求解； （2）由题意可得，分和讨论求解. 【详解】（1）由，得，， 当时，， 或， . （2）由得， ①当时，，可得即，， ②当时，，可得， 即， ， 综上所述，实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）依据题意并结合补集的定义求解集合即可. （2）将给定条件转化为子集问题，分类讨论参数范围求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以，故或. （2）由得到， （i）当时，， 因为，所以，解得. （ii）当时， 因为，所以，解得. （iii）当时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 12．(24-25高一上·福建漳州·期末)已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合，求得集合及其补集，根据交集运算即可求得答案； （2）根据“”是“”的充分不必要条件，可得，从而可得关于m的不等式，求得答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以， 若，，， 所以． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 地 城 考点03 基本不等式中“1”的妙 13．(24-25高一上·福建厦门·期末)若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 14．(24-25高一上·福建泉州·期末)已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 15．(24-25高一上·福建福州·期末)已知，，若，则（   ） A．mn的最大值为1 B．mn的最大值为2 C．mn的最小值为1 D．mn的最小值为2 【答案】A 【分析】利用基本不等式求乘积的最值. 【详解】由，，则，即，当且仅当时取等号， 所以mn的最大值为1，没有最小值. 故选：A 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 17．(23-24高一上·福建漳州·期末)（多选）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 【答案】BC 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以， 故D错误. 故选：BC 18．(24-25高一上·福建龙岩·期末)（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性求解即可判断A；结合指数运算利用基本不等式求解即可判断B；变形后利用基本不等式求解判断C；结合指数函数单调性利用基本不等式求解判断D． 【详解】对于A，因为，则，故，当且仅当， 即时等号成立，因为在定义域上单调递增， 所以，故A正确； 对于B，由，所以当且仅当， 即时的最小值为8，故B错误； 对于C，由题得，故 ， 所以当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当，即时时等号成立，此时有最小值8，即， 即，又单调递增且，所以，故D正确． 故选：ACD 地 城 考点04 基本不等式的综合应用 19．(23-24高一上·福建莆田莆田第一中学·期末)已知，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】时， 则， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：8. 20．(23-24高一上·福建龙岩·期末)已知，，且，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可． 【详解】由，得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是5． 故选：D 21．(24-25高一上·福建漳州·期末)用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到，从而得，转化成利用基本不等式解决问题. 22．(24-25高一上·福建三明·期末)已知扇形的面积为2，则它的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式、周长公式、基本不等式求解即可. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为， 则，，即， 所以扇形的周长，当且仅当时取等号， 所以扇形的周长的最小值为. 故答案为：. 23．(24-25高一上·福建南平·期末)若函数的图象经过第一象限的点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得，且，利用“1”的代换变换，由基本不等式求解. 【详解】由题可得，且， 则. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 24．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 25．(24-25高一上·福建龙岩·期末)若函数的值域为，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先把函数化简结合指数函数的值域应用已知得出，再结合基本不等式计算得出最大值即可. 【详解】， 因为，所以， 所以函数值域为，故， 则 ，因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为：. 26．(24-25高一上·福建漳州·期末)（多选）如图正方形的边长为1，，分别为边，上的点，且，则（   ） A． B． C．周长为定值 D．面积的最大值为 【答案】AC 【分析】延长到，使，利用三角形全等的判定性质判断BC；结合面积及基本不等式推理判断AD. 【详解】在正方形中，延长到，使，连接，则≌， ，由，得 ，于是≌，，B错误； 周长为，C正确； ， 则，当且仅当时取等号，，D错误； 由，得， 于是，整理得， ，A正确. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题A选项，利用面积关系建立等式是推理论证的关键. 27．(24-25高一上·福建漳州·期末)（多选）已知函数，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数的性质及运算可判断；利用基本不等式求和的最小值可判断；，且，利用函数的单调性求最值可判断. 【详解】对于：，，且， 所以，，即，即， 所以，故错误； 对于：，所以， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 又，所以等号不成立，即，故正确； 对于：， 当且仅当，且，即时等号成立， 又，所以，故错误； 对于：，且， 函数在上单调递增， 所以，即，故正确. 故选：. 地 城 考点05 实际应用 28．(24-25高一上·福建厦门·期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为．    (1)当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； (2)若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 【答案】(1) (2)3小时，， 【分析】（1）分别计算小岛开往上岸点时间和上岸点到城镇所需的时间，相加即可； （2）由题意得到，结合基本不等式求解即可； 【详解】（1）    由题意知，小岛距离上岸点的距离， 小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇的距离， 上岸点到城镇所需的时间， 故甲从小岛到城镇所需的时间为． （2）小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇所需的时间， 记甲从小岛到城镇所需的时间，其中， 所以， 整理得，， 当且仅当，此时，，． 答：当，时，小岛到城镇所需时间最短，为3小时． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题02一元二次函数、方程和不等式（含基本不等式）6大考点 ☆5大高频考点概览 考点01不等式的性质 考点02一元二次不等式的解集 考点03基本不等式中“1”的妙用 考点05基本不等式的综合应用 考点05实际应用 目目 考点01 不等式的性质 1.(24-25高一上·福建莆田第一中学期末)若1<a<4,-2<b<4,则2a-b的取值范围是 2.(24-25高一上·福建泉州期末)（多选）下列命题是真命题的是() A.若a>b,则a+c>b+c B.若a<b<0,则ac<bc 11 C.若a>b>0,则a2>b2 D.若a<b<0,则二< a b 3.(24-25高一上福建永春第一中学期末)（多选）设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是() A.a+b+1≥22 √ab B. 2ab>√ab atb C.a*6 ≥a+b ab .+j[日+》4 4.(24-25高一上福建厦门期末)（多选）已知a>b>0>c,则(). A.In a In b B.a2>c2 C.bex ac D. b-cb a-c a 5.(24-25高一上·福建三明期末)（多选)已知正数a、b满足a+b<2,则下列各式一定成立的是() A.ab<1 B.1+>2 a b C.a2+b2>2 D.a2+b2<4 6.(24-25高一上福建莆田第一中学期末村a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为2，这个质 量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不 等式为+m>(a>b>0,m>0,这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是 a+m a () 1/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.万2 B. 5,5+2 11V11-2 5√3+2 1g7 Ig11 Ig7+1g11 C.logs 5<l0g16 10 D.1+1g7++1g11<1+g7+1gΠ 目目 考点02 元二次不等式的解集 7.(24-25高一上福建漳州期末)己知关于x的一元二次不等式x2+bx+c>0的解集为xx0-1,则bc=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.(24-25高一上福建莆田第一中学期末)已知条件p:x2+3x-4<0;条件q:x-m)(x-m-3>0,若p是 9的充分不必要条件，则实数m的取值范围是() A.（-0,-7)U(1,+0】 B.（-0,-7]U[1,+0】 C.（-7,1 D.[-7, 9.(24-25高一上·福建莆田第二中学、仙游第一中学期末)已知集合 B={xlog;(x+a≥1，若xeA是xeB的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（） A.（-0,0] B.（-o0,0 C.(0,+0) D.0,+0) 10.(24-25高一上福建南平期末)已知集合A={xx2-2x-8≤0，B={x-m+1≤x≤2m-1}. (1)当m=3时，求RB和AUB; (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围 11.(24-25高一上福建泉州期末)已知集合A={xx0a,集合B={x(x)(x-2a)≤0 (1)若a=1,求B和RB: (2)若AUB=A,求实数a的取值范围。 12.(24-25高一上福建漳州·期末)已知集合A= >19 集合B={xm02≤x≤2m. x+1 (I)若m=2,求An(RB); (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 2/5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 基本不等式中“1”的妙 13.(24-25高一上福建厦门期末)若a>0,b>0,a+b=4,则(). B. 1+s1 c.+≥4 L+s4 a b a b a b D. a b 14.(24-25高一上福建泉州期末)已知x>0,y>0,2x+y=1,则y的最大值是（) B.1 c.g D.8 15.(24-25高一上·福建福州期末)已知m>0,n>0,若m+n=2,则() A.n的最大值为1 B.mn的最大值为2 C.mm的最小值为1 D.mm的最小值为2 16.(24-25高一上福建莆田第一中学期末)已知x,y都为正数，且2x+y=1,则2y的最大值为() A. B.4 C.16 D.5 17.(23-24高一上福建漳州期末)（多选）已知a>0,b>0,且a+2b=2,则() A.b的最大值为号 B.。+名的最小值为 9 a b C.a2+4b2的最小值为2 D.（a+2)(b+2)的最大值为8 18.(24-25高一上福建龙岩期末)（多选）已知x>0,y>0,且x+2y=4,则() A.log2x+log2y≤1 B.2+4≤8 C.Vx+1+√2y+3≤4 目目 考点04 基本不等式的综合应用 19.(23-24高一上福建莆田莆田第一中学期未)已知x>2,则x+9 的最小值为一 -2 20.(23-24高一上福建龙岩期末已知x>1,P>1,且x+y-=2则2x+y的最小值是（） A.2√2 B.4 C.4w2 D.5 11 21.(24-25高一上福建漳州期末)用max{a,b表示a与b的最大者，记M=max{4x+ ,-+y 其中x, y'x y都是正数，则M的最小值为() 3/5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2√2 B.3 c.8 D.9 22.(2425高一上·福建三明·期末)已知扇形的面积为2，则它的周长的最小值为」 23.2425高一上福建南平期末)若函数y=-x+2的图象经过第一象限的点4m,,则上+4的最小值 m n 为 24.(2425高一上福建福州第一中学)已知a,B都是锐角，且tana+β)=-1，则tana·tanB的最小值 为」 25.(24-25高一上福建龙岩·期末)若函数f(x) 2产+2-1-a的值域为m,),且-3<a<0,则 2+1 12。的最大值为—一 6m-3n3m+3n 26.(24-25高一上福建漳州期末)（多选）如图正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,DA上的 点，且∠PCQ=45,则() B A.AP·AQ=2PB.QD B.PO<PB+OD C.△APQ周长为定值 D.△APQ面积的最大值为) 27.(24-25高一上福建漳州期末)（多选）已知函数f(x=gx,若0<a<b,且f(a=f(b),则() A.ab<l B.a+2b>2√2 C.2a+b>2√2 D.a-2b<-1 目目 考点05 实际应用 28.(24-25高一上福建厦门期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是12km,某城镇位 于P的正东方向，且与P的距离为21km·甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点M处（其中P, M之间的距离为16km)，,再从M出发步行到达该城镇.己知小船的平均速度为y,km/h,甲的步行速度为 v2 km/h 4/5 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 海岸线 M 城镇 -16km 221km 12km d 小岛 (1)当%=8,2=5时，求甲从小岛到城镇所用时间； (2)若+2=15，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，2· 5/5