上海市格致中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

格致中学 二〇二五学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知全集，若集合，则___________． 2. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 3. 已知，且，则的最小值为______. 4. 已知，且_______ 5. 设等差数列的前项和为，若，则等于______________ 6. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____． 7. 某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为______． 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______. 9. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，，则使不等式成立的的取值范围是______． 10. 已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________. 11. 如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为______. 12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ） A. 可能是锐角 B. 一定是直角 C. 可能大于 D. 一定小于 16. 对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的一个关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题： 命题①：当时，函数不存在区间长度为2的关联区间； 命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间； 则下列选项中正确的是（ ）. A. ①、②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①、②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. （1）求； （2）求的边上的高. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值. 19. 某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. （1）求表中的，的值； （2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； （3）根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 双曲线的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点． （1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且，求b的值； （3）若，且，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：． 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 格致中学 二〇二五学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】4 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】45 【6题答案】 【答案】54 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面是正方形，所以，又因为平面平面， 且平面平面平面，所以平面， 又平面，所以. 由，平面， 所以平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1），. （2） （3）设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 合计 良好 30 20 50 不良好 10 40 50 合计 40 60 100 可知，，，，，. 所以 故假设不成立，有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）由题意，故点的纵坐标满足， 由，所以，所以，，所以双曲线的方程是， 设，则，， 所以， 所以， 又因为，所以 【21题答案】 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $