上海市格致中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

格致中学  二〇二五学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷

（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）

友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 已知全集，若集合，则___________．

2. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________．

3. 已知，且，则的最小值为______.

4. 已知，且_______

5. 设等差数列的前项和为，若，则等于______________

6. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____．

7. 某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为______．

8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______.

9. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，，则使不等式成立的的取值范围是______．

10. 已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________.

11. 如图，中，，，，点是线段一个动点，若以

为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为______.

 

12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

15. 从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（    ）

A. 可能是锐角 B. 一定是直角 C. 可能大于 D. 一定小于

16. 对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的一个关联区间，区间长度为，已知，给出以下两个命题：

命题①：当时，函数不存在区间长度为2的关联区间；

命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间；

则下列选项中正确的是（   ）.

A. ①、②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题

C. ①为假命题，②为真命题 D. ①、②均为假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. 在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为.

（1）求；

（2）求的边上的高.

18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求侧面与底面所成二面角的正切值.

19. 某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：

学业成绩	使用手机小时	使用手机小时
良好		20
不良好		40

记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍.

（1）求表中的，的值；

（2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值；

（3）根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由.