专题3.7 函数的概念与性质40道压轴题型专训（10大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.7 函数的概念与性质40道压轴题型专训（10大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、求函数值 题型二、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型三、分段函数的性质及应用 题型四、根据函数的单调性求参数值 题型五、比较函数值的大小关系 题型六、根据函数的单调性解不等式 题型七、根据分段函数的值域(最值)求参数 题型八、函数奇偶性的应用 题型九、由幂函数的单调性解不等式 题型十、分段函数模型的应用 【经典例题一 求函数值】 1．已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】借助赋值法，令可得①；举出反例可得②；令可得③；令，结合③中所得可得，则，计算可得，即可得④. 【详解】对①：令，则，由，故，故①正确； 对②：取，，此时符合题意，但，故②错误； 对③：令，则，当时，有， 当时，有，符合， 综上可得，故③正确； 对④：令，可得，则， 又，则，即， 则，则， 故 ，故④正确； 综上可得：①、③、④正确，②错误，故其中一定成立的个数是个. 2．（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，，故A正确； 又因为，则，故B正确； ，， ，， ，， ，， ，， ，，故D正确； 但没有足够条件判断C的正误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，则__________． 【答案】 【分析】采用“赋值法”求函数值. 【详解】已知，且， 令得：； 则 令得：； 进而得到，解得 所以. 故答案为：. 4．已知函数，若对任意实数，都有求．其中代表不超过的最大整数． 【答案】1650 【分析】赋值得到，，从而得到当时，，计算出出答案. 【详解】，故， 取， 取， 取， 取，则． 所以， 当时，，当时，， 当时，，……，当时，， 于是． 【经典例题二 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 6．（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．恰有1个零点 【答案】ACD 【分析】求定义域判断A，根据函数的单调性，求得函数的值域判断B，根据函数单调性，计算判断C，根据函数单调性和函数的值域得出零点个数判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，所以的定义域为，A正确. 对于B，因为函数和均为减函数，所以是减函数， 又因为，所以的值域为，B错误. 对于C，因为，所以，，C正确. 对于D，是减函数，且的值域为，所以恰有1个零点，D正确. 故选：ACD. 7．已知正数满足，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由已知可得，结合>0及z⩽3x，可得，从而可求的范围，化简得到，然后结合对勾函数的性质可求结果． 【详解】∵正数x，y，z满足，∴， 由>0且x>0，y>0可得2y−x>0， ∵z⩽3x，∴， 整理可得，， ∴， ∵2y−x>0，∴(3x−2y)(x−y)⩽0，∴， 令，则， 则在上单调递减，在单调递增， 当时，P有最小值，当t=1或t=时，P有最大值， P的取值范围是， 故答案为. 【点睛】本题考查函数的综合运用，考查学生的逻辑推理能力和计算求解能力，解题的关键在于得出的范围，属难题. 8．求下列函数的值域． （1）求函数的值域． （2） 求函数的值域． （3）求函数，的值域． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】试题分析：本题主要考查函数的值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一题，先将变形，使之成为完全平方的形式，再利用确定y的取值范围；第二题，利用判别式法求函数的值域，先将去分母，整理成关于x的方程，讨论前的系数是否为0，当时，直接验证方程是否有实根，当时，利用，保证方程有实根，从而解出y的范围；第三题，利用换元法求函数的值域，令，则， 所以，再利用x的范围，求和的范围，最后利用不等式的性质计算y的取值范围. 试题解析：(1) . 当时，y取最小值， 所以函数值域是． （2）由函数解析式得. ①当时，①式是关于x的方程有实根． 所以，解得. 又当时，存在使解析式成立， 所以函数值域为． （3）令， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 所以该函数值域为． 考点：函数的值域. 【经典例题三 分段函数的性质及应用】 9．设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项. 【详解】解:如图所示:由题意可得中，. 中，当时，，. 当时，，. 当时，，. 当，恒有，所以不正确，也不正确； 中，从图象上看，.令，则 所以，即，故正确，不正确. 故选:C.    【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画 的函数图象时，一般地，先画出 的图象，再将 轴下方的图象向上翻折即可. 10．（多选）设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出函数图象，数形结合可得B正确；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果. 【详解】对于A：将分别代入函数，，得到，故，故A错误； 对于B：令，故，解得或， 同一坐标系内画出两函数图象，如下： 观察图像可知当时，， 当时，， 当时，， 所以故B正确； 对于C：观察图象得到值域为，故C正确； 对于D：当时，， 通过观察图象可知函数单调递减，定有；故， 当时，，此时， 因为，所以， 解得或（舍），故； 当时，，此时， ，即，无解； 当时，，由于， 故，无解， 综上：不等式的解集为，故D正确； 故选：BCD. 11．已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当 时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 12．设函数. （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求满足条件的实数的集合. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为；  （Ⅱ）实数的集合为． 【分析】（Ⅰ）由题意有，分类讨论去掉绝对值后即可得出函数的单调递增区间； （Ⅱ）由得，化简得，分类讨论即可得到结论． 【详解】解：（Ⅰ）由题意有， ①当时，，则单调递减， ②当时，，则单调递增， ③当时，，则单调递增， 且， ∴函数的单调递增区间为； （Ⅱ）由恒成立得恒成立， 化简得恒成立， 当时，，不等式恒成立， 当时，，不等式化为恒成立， ∴恒成立，则恒成立， ∴，∴， 综上：实数的集合为． 【经典例题四 根据函数的单调性求参数值】 13．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，代入等式，可得，再令，代入等式，可得，结合函数单调性，有，求解即可. 【详解】设，由题意可知，因为， 令，则，即，所以， 因为函数的定义域为，所以，即， 令，则， 即，所以， 又是定义在上的单调函数，所以， 整理得，解得或（舍）. 故选：A. 14．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 【答案】AB 【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，解得； 当时，，解得， 故不等式的解集为，故A正确， 若为上的减函数，需满足，解得，故B正确， 在上的值域为， 在上的值域： 当时，值域为；当时，值域为， 若的值域为，则当时，，解得，即； 当时，，解得，即， 综上，实数的取值范围为.故C错误. 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，方程有两个解； 当时，则方程有一个解为； 当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解为， 综上，函数在上恰有一个零点的充要条件是或.故D错误. 故选：AB. 15．点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出，根据根据，，即可求出t的取值范围. 【详解】根据，可知抛物线开口向下， 根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为， 则有时，y随x的增大而增大； 当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有， 解得， ∵，， 又∵时，y随x的增大而增大； ∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求， P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求， 当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时， 随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小， 当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有， 继续正方向移动，则有， ∴满足的t的取值范围：， 故答案为：. 16．设函数（其中为常数）. （1）根据实数的不同取值，讨论函数奇偶性； （2）若，且在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，为偶函数，时，为奇函数， 时，为非奇非偶函数。（2），（3） 【分析】（1）先求出的定义域，易得其关于原点对称，求出，进而分两种情况讨论：①若为偶函数，②若为奇函数，分别求出每种情况下的值，综合即可得出答案. （2）用换元法令，，等价于：在区间上单调递减.再分别讨论的范围即可. （3）首先代入，等价于：，在时恒成立.再求的最小值即可. 【详解】（1）定义域为， ，. ①若为偶函数，则对任意均成立. 即：. 整理得：. 因为不恒为，所以，. 即：时，为偶函数. ②若为奇函数，则对任意均成立. 即：. 整理得：. 因为，所以，. 即：时，为奇函数. 综上所述：当时，为偶函数，时，为奇函数， 时，为非奇非偶函数. （2）在区间上单调递减， 令，. 等价于：在区间上单调递减. ①当，即时， 在区间上单调递减，符合题意. ②当，即时，由对勾函数性质知： 在区间上单调递减， 上单调递增. 因为在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述：. （3）由题知： ，在时恒成立. 整理得：，在时恒成立. 令， 等价于：，即可. 当，即时， 所以 【经典例题五 比较函数值的大小关系】 17．已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数赋值的方法，结合具体的函数和进行验证，结合递推关系进行严格证明即可. 【详解】令 ，对任意 ，有： 由此可得递推关系：，进而推出对于正整数，. 下面验证更一般情况. 假设，代入条件得.代入不等式得：   因此，且（因）. 例如，取，则，满足，但， 说明选项A不一定成立，但B成立. 若，满足，且对 有：   此时，选项B成立，但，选项C不成立. 下面严格证明选项B   对于满足条件的任意函数，令，则： 递推可得，因此选项B 一定正确. 综上，只有选项 B（）在所有情况下成立. 故选：B. 18．（多选）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】用特值法判断A,B；用赋值法，结合函数单调性的定义，判断C；根据单调性列不等式，判断D. 【详解】对于A，令，， 则在上单调递增， 此时，所以不一定成立，所以A错误； 对于B，令，因为函数在上单调递增， 所以， 即，所以B正确； 对于C，令，因为是增函数， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以C正确； 对于D，令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； …… 令，因为是增函数， 所以， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：BCD 19．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________. 【答案】c<a<b 【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为，利用单调性比较大小即可. 【详解】因为定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：， 令x=y=0，则f（0）－f（0）=f（0），解得f（0）=0， 设x<y，且满足－1<x<y<1，则， 因为x∈（－1，0）时f（x）<0， 所以，即f（x）－f（y）<0， 所以f（x）<f（y）， 故函数f（x）在（－1，1）上为单调递增函数， 因为， 所以， 取，则， 则， 因为， 所以，即c<a<b. 故答案为：c<a<b. 20．已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. (2)证明： 由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略. 【经典例题六 根据函数的单调性解不等式】 21．定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 22．（多选）对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（    ） A． B．， C．不等式的解集为 D．满足方程的的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据定义可求得A错误；假设B正确，通过讨论可知恒成立，知B错误；分别讨论、、和的情况，由此可得C正确；分别讨论、、和的情况，结合方程有解可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，假设，使得，则， 若，则，； 若，则，； 不存在，使得，B错误； 对于C，当时，，，即； 当时，，，，即； 当时，，，，； 当时，，，； 综上所述：不等式的解集为，C正确； 对于D，当时，，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，， ，需要，； 当时，，， ，不成立； 综上所述：满足方程的的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 23．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由题意得在的单调性，然后由定义域求得不等式中的取值范围，然后整理不等式，由函数单调性建立不等式，然后解得不等式解集. 【详解】∵， ∴， ∴函数在上单调递减， 不等式中，即， ∴，可得， 即， ∴，解得或， ∴. 故答案为：. 24．已知连续函数满足：①，则有，②当时，． (1)求及的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于不等式． 【答案】(1)；． (2) 设且，则，， ， 所以，即在上单调递减． (3) 【分析】(1) 令，得到，再令，即可得到结果； (2) 设且，则，，根据定义即可求； (3) 由，得到 ，根据题意，转化为，即可得到. 【详解】（1）令，则，所以； 令，则， 所以． （2）略 （3）由，即， 即，即， 又因为，故， 所以，即， 故，即． 所以不等式的解集为. 【经典例题七 根据分段函数的值域(最值)求参数】 25．设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 26．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求得，再画出函数的图象，结合图象求出的范围即可判断得解. 【详解】由，解得；由，得或， 则函数的图象（实线部分）如图，其中，    当时，由，得；由，得， 当或，由，得或；由，得， 图象中点 观察图象知，当或时，函数在上的值域为， 当时，，当时，， 因此的取值范围是，选项ABC满足题意，D不满足题意. 故选：ABC 27．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分三种情况，分析函数的单调性及值域，即可得实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 28．已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 【答案】(1)和； (2)最大值是1，最小值是0； (3) 时，，；时，，． 【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号化简函数式后，结合二次函数知识可得单调区间； （2）由（1）可得函数在上的单调性，从而得最值； （3）根据和分类讨论作出函数图象，分析函数在开区间上既有最大值又有最小值时，最大值和最小值只有在和处取得，从而可得范围． 【详解】（1）时，， 所以增区间是和； （2）由（1）知在上递增，在上递减，在上递增， ，，又，， 所以在上的最大值是1，最小值是0； （3）， ①当时，函数的图象如图①所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（负值舍去），， 所以，； ②当时，函数的图象如图②所示， 因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间， 所以最大值，最小值只能在和处取得，，， 由解得（正值舍去），， 所以，． 综上，时，，；时，，． 【经典例题八 函数奇偶性的应用】 29．已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】B 【分析】利用两函数的奇偶性推得的周期性，求出在1个周期内的函数值，利用周期性求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则可得①， 因为函数为奇函数，所以 ，即， 已知，则可得， 则，即②， 将①代入，可得，则得， 两式相减得，即 4 为的1个周期， 由可得 4 也是函数的1个周期， 因，由②式，令得，令，得，即 令，得，故，, 又由，可得， ，故有， 又，故. 30．（多选）已知，均是定义域为的函数，且是奇函数，.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若在上恒成立，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A,B，取为代入，根据，的性质化简，再进行联立求解可得，；对C，根据分式不等式求解即可；对D，代入，可得在上恒成立，再参变分离求解即可. 【详解】对A,B，由①，故. 又是奇函数，，故，. 故②. ①-②可得，代入①可得， 故，故A错误，B正确； 对C，即，故，解得，故C正确； 对D，在上恒成立， 即在上恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故，则a的最大值为，故D正确. 故选：BCD 31．已知函数的定义域，对图象上任意两点、，点恒在的图象上，若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，根据题设条件推导出，利用赋值法得出、，进而可推出函数为偶函数，以及、，再利用赋值法求出的值，即可得出，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 即， 令，则， 取，可得，所以， 取，可得，所以， 取，，则，即函数为偶函数， 取，，则，所以， 取，所以， 所以，则， 故，则， 故. 32．已知是定义在上的奇函数，时，. (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象与函数的图象只有原点1个交点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质计算即可得； （2）分与，利用参变分离与二次函数性质讨论即可得. 【详解】（1）当时，，则， 又是奇函数，则， 且有，故， 故； （2）由函数的图象与函数的图象只有原点1个交点， 则时，方程无解，时，无解； 当时，对，有无解， 由，则，则，故； 当时，对，有无解， 由，则，则，故； 综上可得：. 【经典例题九 由幂函数的单调性解不等式】 33．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 34．（多选）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 35．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 36．已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定的值，进而得到的解析式； （2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题； （3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； （3）由，不等式 即为 ， 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 【经典例题十 分段函数模型的应用】 37．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 38．（多选）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】    根据函数图象可得两地之间的距离为，两车行驶了小时，同时到达地，A正确， 段：甲乙同向行驶，甲在后追赶乙； 段：乙休息，其中在段，甲在后追赶乙，在点时甲乙相遇，在段，甲超过乙的休息地继续行驶；乙车中途休息，B错误； 段：乙在后追赶甲，在点时，甲乙同时到达地. 在段，乙休息，，C正确； 在段，，解得， 因为在点时乙开始休息，当甲乙相遇时，甲所需行驶里程为， 则甲乙相遇时所用的时间，D正确. 故选：ACD. 39．某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. 【答案】7200 【分析】根据不同的定价策略建立方程求出购买数量，再结合容量计算总容量即可. 【详解】小瓶装饮用水的数量，当时，最多花费元，而王先生支付了26元，， 设购买小瓶装水瓶，则，解得， 故小瓶装水总容量为毫升， 大瓶装饮用水的数量，已知大瓶每瓶元，支付元，则瓶， 故大瓶装水总容量为毫升， 此时这个水桶中所装饮用水的总容量为毫升. 故答案为：. 40．某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． (1)写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） (2)当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 【答案】(1) (2)当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 【分析】（1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． 【详解】（1）当时， 当时， 综上， （2）当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 函数的概念与性质40道压轴题型专训（10大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、求函数值 题型二、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型三、分段函数的性质及应用 题型四、根据函数的单调性求参数值 题型五、比较函数值的大小关系 题型六、根据函数的单调性解不等式 题型七、根据分段函数的值域(最值)求参数 题型八、函数奇偶性的应用 题型九、由幂函数的单调性解不等式 题型十、分段函数模型的应用 【经典例题一 求函数值】 1．已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，则__________． 4．已知函数，若对任意实数，都有求．其中代表不超过的最大整数． 【经典例题二 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．， D．恰有1个零点 7．已知正数满足，且，则的取值范围是_____． 8．求下列函数的值域． （1）求函数的值域． （2） 求函数的值域． （3）求函数，的值域． 【经典例题三 分段函数的性质及应用】 9．设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 11．已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 12．设函数. （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求满足条件的实数的集合. 【经典例题四 根据函数的单调性求参数值】 13．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 15．点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________. 16．设函数（其中为常数）. （1）根据实数的不同取值，讨论函数奇偶性； （2）若，且在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 【经典例题五 比较函数值的大小关系】 17．已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 19．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________. 20．已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【经典例题六 根据函数的单调性解不等式】 21．定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（多选）对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（    ） A． B．， C．不等式的解集为 D．满足方程的的取值范围是 23．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为__________. 24．已知连续函数满足：①，则有，②当时，． (1)求及的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于不等式． 【经典例题七 根据分段函数的值域(最值)求参数】 25．设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 27．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 28．已知 ，函数 (1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）; (2)当 时，求 在区间 上的最值; (3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）. 【经典例题八 函数奇偶性的应用】 29．已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 30．（多选）已知，均是定义域为的函数，且是奇函数，.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若在上恒成立，则a的最大值为 31．已知函数的定义域，对图象上任意两点、，点恒在的图象上，若，则的值为______． 32．已知是定义在上的奇函数，时，. (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象与函数的图象只有原点1个交点，求实数k的取值范围. 【经典例题九 由幂函数的单调性解不等式】 33．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 35．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 36．已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【经典例题十 分段函数模型的应用】 37．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 38．（多选）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 39．某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. 40．某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． (1)写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） (2)当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $