专题01 幂函数、指数函数与对数函数（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 幂函数、指数函数与对数函数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂指对函数的定义域与值域 1 题型二、幂指对函数的图像判断问题 4 题型三、幂指对函数的过定点问题 6 题型四、幂指对函数的比大小问题 9 题型五、指数函数与对数函数的实际应用 11 题型六、指数函数性质的综合应用（重点） 12 题型七、对数函数性质的综合应用（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂指对函数的定义域与值域 1．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B. 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 3．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数式有意义及二次根式有意义可得． 【详解】由题意，，． 故选：D． 4．（1）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域. 【详解】由，则， 所以的值域为. 故选：C （2）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立，求实数a的取值范围即可. 【详解】由题函数的定义域为R， 所以恒成立，令 当时，不恒成立，舍去； 当时，若恒成立， 则需解得， 综上实数a的取值范围为. 故选：D 6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先由对数函数的定义域得到在R上恒成立，再由判别式求出实数a的取值范围即可. 【详解】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是. 故答案为：. 7．已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型二、幂指对函数的图像判断问题 8．函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【分析】利用特殊值法即可排除错误选项. 【详解】由，排除A，D， 当时，，所以，排除C．故选：B． 9．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，代入特殊点计算判断. 【详解】当时，，， 所以，排除C，D， 当时，，， 所以，排除B. 故选：A 10．在同一直角坐标系中，与的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】 分析两个函数的单调性以及定义域，可得出合适的选项. 【详解】 函数的定义域为，且函数为减函数， 函数的定义域为，因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 故函数在上为减函数，故与的图象大致为C选项中的图象. 故选：C. 11．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 12．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的付符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， ，即函数为偶函数，排除BD选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：A. 13．函数的图像大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断对称性，再结合的符号，即可确定图象. 【详解】由， 所以的定义域是， 又， 所以是奇函数，图象关于原点对称，且. 故选：C 14．已知函数，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由时，和时，排除A、B、D选项即可. 【详解】当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项． 故选：C． 题型三、幂指对函数的过定点问题 15．若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】令真数解得，求出，即可求出函数所过定点. 【详解】令得， 又， 所以函数过定点 即的坐标为 故答案为： 16．函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由得过定点，则，再由“”的代换，利用基本不等式求最值. 【详解】由（且）， 令，则， 即的图象恒过定点，则， 由，所以，， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 17．函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，则，即函数图象过定点．故选：B． 18．已知函数，则的图象经过定点 ；的值域为 . 【答案】 【分析】对于空1，由恒成立可得解；对于空2，由函数的值域和函数在上的值域即可求解. 【详解】因为恒成立，所以令得， 故的图象经过定点； 函数的定义域为R，所以函数的值域为， 因为在上单调递增，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为；. 19．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 20．函数（，且）的图象所经过的定点A在幂函数上，则 ． 【答案】/ 【分析】计算得到，确定幂函数为，代入计算得到答案. 【详解】，，故， 为幂函数，则，解得，故， 在幂函数上，则，，解得. 故答案为： 21．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是 故答案为： 题型四、幂指对函数的比大小问题 22．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数单调递减知，根据函数单调递增知，得到答案. 【详解】 根据函数单调递减知：； 根据函数单调递增知：，故. 故选：. 23.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 24．若实数a，b满足，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可. 【详解】对A，，，因为，所以. 因为幂函数在上为增函数，所以，A错； 对B，因为幂函数在上为增函数，所以成立，B对； 对C，因为，，且幂函数在上为增函数，所以，C错； 对D，因为幂函数在上为增函数，所以，D错； 故选：B. 25．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】 ，， ，， ，， . 故选：D. 26．已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】 ，即. 故选：C. 题型五、指数函数与对数函数的实际应用 27．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 28．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 29．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（     ）参考数据：，. A．3.048分钟 B．4.048分钟 C．5.048分钟 D．6.048分钟 【答案】C 【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可. 【详解】依题意，，，，代入公式得： （分钟）， 故选：C. 30．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【详解】由题得，，代入得 ，求得， 所以，当时，解得， 所以选：B. 31．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（     ）倍（参考数据：） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，， 则，即，从而， 即载波频率变为原来约2倍. 故选：B． 题型六、指数函数性质的综合应用 32．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 33．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 34．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 35．已知函数是奇函数. (1)求a的值，并证明的单调性； (2)若，求t的取值范围. (3)求在区间上的值域. 【答案】(1)，单调性证明见解析． (2)； (3)． 【分析】（1）由奇偶性和单调性定义求解； （2）由奇偶性变形不等式，再由单调性化简不等式，然后解一元二次不等式可得． （3）结合指数函数与不等式的性质求解． 【详解】（1）由题意，即，化简得， 所以，即．此时，定义域是，满足题意． ， 设，且，则，，， 所以，即， 所以在上是减函数，又是奇函数，因此它在上也是减函数． （2）是奇函数，则由得， ，因此时，，时，， ，， 因此由得，解得或． 所以不等式的解集为； （3）， 时，，，所以， 即值域是． 36．已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若在上的最大值为，求a的值． 【答案】（1）偶函数；证明见解析；（2）． 【分析】 （1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分和两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求的值. 【详解】 解：（1）的定义域为， 又， 所以为偶函数； （2）因为为偶函数，当时， ， 若，，函数单调递减，， 若，，函数单调递增， ， 当，， 若，，函数单调递增，， 若，，函数单调递减， ， 综上，． 题型七、对数函数性质的综合应用 37．若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是____________． 【答案】3 【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此； 当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意. 综上所述，，，. 故答案为：3. 38．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________． 【答案】 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可. 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：. 故答案为：. 39．若函数有最小值，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围. 【详解】当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以； 当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 40．已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：作出的图像如图： 当时，由，得，若互不相等，不妨设，因为， 所以由图像可知，由，得， 即，即，则，所以，因为，所以， 即，所以的取值范围是．故答案为：． 41．已知函数且 (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)当时，函数的值域是，求实数与自然数的值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)答案见解析，证明见解析；(3)，. 【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性. （2）利用单调性定义，结合作差法、分类讨论思想求的单调性. （3）由题设得且，结合（2）有在上递减，结合函数的区间值域，求参数a、n即可. (1)由题设有，可得函数定义域为， ， 所以为奇函数. (2)令，则， 又，则， 当时，，即，则在上递增. 当时，，即，则在上递减. (3)由，则，即， 结合（2）知：在上递减且值域为， 要使在值域是，则且，即， 所以，又，故. 综上，，. 1．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 2．已知幂函数在上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数结构特征和单调性列关于参数m的不等式组即可求解. 【详解】由题可得. 故答案为： 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，得，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4．已知 ，，，则a，b，c的大小关系为 .（由大到小的顺序） 【答案】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为幂函数在内单调递增，则，即； 又因为指数函数在定义域R内单调递增，则，即； 综上所述：. 故答案为：. 5．已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 【答案】 【分析】设幂函数，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再分析函数的单调性与奇偶性，利用单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点， 所以，解得，所以， 显然是偶函数，且在上单调递增， 所以， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 6．函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 7．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意； 当，，所以，故D不符合题意，A符合题意. 故选：A. 8．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 9．已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为幂函数，由求得p，再由确定. （2）由（1）得，，按照、和分类讨论，利用二次函数性质求解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，所以或. 当时，在上单调递减，故不符合题意. 当时，在上单调递增，故，符合题意. 所以. （2）由（1），， 当时，即时，在上单调递增； 则当时，有最小值，所以，解得. 当时，即时，则当时，有最小值. 所以，解得，不满足舍去. 当时，即时，则当时，有最小值， 所以，解得，不满足舍去. 综上所述. 10．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【答案】(1) (2)偶函数 (3)单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）利用函数奇偶性的定义判断即可； （3）根据题设易得，进而根据函数单调性的定义求证即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 11．已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为定义在上的增函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）任取，由可得结论； （2）验证可知，由此可得结论； （3）根据，将恒成立的不等式化为，解分式不等式可求得结果. 【详解】（1）为定义在上的增函数，证明如下： 由题意知：的定义域为， 任取，则， ，，，， 为定义在上的增函数. （2）， ， 图象关于点中心对称. （3），，又为上的增函数，， ，， ， 要使得恒成立，只需， ，解得：或， 实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂函数、指数函数与对数函数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂指对函数的定义域与值域 1 题型二、幂指对函数的图像判断问题 4 题型三、幂指对函数的过定点问题 6 题型四、幂指对函数的比大小问题 9 题型五、指数函数与对数函数的实际应用 11 题型六、指数函数性质的综合应用（重点） 12 题型七、对数函数性质的综合应用（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、幂指对函数的定义域与值域 1．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D．R 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 4．（1）函数的值域为（    ） A． B． C． D． （2）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 7．已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型二、幂指对函数的图像判断问题 8．函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   9．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 10．在同一直角坐标系中，与的图象大致是（ ） A．B．C． D． 11．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 13．函数的图像大致是（     ） A．B．C． D． 14．已知函数，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 题型三、幂指对函数的过定点问题 15．若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ． 16．函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 17．函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 18．已知函数，则的图象经过定点 ；的值域为 . 19．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 20．函数（，且）的图象所经过的定点A在幂函数上，则 ． 21．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 题型四、幂指对函数的比大小问题 22．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 23.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 24．若实数a，b满足，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 25．设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 26．已知，，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 题型五、指数函数与对数函数的实际应用 27．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 28．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 29．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（     ）参考数据：，. A．3.048分钟 B．4.048分钟 C．5.048分钟 D．6.048分钟 30．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ） A． B． C． D． 31．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约（     ）倍（参考数据：） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 题型六、指数函数性质的综合应用 32．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 34．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 35．已知函数是奇函数. (1)求a的值，并证明的单调性； (2)若，求t的取值范围. (3)求在区间上的值域. 36．已知函数． （1）判断的奇偶性并证明； （2）若在上的最大值为，求a的值． 题型七、对数函数性质的综合应用 37．若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是____________． 38．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________． 39．若函数有最小值，则a的取值范围为______． 40．已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______. 41．已知函数且 (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并给出证明； (3)当时，函数的值域是，求实数与自然数的值． 1．函数的定义域是 ． 2．已知幂函数在上单调递减，则 ． 3．函数的定义域为 ． 4．已知 ，，，则a，b，c的大小关系为 .（由大到小的顺序） 5．已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 6．函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 7．函数的大致图象是（    ） A．  B．  C．   D．   8．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 9．已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 10．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 11．已知函数． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求证：函数的图象关于点中心对称； (3)若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $