专题01 幂函数（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01幂函数 题型一：判断函数是否为幂函数 题型二：求幂函数的值 题型三：求幂函数的解析式 题型四：根据函数是幂函数求参数 题型五：求幂函数的定义域 题型六：求幂函数的值域 题型七：幂函数的图象的判断及应用 题型八：幂函数过定点问题 题型九：幂函数的奇偶性 题型十：根据幂函数的单调性求参数 题型十一：根据幂函数的单调性解不等式 题型十二：根据幂函数的单调性比较大小 题型一：判断函数是否为幂函数 1．下列函数中的幂函数有 ． ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x； ④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 2．下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求幂函数的值 3．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知幂函数的图象经过点，则 ． 6．已知幂函数的图象过点，则 . 7．已知幂函数的图象过点，则 . 题型三：求幂函数的解析式 8．若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 9．已知幂函数的图象经过点，则 ． 10．已知幂函数的图象经过点，则 . 11．已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 12．已知幂函数的图象过点，则 ． 题型四：根据函数是幂函数求参数 13．已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 14．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 15．“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 16．“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 17．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 . 题型五：求幂函数的定义域 18．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 19．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 20．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 21．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 22．求函数的定义域. 题型六：求幂函数的值域 23．幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 24．设幂函数的图像过点，则的值域是 25．已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 26．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 27．写出函数与的定义域和值域. 题型七：幂函数的图象的判断及应用 28．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 29．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 30．函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 31．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   题型八：幂函数过定点问题 33．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 34．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 35．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 36．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 37．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 题型九：幂函数的奇偶性 38．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 39．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 40．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 41．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 42．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 . 题型十：根据幂函数的单调性求参数 43．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数 . 44．若幂函数在上单调递增，则实数 . 45．幂函数在上单调递减，则的值为 ． 46．已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 47．已知幂函数在上是严格减函数，则 . 题型十一：根据幂函数的单调性解不等式 48．已知，则实数的取值范围是 . 49．已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 50．已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 51．已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 52．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 题型十二：根据幂函数的单调性比较大小 53．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 54．下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 55．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 56．若，请比较两式的大小： ． 57．比较大小： ﹔ . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂函数 题型一：判断函数是否为幂函数 题型二：求幂函数的值 题型三：求幂函数的解析式 题型四：根据函数是幂函数求参数 题型五：求幂函数的定义域 题型六：求幂函数的值域 题型七：幂函数的图象的判断及应用 题型八：幂函数过定点问题 题型九：幂函数的奇偶性 题型十：根据幂函数的单调性求参数 题型十一：根据幂函数的单调性解不等式 题型十二：根据幂函数的单调性比较大小 题型一：判断函数是否为幂函数 1．下列函数中的幂函数有 ． ①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x； ④y＝x－1；⑤y＝x4＋1. 【答案】①④ 【分析】利用幂函数的定义分析判断得解. 【详解】形如的函数叫幂函数. 所以由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数． 故答案为：①④ 2．下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义判断即可得答案. 【详解】利用幂函数的定义：形如的函数叫做幂函数，故只有为幂函数. 故选：A. 题型二：求幂函数的值 3．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 4．若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出，代入求值. 【详解】设，由得，解得，所以， 所以． 故选：C 5．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据函数所过点可得解析式，代入即可求得结果. 【详解】，，，. 故答案为：. 6．已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】27 【分析】将点代入幂函数解析式（含参），求得参数值，即得函数表达式，由此即可求解. 【详解】设，将点代入得，解得， 所以. 故答案为：27 7．已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数过点计算求参，再计算求出函数值. 【详解】幂函数的图象过点， ，解得， ，则 故答案为： 题型三：求幂函数的解析式 8．若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】待定系数法，设幂函数的解析式，代点可得. 【详解】设幂函数，代入点，得，所以， 所以函数的解析式. 故答案为： 9．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】由待定系数法即可代入求解. 【详解】设，则，故，则， 故答案为： 10．已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】设出幂函数的解析式，代入求出参数值即可. 【详解】依题意，设，由函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故答案为： 11．已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 12．已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数所过的点求参数，即可得解析式. 【详解】设幂函数，则，即，得，则． 故答案为： 题型四：根据函数是幂函数求参数 13．已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 14．已知幂函数的定义域为R，则的值为（    ）． A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 15．“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 16．“”是“为幂函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】由幂函数的定义求解出的值，由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】是幂函数， 则，即，解得或， 所以是为幂函数的充分不必要条件， 故选：D 17．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 . 【答案】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论. 【详解】解：幂函数在上单调递减， ，且，求得， 故答案为： 题型五：求幂函数的定义域 18．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 19．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 20．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 21．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 22．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得. 即函数的定义域为 题型六：求幂函数的值域 23．幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 24．设幂函数的图像过点，则的值域是 【答案】 【解析】由图像过点，可得，进而可得值域. 【详解】幂函数的图像过点，所以，解得， 所以，因为， 所以的值域是. 故答案为：. 25．已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式； （2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果. 【详解】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 26．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可； （2）利用函数单调性求值域. 【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），，故的值域为. 27．写出函数与的定义域和值域. 【答案】见解析 【分析】由奇偶性以及幂函数的性质得出定义域以及值域. 【详解】令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 令，定义域为，因为，所以函数为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，故值域为. 题型七：幂函数的图象的判断及应用 28．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【详解】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 29．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 30．函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象确定正确答案. 【详解】，和的图象都过点. 的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B 31．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 32．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 题型八：幂函数过定点问题 33．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 34．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 35．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 36．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点即可求解. 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 37．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 题型九：幂函数的奇偶性 38．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案. 【详解】因为偶函数，则不能为，，可以为，. 又在上是减函数，则. 故选：C 39．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不是； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D 40．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可. 【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误； 对C，，当时，，此时单调递增，故C错误； 对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确. 故选：A. 41．已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 42．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 . 【答案】2 【分析】根据的图象关于轴对称，则为偶数.条件，得到函数在上单调递增，则.结合分类讨论即可. 【详解】的图象关于轴对称，则为偶数时. 又因，则函数在上单调递增，则，解得. 又因为，则，，. 对于，因为函数为偶函数. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 当时，为偶数，函数为偶函数，符合题意. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 故答案为：2. 题型十：根据幂函数的单调性求参数 43．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数 . 【答案】 【分析】根据幂函数系数为并结合单调性即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 当时，在上递减，不符合题意； 当时，在上递增，符合题意； 故答案为：. 44．若幂函数在上单调递增，则实数 . 【答案】6 【分析】根据幂函数定义及性质求解即可. 【详解】由函数为幂函数可知，， 解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 故答案为：6 45．幂函数在上单调递减，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答. 【详解】解：因为函数是幂函数， 则有，解得或， 当时，函数在上单调递增，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，符合题意. 所以的值为 故答案为： 46．已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 47．已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由题意，可得，解得. 故答案为：. 题型十一：根据幂函数的单调性解不等式 48．已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：， 解得：，又， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 49．已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可 【详解】设，则，解得， ， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 50．已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性去函数符号解含参一元二次不等式即可. 【详解】易知，即为奇函数， 由幂函数的单调性知在R上是增函数， 所以， 则得在R上恒成立， 若时，显然不成立， 若时，显然恒成立成立， 若时，则当且仅当时成立， 综上：实数k的取值范围为． 故答案为： 51．已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 52．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围. 【详解】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型十二：根据幂函数的单调性比较大小 53．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】A：在上单调递增，所以，故正确； B：在上单调递增，所以，故错误； C：在上单调递减，所以，故错误； D：在上单调递减，所以，故错误； 故选：A. 54．下列比较大小中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把幂函数的单调性与奇偶性相结合，可判断个选项的准确性. 【详解】对A：因为幂函数在上单调递增，且，所以，故A错误； 对B：因为幂函数为奇函数，在单调递减，，所以，即，故B错误； 对C：因为幂函数为奇函数，在单调递增，，所以，即，故C正确； 对D：因为幂函数为偶函数，在单调递增，，所以，即，故D错误. 故选：C 55．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则及幂函数的性质判断即可. 【详解】解：因为， 又在上单调递减，，所以， 所以. 故选：C 56．若，请比较两式的大小： ． 【答案】< 【分析】利用幂函数的性质比较即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以. 故答案为：< 57．比较大小： ﹔ . 【答案】 < < 【分析】构造对应的幂函数，利用奇偶性、单调性判断大小。 【详解】函数是偶函数，且在上单调递增， ，； 函数在上单调递减， ，. 故答案为：<;< 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $