第4章 幂函数、指数函数与对数函数（知识清单）数学沪教版2020必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 清单01幂函数的概念 一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是 ． 清单02幂函数的图像及性质 1.五种常见幂函数的图象及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R R (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 非奇非 偶函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 2.幂函数y＝xα的性质 (1)当α＞0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　 　和　 　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　 　,函数在区间　 　上单调递增. (2)当α＜0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　 　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　 　,函数在区间　 　上单调递减. 要点诠释：幂函数y＝xα(α为常数)的图象和性质的研究方法:①先研究五种常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象及图象恒过的定点,再研究α取其他一些值（如取0,4.5,-2,-3,,等）的图象和性质;②不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从下到上,相应的幂指数由小变大.即图象绕点(1,1)随着幂指数α的增大按逆时针旋转;③先研究幂函数在第一象限内的图象,再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质. 清单03指数函数的概念 一般地，函数 (a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R 清单04指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 定义域为 值域 值域为 ，即对任何实数，都有ax>0 过定点 过定点 ，图象在x轴上方 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时， 当x>0时， ； 当x<0时， 单调性 在R上是 函数 在R上是 函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于 对称 要点诠释：与指数函数相关的定义域、值域问题及比大小问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 （3）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （4）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （5）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较 清单05对数函数的概念 一般地,函数y＝　 　叫作对数函数,其中　 　是自变量,定义域是　 　. 清单06对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 值域 R 过定点 过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时， ， 当x>1时， 当0<x<1时， ， 当x>1时， 单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 清单07反函数 （1）当a＞0,a≠1时,y＝logax称为y＝ax的反函数.反之,y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地,如果函数y＝f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y＝　 　. （2）反函数的性质:①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 错误：对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点 注意：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言 例题1 已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论不正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 易错点2忽略底数对指数函数性质的影响 错误：本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解. 注意：底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 例题2 已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 易错点3 忽视指数型函数中底数的分类讨论 错误：忽视底数或的范围讨论以致解不完整 注意：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快 例题3设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 ． 易错点4 忽视对数型函数中中底数的分类讨论 错误：忽略对底数和的讨论以致错误 注意：讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论 例题4若函数且在是减函数，则实数的取值范围是 ． 易错点5 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 错误：忽视了函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，没有“定义域优先”的意识导致出错 注意：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想 例题5已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A．B．C． D． 6．如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知幂函数的图象经过点，则函数为（　　） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 9．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 10．函数单调递减区间是 ；值域为 ． 11．若幂函数为偶函数，且在区间上递增，则 . 12．已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为 . 13．已知函数，为奇函数，则 ． 14．已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 15．若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 清单01幂函数的概念 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 清单02幂函数的图像及性质 1.五种常见幂函数的图象及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 2.幂函数y＝xα的性质 (1)当α＞0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(0,0)　和　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　上升　,函数在区间　[0,＋∞)　上单调递增. (2)当α＜0时,y＝xα具有以下两条性质: ①函数的图象都过点　(1,1)　; ②在第一象限内,函数的图象随x的增大而　下降　,函数在区间　(0,＋∞)　上单调递减. 要点诠释：幂函数y＝xα(α为常数)的图象和性质的研究方法:①先研究五种常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象及图象恒过的定点,再研究α取其他一些值（如取0,4.5,-2,-3,,等）的图象和性质;②不同的幂函数在第一象限内指数的变化规律:在直线x＝1的右侧,图象从下到上,相应的幂指数由小变大.即图象绕点(1,1)随着幂指数α的增大按逆时针旋转;③先研究幂函数在第一象限内的图象,再利用函数的奇偶性研究第三或第二象限内的图象与性质. 清单03指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R 清单04指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 定义域为R 值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0 过定点 过定点(0，1)，图象在x轴上方 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 要点诠释：与指数函数相关的定义域、值域问题及比大小问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 （3）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （4）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （5）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较 清单05对数函数的概念 一般地,函数y＝　logax(a＞0,a≠1)　叫作对数函数,其中　x　是自变量,定义域是　(0,＋∞)　. 清单06对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 清单07反函数 （1）当a＞0,a≠1时,y＝logax称为y＝ax的反函数.反之,y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地,如果函数y＝f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y＝　f-1(x)　. （2）反函数的性质:①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 错误：对于幂函数，整数m,n取不同的值，对幂函数的单调性、奇偶性、定义域以及图像分布都有影响，这一点在判断幂函数的性质时是一个容易出错的知识点 注意：幂函数有关的问题，一定要注意幂指数对函数定义域的影响，这也是这类问题的高频错点，另外还要注意平常说的指数符号对应的单调性是相对第一象限而言 例题1 已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论不正确的是（   ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是增函数 【答案】C 【分析】对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：C 易错点2忽略底数对指数函数性质的影响 错误：本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解. 注意：底数对指数函数图像与性质的影响 （1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. ①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 例题2 已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 易错点3 忽视指数型函数中底数的分类讨论 错误：忽视底数或的范围讨论以致解不完整 注意：函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. ②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快 例题3设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知，当时，函数取到最小值，则，然后分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且函数在区间上的最小值为， 故， 当且时，，则，解得； 当且时，，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 易错点4 忽视对数型函数中中底数的分类讨论 错误：忽略对底数和的讨论以致错误 注意：讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论 例题4若函数且在是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数同增异减的单调性性质，分，两种情况讨论，即可确定实数的取值范围. 【详解】因为，令，则， ①当时，单调递减， 因为当时，是减函数，则在上单调递增， 则对称轴且，解得，与矛盾，故此时无解； ②当时，单调递增， 因为当时，是减函数，则在上单调递减， 则对称轴且，解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 易错点5 判断对数型复合函数的单调性忽略定义域 错误：忽视了函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函数问题时，没有“定义域优先”的意识导致出错 注意：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：（1）注意分析对数底数对单调性的影响；（2）树立定义域优先的思想 例题5已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围. 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，解出即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 2．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式，可得出实数的取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】当时，由可得，此时， 当时，由可得，此时， 所以，满足不等式的实数的取值范围是， 因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知函数，则“”是“的图象不经过第二象限”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由函数的图象不经过第二象限得，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于函数的图象不经过第二象限， 所以，， 反之，在且时，或， 所以“”是“的图象不经过第二象限”的必要不充分条件． 故选：B． 4．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 5．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数及偶函数定义可得答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 若，则是偶函数，符合题意； 若，则是奇函数，不符合题意. 即 ，据此可得大致图象符合选项A. 故选：A 6．如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得, 所以的取值范围是. 故选：C 8．已知幂函数的图象经过点，则函数为（　　） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【分析】根据幂函数过点求出解析式，再由奇函数的定义、函数单调性判断即可得解. 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增． 故选：A 9．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的图象性质判断得解. 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 10．函数单调递减区间是 ；值域为 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可，令，求得的范围，结合指数函数的性质可求得值域. 【详解】令， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：；. 11．若幂函数为偶函数，且在区间上递增，则 . 【答案】 【分析】由函数为幂函数、且为偶函数和在区间上递增求出即可. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上递增， 所以为偶数且， 解得：，又， 所以可能为：， 当时，不满足题意， 当时，满足题意， 当时，不满足题意， 故答案为：. 12．已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为 . 【答案】或 【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可. 【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ③当时，差为（舍去）0. 故答案为：或 13．已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】-3 【分析】可根据奇函数的性质来求解与的值，进而得到的值． 【详解】因为函数为奇函数， 所以，当时，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 14．已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 15．若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 【答案】 【分析】由对数函数定义得且，根据单调性求得，再利用复合函数单调性即得函数的递增区间. 【详解】由题意可得且， 由函数在上单调递减，则有， 解得，即， 因函数在上单调递减， 令，解得或， 由在上单调递减，在上单调递增， 故函数的递增区间为. 故答案为：. 16．已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $