27.2.3 相似三角形应用举例（导学案）数学人教版九年级下册

学习笔记记录区 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 27.2.3相似三角形应用举例 导学案 一、学习目标： 1.掌握运用相似三角形知识解决实际问题的方法，能求出无法直接测量的物体高度、宽度. 2.深化对数学建模思想的认识，学会将实际问题抽象为相似三角形模型，增强分析问题、解决问题的实践能力. 重点：运用相似三角形的判定与“对应边成比例”的性质，构建比例式求解实际中无法直接测量的物体高度、宽度等未知量，掌握“判定相似—建立比例—计算求解”的核心逻辑. 难点：将实际问题准确抽象为相似三角形模型，明确模型中两个三角形的对应关系，确保比例式列写正确. 二、学习过程： （一）新课引入 【思考】怎样测量这些非常高大的物体的高度？怎样测量河的宽度？ 世界第三高塔——广州塔 世界上最宽的河——亚马孙河 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． （二）典型例题 一、利用影长测量物体高度 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 【思考】怎样测出 OA 的长？ 【解答】 【小结】利用影长测量物体高度的步骤： ①利用同一时刻物体与影长的比例关系，构建相似三角形模型； ②明确相似三角形的对应边（物体高度对应、影长对应），列出比例式； ③代入已知数据，通过比例运算求解未知物体的高度. 【针对练习】1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一题可译为：如图，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长BF＝15尺，同时立一根长1.5尺的小标杆CD，它的影长DE＝0.5尺，求竹竿AB的长． 2.如图，已知小丽的身高CD是1.6米，她在路灯下的影长AC为2米，此时她与路灯BE的距离BC为3米，且BE⊥AB，CD⊥AB，求路灯BE的高度． 二、利用平面镜反射测量物体高度 【思考】金字塔的高度还有其他测量方法吗？ 【小结】利用平面镜反射测量物体高度的步骤： ①在物体底部 O 点与观测点之间，水平放置一面平面镜A； 观测者移动位置，直到从平面镜中恰好看到物体顶端 B，记下观测者眼睛位置 E 和平面镜 A 的位置； ②测量观测者眼睛到地面的高度 EF、观测者到平面镜的距离 AF、平面镜到物体底部的距离 OA； ③依据光的反射定律：入射角 = 反射角，推导得出△ABO∽△AEF，列出比例式，代入数据计算物体高度 OB. 例2 如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N点处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点处，此时从镜子中恰好看到树顶A(∠CND＝∠ANB).已知小明的眼睛(C点)到地面的高度CD是1.6米，且AB⊥BD，CD⊥BD，求大树AB的高度． 【针对练习】1如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280 cm，AB＝140 cm，球在点E的位置，AE＝35 cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后(∠EFB＝∠DFC)，球刚好弹到点D的位置，求FC的长． 三、测量河宽问题 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ． 【思考】还有其他测量方法吗？ 例4 如图，为了估算河的宽度，我们还可以在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，使 AB 与河垂直，接着选择适当的点 E，过点 E 作与河垂直的垂线，垂足为 C，确定 BC 和AE 的交点 D．已测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，请根据这些数据，求河宽 AB． 【小结】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 【针对练习】1.如下左图，为了测量水塘边 A，B 两点之间的距离，在可以看到 A ，B 的点 E 处，取 AE，BE 延长线上的 D，C 两点，使得 CD∥AB．若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED＝3 m，则 A，B 两点间的距离为_____m． 2.如下右图，点A是河对岸上一点，点A，B，D在一条直线上，点A，C，E在一条直线上，且AD⊥DE，DE∥BC.若BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，则河的宽度AB=_______米. 四、视线遮挡问题 例5 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为 AB＝8 m 和 CD＝12 m， 两树底部的距离 BD＝5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了？ 【小结】解决视线遮挡问题的步骤： ①确定临界状态：当观测者眼睛、左边树顶端、右边树顶端三点共线时，为刚好看不到右边树顶端的临界位置； ②构建相似三角形：利用观测者眼睛高度与两树高度的差值，结合两树底部距离，形成对应相似的直角三角形； ③明确对应边关系：找准相似三角形中 “树高差值” 与 “水平距离” 的对应关系，列出比例式； ④代入数据计算：通过比例运算求出观测者与左边树的最大距离（小于该距离则无法看到）. 【针对练习】1如图，某测量员的眼睛A与标杆的顶端F、电视塔的顶端E在同一直线上．已知此人眼睛距地面的高度AB为1.6米，标杆FC的长为3.2米，BC＝1米，CD＝5米，求电视塔ED的高度． （三）当堂巩固 1.某时刻测得大树的影长为5米，小树的高度及其影长分别为1米、0.5米，则这棵大树的高度为__________米． 2.如图，小明发现教学楼的铭牌上写着“楼高18 m”．他站上一节台阶，正好通过地面的水渍看到了教学楼的顶端．已知小明身高1.65 m，水渍距离教学楼2.25 m，距离小明0.25 m，则这节台阶的高为__________m. 3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它所成的像CD的高度应为__________cm. 4.如图，一条小河的对岸有一棵大树，底部记为点A，大树所对的岸边记为点B，在点B处竖直放置标杆BC，在AB延长线上的点D处竖直放置标杆DE，使得A，C，E三点共线．经测量，BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝5 m，求河宽AB. 5.如图，某同学正向着教学楼(AB)走去，他发现教学楼后面有一座信号塔(DC)，经过了解，教学楼、信号塔的高分别是21.6 m和31.6 m，它们之间的距离(BC)为32 m，该同学的眼睛距地面高度(EF)是1.6 m．当他刚好走到信号塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住的位置时，他与教学楼(AB)之间的距离为多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $