27.2.3 相似三角形应用举例（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“相似三角形应用举例”，通过广州塔、亚马孙河等实例及泰勒斯测量金字塔传说导入，承接相似三角形判定与性质，搭建几何理论到实际应用的桥梁，引导学生解决无法直接测量的长度问题。 以数学建模为核心，通过影长测量、平面镜反射等四类问题，构建“建模—找相似—列比例—求解”闭环，培养抽象能力与推理意识，规范解题过程提升模型表达能力，助力学生用数学眼光观察、思维分析现实问题，为教师提供清晰教学路径与实践素材。

27.2.3相似三角形应用举例 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中的27.2.3相似三角形应用举例，具体内容涵盖运用相似三角形的判定定理和性质，解决现实生活中无法直接测量的物体相关问题，核心是建立实际问题与相似三角形知识的关联. 2.内容解析 从知识体系来看，本节课是相似三角形判定与性质知识的综合应用与深化，承接了前面对相似三角形理论知识的学习，同时搭建了几何理论与实际应用之间的桥梁，是数学知识“源于生活、用于生活”的具体体现.从思想方法来看，本节课的核心是渗透数学建模思想，即引导学生将实际情境中的测量问题，通过提炼、抽象、简化，转化为相似三角形的几何模型，再利用相似三角形的性质求解未知量.这一过程不仅巩固了相似三角形的核心知识，更培养了学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题的能力，为后续更复杂的数学应用问题学习奠定基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：运用相似三角形的判定与“对应边成比例”的性质，构建比例式求解实际中无法直接测量的物体高度、宽度等未知量，掌握“判定相似—建立比例—计算求解”的核心逻辑. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）掌握运用相似三角形知识解决实际问题的方法，能求出无法直接测量的物体高度、宽度. （2）深化对数学建模思想的认识，学会将实际问题抽象为相似三角形模型，增强分析问题、解决问题的实践能力. 2.目标解析 对于目标（1），通过回顾相似三角形的判定定理与性质，结合实际测量问题的情境分析、关键元素提炼，学生能掌握运用相似三角形知识解决实际问题的基本步骤（即抽象模型、判定相似、利用性质列比例式求解），会准确求出无法直接测量的物体高度、宽度等未知量，且能规范书写解题过程. 对于目标（2），通过对不同实际问题（如测量物体高度、宽度等）的共同特征分析、模型构建过程的探究与总结，学生能深化对数学建模思想的认识，明确“实际问题—几何模型—求解—回归实际”的建模流程，学会主动将实际问题抽象为相似三角形模型，在这一过程中增强分析问题、解决问题的实践能力，提升数学应用意识. 三、教学问题诊断分析 学情方面，九年级学生已系统学习了相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）和性质（对应边成比例、对应角相等），具备了一定的几何推理能力和基础的逻辑思维能力，同时在生活中接触过一些简单的测量情境，对“无法直接测量需间接求解”的需求有初步认知.但从问题诊断来看，学生存在几方面的潜在问题：一是抽象建模能力不足，面对实际情境（如含复杂背景的测量问题）时，难以快速剥离无关信息，准确提炼出构成相似三角形的关键几何元素（如被测物体、参照物、光线或视线等形成的三角形）；二是对应关系判断不准，在构建的相似三角形模型中，容易混淆对应边、对应角，导致比例式列写错误；三是对建模的逻辑依据理解不深，即不清楚“为什么能将该实际问题转化为相似三角形模型”，对判定相似的条件在实际情境中的应用缺乏严谨的推理意识；四是解题规范性不足，在书写过程中容易遗漏“判定相似”的关键步骤，直接列比例式求解. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题准确抽象为相似三角形模型，明确模型中两个三角形的对应关系，确保比例式列写正确. 四、教学过程设计 （一）新课引入 【思考】怎样测量这些非常高大的物体的高度？怎样测量河的宽度？ 世界第三高塔——广州塔 世界上最宽的河——亚马孙河 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 【设计意图】以广州塔、亚马孙河等真实且具视觉冲击力的实例，结合泰勒斯测量金字塔的经典传说，创设生活化、趣味性的问题情境，既引发对 “无法直接测量的长度如何求解” 的思考，又自然关联相似三角形的实际应用价值，为新课知识的引入搭建认知桥梁，激发探索欲望. （二）典型例题 一、利用影长测量物体高度 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO． 【思考】怎样测出 OA 的长？ 点 O 是金字塔底面正方形的中心，金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则 OA 的长等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和． 【分析】 【解答】 解：太阳光是平行光线， 因此 ∠BAO＝∠EDF． 又 ∠AOB＝∠DFE＝90°， ∴△ABO∽△DEF． ∴=， ∴BO===134(m). 因此金字塔的高度为 134 m． 【小结】利用影长测量物体高度的步骤： ①利用同一时刻物体与影长的比例关系，构建相似三角形模型； ②明确相似三角形的对应边（物体高度对应、影长对应），列出比例式； ③代入已知数据，通过比例运算求解未知物体的高度. 【针对练习】1.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一题可译为：如图，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长BF＝15尺，同时立一根长1.5尺的小标杆CD，它的影长DE＝0.5尺，求竹竿AB的长． 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABF＝∠CDE＝90°. 由题意，得AF∥CE.∴∠AFB＝∠CED. ∴△ABF∽△CDE. ∴＝，即＝. 解得AB＝45. 答：竹竿AB的长为45尺． 2.如图，已知小丽的身高CD是1.6米，她在路灯下的影长AC为2米，此时她与路灯BE的距离BC为3米，且BE⊥AB，CD⊥AB，求路灯BE的高度． 解：∵BE⊥AB，CD⊥AB，∴BE∥CD. ∴△ADC∽△AEB. ∴＝， 即＝. 解得BE＝4. 答：路灯BE的高度是4米． 二、利用平面镜反射测量物体高度 【思考】金字塔的高度还有其他测量方法吗？ 【小结】利用平面镜反射测量物体高度的步骤： ①在物体底部 O 点与观测点之间，水平放置一面平面镜A； 观测者移动位置，直到从平面镜中恰好看到物体顶端 B，记下观测者眼睛位置 E 和平面镜 A 的位置； ②测量观测者眼睛到地面的高度 EF、观测者到平面镜的距离 AF、平面镜到物体底部的距离 OA； ③依据光的反射定律：入射角 = 反射角，推导得出△ABO∽△AEF，列出比例式，代入数据计算物体高度 OB. 例2 如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N点处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点处，此时从镜子中恰好看到树顶A(∠CND＝∠ANB).已知小明的眼睛(C点)到地面的高度CD是1.6米，且AB⊥BD，CD⊥BD，求大树AB的高度． 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠CDN＝∠ABN＝90°. 又∠CND＝∠ANB， ∴△CDN∽△ABN. ∴＝，即＝. 解得AB＝24. 答：大树AB的高度为24米． 【针对练习】如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280 cm，AB＝140 cm，球在点E的位置，AE＝35 cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后(∠EFB＝∠DFC)，球刚好弹到点D的位置，求FC的长． 解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°. 又∠EFB＝∠DFC， ∴△BEF∽△CDF. ∴＝， 即＝. 解得FC＝160. 答：FC的长为160 cm. 三、测量河宽问题 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ． 解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST． ∴= ， 即=，=， PQ×90 ＝(PQ＋45)×60． 解得 PQ＝90（m）． 因此，河宽大约为 90 m． 【思考】还有其他测量方法吗？ 例4 如图，为了估算河的宽度，我们还可以在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，使 AB 与河垂直，接着选择适当的点 E，过点 E 作与河垂直的垂线，垂足为 C，确定 BC 和AE 的交点 D．已测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，请根据这些数据，求河宽 AB． 解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD． ∴=，即=， 解得 AB＝100（m）． 因此，河宽大约为 100 m． 【小结】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 【针对练习】1.如下左图，为了测量水塘边 A，B 两点之间的距离，在可以看到 A ，B 的点 E 处，取 AE，BE 延长线上的 D，C 两点，使得 CD∥AB．若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED＝3 m，则 A，B 两点间的距离为___20__m． 2.如下右图，点A是河对岸上一点，点A，B，D在一条直线上，点A，C，E在一条直线上，且AD⊥DE，DE∥BC.若BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，则河的宽度AB=____18___米. 四、视线遮挡问题 例5 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为 AB＝8 m 和 CD＝12 m， 两树底部的距离 BD＝5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了？ 【分析】如图（1），设观察者眼睛的位置为点 F，画出观察者的水平视线 FG，分别交 AB，CD 于点 H，K．视线 FA 与 FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角．由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和 Ⅱ，观察者都看不到． 解：如图（2），假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A，C 恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．∴△AEH∽△CEK． ∴=，即==， 解得 EH＝8 m． 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m时， 由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C． 【小结】解决视线遮挡问题的步骤： ①确定临界状态：当观测者眼睛、左边树顶端、右边树顶端三点共线时，为刚好看不到右边树顶端的临界位置； ②构建相似三角形：利用观测者眼睛高度与两树高度的差值，结合两树底部距离，形成对应相似的直角三角形； ③明确对应边关系：找准相似三角形中 “树高差值” 与 “水平距离” 的对应关系，列出比例式； ④代入数据计算：通过比例运算求出观测者与左边树的最大距离（小于该距离则无法看到）. 【针对练习】如图，某测量员的眼睛A与标杆的顶端F、电视塔的顶端E在同一直线上．已知此人眼睛距地面的高度AB为1.6米，标杆FC的长为3.2米，BC＝1米，CD＝5米，求电视塔ED的高度． 解：过点A作AH⊥ED于点H，交FC于点G. 由题意，得△AFG∽△AEH. ∴＝. 又AG＝BC＝1，AH＝BD＝BC＋CD＝6， FG＝FC－GC＝FC－AB＝1.6. ∴＝. 解得EH＝9.6. ∴ED＝EH＋HD＝EH＋AB＝11.2（米）. 答：电视塔ED的高度为11.2米． 【设计意图】按 “影长测量、平面镜反射测量、河宽测量、视线遮挡” 四大实用场景分类编排例题与练习，聚焦相似三角形的核心应用逻辑，通过 “例题示范 — 思考拓展 — 小结提炼 — 针对练习” 的闭环设计，既强化 “建模 — 找相似 — 列比例 — 求解” 的解题流程，又让学生体会知识在实际问题中的灵活运用，逐步提升几何建模与运算求解能力. （三）当堂巩固 1.某时刻测得大树的影长为5米，小树的高度及其影长分别为1米、0.5米，则这棵大树的高度为_____10_____米． 2.如图，小明发现教学楼的铭牌上写着“楼高18 m”．他站上一节台阶，正好通过地面的水渍看到了教学楼的顶端．已知小明身高1.65 m，水渍距离教学楼2.25 m，距离小明0.25 m，则这节台阶的高为____0.35______m. 3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它所成的像CD的高度应为_____16_____cm. 4.如图，一条小河的对岸有一棵大树，底部记为点A，大树所对的岸边记为点B，在点B处竖直放置标杆BC，在AB延长线上的点D处竖直放置标杆DE，使得A，C，E三点共线．经测量，BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝5 m，求河宽AB. 解：设河宽AB为x m，则AD＝（x＋5）m. 根据题意，得BC⊥AD，DE⊥AD. ∴BC∥DE. ∴△ABC∽△ADE. ∴＝， 即＝， 解得x＝10. 答：河宽AB为10 m. 5.如图，某同学正向着教学楼(AB)走去，他发现教学楼后面有一座信号塔(DC)，经过了解，教学楼、信号塔的高分别是21.6 m和31.6 m，它们之间的距离(BC)为32 m，该同学的眼睛距地面高度(EF)是1.6 m．当他刚好走到信号塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住的位置时，他与教学楼(AB)之间的距离为多少米？ 解：过点E作EG⊥CD，分别交AB，CD于点H，G， 则EF＝HB＝CG＝1.6 m，EH＝FB，HG＝BC＝32 m. ∴AH＝AB－HB＝20，DG＝DC－GC＝30. 由AH∥DG，得△AEH∽△DEG. ∴＝，即＝. ∴＝. 解得EH＝64. 答：他与教学楼（AB）之间的距离为64米． 【设计意图】选取影长测量、平面镜反射、小孔成像、河宽计算、视线遮挡五类典型题型，覆盖课堂核心知识点，通过基础填空与综合解答的梯度设置，既检验学生对相似三角形建模与比例运算的基础掌握情况，又强化知识迁移应用能力，帮助学生及时巩固当堂所学，发现薄弱点并针对性提升. （四）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法. 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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