精品解析：重庆市区县联盟学校2026届高三上学期期中考试数学试卷

重庆市区县联盟学校2026届高三上学期期中考试数学试卷 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据集合，求得集合中的元素，再根据元素的个数，结合集合子集个数的计算公式即可求解. 【详解】由集合，即，解得，， 所以集合，则集合的子集个数为个. 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题“”的否定是“”可得答案. 【详解】命题“”的否定是：“”. 故选：C. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】根据题意，平面向量，，且， 所以，解得. 故选：B 4. 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数是奇函数，是偶函数排除C， 是非奇非偶函数，排除B、 又幂函数在上单调递减，所以为负数，排除D选项， 幂函数是奇函数，且在上单调递减，所以A正确. 故选：A 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式进行移项通分，化为整式不等式，求解即可. 【详解】由不等式，得，即， 所以，解得. 故选：A 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知定义域为的函数满足：，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，可得函数关于成中心对称，且，进而可得，，根据函数的周期性，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以关于成中心对称，， 又，即，所以，所以的周期， 又，且，所以， 令，得到，所以. 故选：B 8. 已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列与的关系，可求得数列为等比数列，进而可求得其通项和前项和，代入不等式，化简，结合不等式即可求解. 【详解】因为，当时，，，解得， 又当时，得，两式相减，整理得到， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，， 代入不等式得， 化简得，所以， 易知对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 令，又易知， 所以当时取得最小值，所以的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数除法，将复数化为一般式，然后根据复数的基本知识，逐项判断即可. 【详解】由，所以，A错； 的虚部为4，B正确； 为纯虚数，C正确； ，D错误． 故选：BC 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式，即可求解的最大值；对于B，通过消元，结合二次函数的图像性质，即可求解；对于C，令，代入已知条件，运用判别式法即可求解；对于D，将变形为，然后展开并利用基本不等式求解. 【详解】对于A：，此时，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C：令，即，则，代入得 ，则有，即，解得， 即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：， 当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，命题有且仅有一个零点，那么（ ） A. 当时，为真命题 B. 当时，为真命题 C. 当为真命题时，可能为 D. 当为真命题时，可能为2 【答案】BC 【解析】 【分析】令得，对求导分析，借助图像分析与的交点情况，得出命题对应的的范围，再判断选项. 【详解】令得，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增且，过点作的切线，设切点为，则，当时，，则有，即或，由图象可知，当（此时零点为或）或（此时零点）时，命题为真命题，所以AD错误，BC正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合补集、交集运算，即可求解. 【详解】由题意得全集，集合，则， 又集合，故. 故答案为： 13. 已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期可求得，再结合三角函数的单调区间即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以函数， 所以有， 解得单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知函数，且满足，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，可得，进而可得，又函数为增函数，所以可得，解不等式即可. 【详解】由题意，函数，化简得， 又，即， 又，即， 又，所以， 所以， 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以， , 所以，所以函数单调递增， 则有，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式，即可求解，进而可求解通项公式； （2）由（1）得，进而可得，从而求得，列方程即可求解. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，所以， 又，所以， 又，，解得， 所以由得到； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 所以，当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 当时，，数列为首项是，公差为的等差数列， 所以， 所以， 又，即，解得（舍）或 16. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行化简，即可求得； （2）由求，结合余弦定理由求，得出为等腰三角形，设BC边的中点为，结合勾股定理可求AD. 【小问1详解】 由条件及正弦定理有， 又由余弦定理， 所以有，所以. 【小问2详解】 由（1）有，， 由，，得 ，解得（负值舍去）， 所以为等腰三角形，设BC边的中点为，则. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆心为坐标原点的单位圆上，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边交该圆于点，点为在轴上的射影，点满足，记. （1）若，求； （2）记的面积为，四边形OACB的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中用写出点的坐标，在直角三角形ODE中求出的值； （2）用分别表示出和，令，得，利用单调性得到取值范围. 【小问1详解】 如图，因为锐角的终边与单位圆交于点， 由题意可知， 所以在直角三角形ODE中， . 【小问2详解】 的面积， 四边形的面积， 则有， 令，则，所以， 因，所以，，所以， 设，所以，所以在上单调递增， 所以的取值范围是. 18. 在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. （1）若，求集合； （2）当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 【答案】（1） （2）（i）； （ⅱ）证明见解析 【解析】 分析】（1）根据题中条件可设且满足，解出，代入求值即可； （2）（i）令，记，则，继而求得，利用,解出方程，进一步计算即可； （ⅱ）记！，满足条件的，有，根据集合中，素数7只出现3次，可得，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 由条件设且满足， 解得， 代入，经计算，均为这三个数的排列， 所以； 小问2详解】 ）当时，记， （i）令，记， 由得 ， 要使得，则有，则，满足条件， 此时，； （ⅱ）记！， 对于满足条件的，有， 注意到在中，素数7只出现3次，故， 否则，若，则有，则， 但中有偶数个7（可能有0个7），而中有奇数个7，矛盾， 又假设存在，使得， 则，矛盾， 所以均为无理数. 19. 已知函数. （1）直线是曲线在处的切线， （i）求和的值； （ii）证明：当时，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）由导数的几何意义计算求解即可；（ii）令，求导，令，求导，根据导数计算即可得证； （2）由题意可得，，进而可得，根据导数计算即可得证时，成立. 【小问1详解】 （i）， 所以切线方程为，故； （ii）由（1）知，，等价于， 令，则， 令， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在使得， 因为在区间上，在区间上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处有最小值，即， 即，所以成立， 【小问2详解】 ，等价于，从而， 令，有， 下面证明时原命题成立： 当时，， 令， 则， 令，则， 令，则， 显然单调递增，且， 所以存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减， ，故，所以，有成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市区县联盟学校2026届高三上学期期中考试数学试卷 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（ ） A B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足：，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数为纯虚数 D. 10 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，命题有且仅有一个零点，那么（ ） A. 当时，为真命题 B. 当时，为真命题 C. 当为真命题时，可能为 D. 当为真命题时，可能为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，集合，，则__________. 13. 已知函数最小正周期为，则的单调递增区间为__________. 14. 已知函数，且满足，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列公差，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，若，求. 16. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆心为坐标原点的单位圆上，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边交该圆于点，点为在轴上的射影，点满足，记. （1）若，求； （2）记面积为，四边形OACB的面积为，求的取值范围. 18. 在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. （1）若，求集合； （2）当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 19. 已知函数. （1）直线是曲线在处的切线， （i）求和的值； （ii）证明：当时，； （2）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $