专题03 对数函数（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题03 对数函数 题型一：对数函数概念 题型二：对数函数解析式 题型三：对数（对数型复合函数）函数定义域 题型四：对数函数（对数型复合函数）图象问题 题型五：求对数函数（对数型复合函数）的值域 题型六：根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 题型七：对数函数（对数型复合函数）的单调性 题型八：根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 题型九：比较大小问题 题型十：对数函数综合问题 题型一：对数函数概念 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 3．函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 4．指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】④ 【分析】由对数函数定义可得. 【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数. ①是指数函数，不是对数函数； ②的系数为，所以不是对数函数； ③真数为，所以不是对数函数； ④满足定义，是对数函数； ⑤真数是，所以不是对数函数. 故④是对数函数. 题型二：对数函数解析式 5．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 6．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的概念直接求解即可. 【详解】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 7．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为 【答案】 【解析】用待定系数法，设对数函数的解析式为，再由其图象过点，求得，得到答案. 【详解】设对数函数为y=logax，则4=loga16，∴a4=16，∴a=2，∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了求对数函数的解析式，指数与对数恒等式的应用，属于基础题. 8．若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 【答案】 【分析】利用待定系数法，结合指对数的互化即可得解. 【详解】将点的坐标代入，得， 所以，解得， 因为且，所以， 所以该对数函数的表达式为. 题型三：对数（对数型复合函数）函数定义域 9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数定义域的求解方法，列出不等式，求解即可. 【详解】若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为. 故选：B. 10．函数的定义域为（   ） A．或 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据对数型函数特点得到不等式组，解出即可. 【详解】由题知解得或，即函数的定义域为或， 故选：A． 11．函数的定义域为（      ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式中真数大于零，分式中分母不为零列不等式，求解即可. 【详解】由题意，，即，解得，且， 因此，定义域为，且， 故选：B. 12．函数的定义域是 【答案】 【分析】按照对数的运算性质计算. 【详解】由题可知：. 故答案为： 13．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由函数特征得到不等式，结合指数函数单调性解不等式，求出定义域 【详解】由已知可得解得．因此，函数的定义域为． 故答案为： 题型四：对数函数（对数型复合函数）图象问题 14．设，函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的单调性和奇偶性，结合特殊值从而判断． 【详解】的定义域为，当时，， ，在上是减函数，且时，， 又， 是偶函数，图象关于y轴对称． 故选：C． 15．画出下列函数的大致图象： (1)． (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由函数为偶函数，结合对数函数的图象，利用对称性作图． （2）利用函数图象的对称变换，把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称即可. 【详解】（1），易知函数为偶函数， 所以函数的图象如图所示： （2）把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，即可得的图象， 如图所示： 16．作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象； （2）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象； （3）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象. 【详解】（1）解：作函数的图象关于轴对称的图象，得到函数的图象， 再将所得图象向上平移个单位，可得函数的图象，如下图所示： （2）解：因为， 所以可以先将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 再作所得图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 最后将所得图象向下平移个单位，得函数的图象， 即为函数的图象，如下图所示： （3）解：作函数的图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 再把所得图象在轴下方的部分翻折到轴上方，可得到函数的图象，如下图所示： 17．根据的图像，作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)函数图像见解析； (2)函数图像见解析； (3)函数图像见解析； (4)函数图像见解析； 【分析】根据对数函数的图像，结合绝对值的性质，通过平移、对称的方法在直角坐标系内画出函数图像即可. 【详解】（1）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示： （2）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分， 函数图像如下图所示： （3）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示： （4）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示： 题型五：求对数函数（对数型复合函数）的值域 18．已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域. 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 19．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得. 【详解】当时，， 当时，， 所以的值域为． 故答案为：. 20．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】根据对数型函数真数范围，再结合对数函数的性质即可求值域. 【详解】（1）因为，且是值域为R的增函数， 所以函数的值域为R. （2）因为，且是值域为R的增函数， 所以函数的值域为R. （3）因为，且是增函数，， 所以函数的值域为. 21．求函数，的值域. 【答案】 【分析】根据对数运算整理函数解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 22．求函数的值域． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再求出的范围即可得到答案. 【详解】，解得， 又因为， 所以， 故， 则函数的值域为. 题型六：根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 23．若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 24．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先说明函数的单调性，求出函数在各段的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增， 当时，当时， 因为的值域是，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 25．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数函数的值域为，可知真数能取到，从而需要满足二次函数值域能包含，最后可确定参数取值范围. 【详解】函数的值域是， 可知函数的值域能包含， 则需要满足，解得， 则实数的取值范围是， 故答案为：. 26．已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 【答案】2（写出中的任意一个实数即可） 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】当时，，因为函数的定义域为，值域为，所以，解得.取. 故答案为：. 27．若函数的值域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 题型七：对数函数（对数型复合函数）的单调性 28．函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，再由对数型复合函数的单调性即可判断； 【详解】由， 可得：或， 易知当时，单调递减； 再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减； 故选：B 29．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对数型复合函数的定义域，再根据对数函数的单调性及二次函数的单调性，利用复合函数的单调性法则求解即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域为， 令在上单调递减. 又在上单调递减，所以在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递减. 故选：A. 30．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真数大于0可得定义域，再结合二次函数性质可得． 【详解】由已知得， 在上递增，在上递减， 所以的增区间是， 故选：C． 31．（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据对数的性质，列不等式即可求解定义域，进而根据复合函数的性质即可求解单调性和值域. 【详解】（1）令，解得， 故函数的定义域为， 又在单调递增，在单调递减，而在单调递增，故的单调递增区间为， 当时，，故最大值为，故函数的值域为， （2）令，则或，故的定义域为， 在单调递减，在单调递增，而为单调递减函数，因此的单调递增区间， 当时，，故的值域为. 故答案为：，，， 32．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】先求得的定义域，再令，然后利用复合函数的单调性求解. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性知：的单调递增区间是. 故答案为：. 题型八：根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 33．函数在上为减函数的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】我们先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性求出的取值范围. 【详解】要使函数有意义，则. 令，其对称轴为. 因为函数的二次项系数，所以其图象开口向上. 当时，函数在上单调递减. 因为函数在上为减函数， 根据复合函数单调性可知，函数在上也要为减函数且. 由，解得. 结合，所以. 故选：C 34．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数， 且对任意的恒成立， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 35．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，分 和两种情况结合列不等式组求出范围即得答案. 【详解】令，则， 函数在区间上严格递减， 当，由函数在区间上严格递增， 则在区间上严格递减，且， 对称轴为， 所以，所以； 当，由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递增，且， 对称轴为， 所以，所以无解； 则实数取值范围是. 故选：C. 36．若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， 所以在R上单调递增，则需满足，解得， 即a的取值范围是. 故答案为： 37．已知函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分，，结合对数函数单调性以及复合函数单调性计算求解参数. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增，即使在上有定义， 由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是， 所以当且仅当且时，满足题意. 所以. 题型九：比较大小问题 38．已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【详解】由，，， 所以， 故答案为： 39．已知，，，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据对数函数单调性，结合临界值可比较出大小关系. 【详解】，，； ，，. 故答案为：. 40．设，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故答案为：. 41．设则a，b，c大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用中间数0和1比大小即可. 【详解】 且 同时 所以，即. 故答案为： 42．设，，，则a，b，c大小关系为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算及对数函数的单调性，结合指数的运算即可求解. 【详解】由题意可知， ， ， 当时，在上单调递增， 因为，即. ，所以. 故答案为：. 题型十：对数函数综合问题 43．已知函数（且，）的图象过点，. (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知点代入函数解析式，解方程组可求的值，得函数的解析式. （2）分析函数的单调性，根据单调性，把函数不等式转化成代数不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点，， 所以，解得. 故. （2）因为，，都为增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故实数的取值范围是. 44．已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域；单调递增区间，单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，由对数的真数大于零可求得函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得函数的增区间和减区间； （2）分析可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，由可得出，解法一：由参变量分法可得出对任意的，所以恒成立，可求得的范围；解法二：令，其中，根据题意得出，可求得的范围；综合即可得解. 【详解】（1）当时，， 由可得，故函数的定义域为， 又二次函数图象的对称轴为， 该函数在单调递增，单调递减，且是单调递增函数， 由复合函数的单调性得，在单调递增，单调递减． 故的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意可知，对，，故，所以． 又任意，恒成立 即，， 因为，所以，所以， 解法一：故恒成立．因为，所以恒成立，所以． 解法二：令，其中， 要使得在恒成立，则，故． 综上，． 45．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，则，函数转化为，，求出二次函数在上的值域，即为函数在上的值域； （2）令，可将所求不等式变形为关于的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出的取值范围，即为所求； （3）令，，则，可得出对于恒成立，由参变量分离法可得对于恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． （2）由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立． 所以，的最小值为． 46．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 47．已知函数. (1)求函数的值域； (2)若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将函数变形再利用基本不等式可以求最值； （2）将条件等价转化为“函数的值域是函数值域的子集”分别用换元法研究两个函数的值域即可. 【详解】（1），当且仅当即时取等号. 函数的值域是. （2）由题意可知函数的值域是函数值域的子集， 设，当时，. 则. 即函数在上的值域是. ， 设，当时，， ， ①当时，函数的值域为，不合题意舍去. ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以函数即函数的值域， 所以，无解. ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以函数即函数的值域， 所以，解得. 综上所述，的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数函数 题型一：对数函数概念 题型二：对数函数解析式 题型三：对数（对数型复合函数）函数定义域 题型四：对数函数（对数型复合函数）图象问题 题型五：求对数函数（对数型复合函数）的值域 题型六：根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 题型七：对数函数（对数型复合函数）的单调性 题型八：根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 题型九：比较大小问题 题型十：对数函数综合问题 题型一：对数函数概念 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数为对数函数，则 ． 4．指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 题型二：对数函数解析式 5．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 6．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 7．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为 8．若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 题型三：对数（对数型复合函数）函数定义域 9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为（   ） A．或 B． C． D．且 11．函数的定义域为（      ） A． B．，且 C． D． 12．函数的定义域是 13．函数的定义域为 ． 题型四：对数函数（对数型复合函数）图象问题 14．设，函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 15．画出下列函数的大致图象： (1)． (2)． 16．作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3). 17．根据的图像，作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：求对数函数（对数型复合函数）的值域 18．已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 19．函数的值域为 ． 20．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 21．求函数，的值域. 22．求函数的值域． 题型六：根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 23．若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 24．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 26．已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 27．若函数的值域是，则的取值范围是 ． 题型七：对数函数（对数型复合函数）的单调性 28．函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 29．函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 30．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 31．（1）的单调递增区间为 ，值域为 ； （2）的单调递增区间为 ，值域为 ． 32．函数的单调递增区间是 . 题型八：根据对数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 33．函数在上为减函数的充要条件为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 37．已知函数在上单调递减，求实数的取值范围. 题型九：比较大小问题 38．已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 39．已知，，，则的大小关系是 ．（用“”连接） 40．设，则a，b，c的大小关系为 ． 41．设则a，b，c大小关系是 ． 42．设，，，则a，b，c大小关系为 . 题型十：对数函数综合问题 43．已知函数（且，）的图象过点，. (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 44．已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 45．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 46．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 47．已知函数. (1)求函数的值域； (2)若使得成立，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $