第4章 幂函数、指数函数与对数函数测试（单元测试·基础卷）数学沪教版2020高一必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知幂函数过点，则 . 【答案】4 【分析】设，代入点的坐标，求出，得到函数解析式，再代值计算即可. 【详解】设，依题意，，解得， 则，故. 故答案为：4. 2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数， 所以且，解得且. 故答案为： 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由对数复合函数有意义即可列出不等式求解. 【详解】要使有意义， 只需：， 即：， 解得： 或 . 故答案为： 4．已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可． 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 5．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 6．函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数、一次函数的性质及单调递减函数的定义，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7．若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 9．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 10．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，相关数学小组成员通过实验得到剩余的细沙量y与时间t满足（b为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为 . 【答案】16 【分析】根据，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，故，则，即可 设经过min，沙漏上方细沙是开始时的，则， 故，故， 故答案为：16 11．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 12．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】2 【分析】令，可得为上的奇函数，由，即可求解. 【详解】， 令， ， 所以为上的奇函数， 则. 故答案为：2. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以， 所以， 故选：A. 14．若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数图象性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 15．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，即可解出. 【详解】由指数函数的图象可知：. 令，解得， 则， 对应只有A选项符合题意. 故选：A 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性估计的取值范围，进而比较大小. 【详解】对：在R上单调递增，则，即； 对：，在上单调递增，则，即； 对：在上单调递减，则，即； 综上所述：. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性，即可求解； （2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数函数的性质即可求解不等式； （2）由已知结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】（1）由题意有：可得， 所以，解得， 故不等式的解集为； （2）因为和在上分别是增函数和减函数， 所以在上为增函数， 所以在上的最小值为， 由题知对恒成立，即对恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由加法封闭定义结合即可证明； （2）由题意得到即可求解； （3）先求出集合B，进而得到列出关于参数a的不等式组即可计算求解； 【详解】（1）：取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的； （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是； （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数概念及单调性可确定的值； （2）由（1）知，先求定义域，再对进行平方求值域即可； （3）根据二次函数动轴定区间讨论求解即可． 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 综上，. （2）由（1）可知，，则， 由，得，所以的定义域为. 所以，其中. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，， 又因为，所以函数的值域为. （3）函数， 当，即时，在区间上单调递增， 最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，最小值为. 综上， 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1．4 2． 3． 4．/0.5 5． 6． 7． 8． 9． 10．16 11． 12．2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 A D A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即．（6分） （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为．（14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（6分） （2）恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为.（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由题意有：可得， 所以，解得， 故不等式的解集为；（6分） （2）因为和在上分别是增函数和减函数， 所以在上为增函数， 所以在上的最小值为， 由题知对恒成立，即对恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是．.（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）：取，，但， 所以不满足对于任意的，，有， 所以区间不是加法封闭的；（4分） （2）因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是；（10分） （3）要使函数有意义， 则， 所以函数的定义域为集合， 因为是乘法封闭的， 所以对于任意的，，有， 所以， 所以满足题意的实数的取值范围是.（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 综上，.（4分） （2）由（1）可知，，则， 由，得，所以的定义域为. 所以，其中. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，， 又因为，所以函数的值域为.（10分） （3）函数， 当，即时，在区间上单调递增， 最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为； 当，即时，在区间上单调递减，最小值为. 综上，（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知幂函数过点，则 . 2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是 3．函数的定义域为 ． 4．已知，则 ． 5．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 6．函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 7．若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 9．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 10．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，相关数学小组成员通过实验得到剩余的细沙量y与时间t满足（b为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为 . 11．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 12．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 14．若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 15．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)求函数在区间上的最小值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第4章 幂函数、指数函数与对数函数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知幂函数过点，则 . 2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是 3．函数的定义域为 ． 4．已知，则 ． 5．已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 6．函数且是上的单调递减函数，则的取值范围是 . 7．若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 9．已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 10．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，相关数学小组成员通过实验得到剩余的细沙量y与时间t满足（b为常数）的函数模型，且实验中记录到经过时，上方还剩下一半细沙，则要使沙漏上方细沙是开始时的，需经过的时间为 . 11．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 12．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 14．若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 15．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围．． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的． (1)证明：区间不是加法封闭的； (2)若区间是加法封闭的，求实数的取值范围； (3)设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)求函数在区间上的最小值 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $