第4章 幂函数、指数函数与对数函数（复习讲义）数学沪教版2020必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（复习讲义） 1. 掌握幂函数定义、图像特征（过定点(1,1)），会根据指数正负、奇偶性判断单调性，并能绘制草图和比较函数值。 2. 理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 3. 理解对数与指数函数的互逆关系，能熟练进行指数式与对数式互化，会解简单指数、对数方程并注意定义域检验。 4. 掌握指数型、对数型复合函数的定义域、值域求法，能根据“同增异减”判断单调性并求单调区间。 5. 了解指数、对数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。 一 幂函数 1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 3. 幂值的大小比较 （1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. （2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. （3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用 利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。 二、指数函数 1.定义：函数叫做指数函数，定义域为. 2.性质： 图 象 性 质 （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）增函数 （4）减函数 （5）; （5）; 3.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 4．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 5.关指数不等关系的常见题型及求解思路 (1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 三、对数函数 1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数. 2.对数函数的图像和性质。 图像 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是增函数 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 四、反函数及其性质 1.若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 2.求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 3.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 题型一 幂函数的概念 【例1】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【变式1-1】已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　) A．2 B．1 C． D．0 【变式1-3】“”是“是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 幂函数的图像与性质 【例2】图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】以下结论正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过、两点 C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大 D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型三 指数函数的定义域与值域 【例3】函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【变式3-1】若函数f(x)＝的定义域是[1,＋∞),则a的取值范围是　　　　.  【变式3-2】函数的值域为____. 【变式3-3】若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 . 题型四 指数函数的图像与性质 【例4】函数的定义域为______________． 【变式4-1】如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是__________ 【变式4-2】已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式4-3】已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）． （1）求a的值； （2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域． 题型五 对数函数的定义域与值域 【例5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式5-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式5-2】函数的最小值为 ． 【变式5-3】函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 题型六 对数函数的图像与性质 【例6】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【变式6-1】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【变式6-2】已知函数，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【变式6-3】已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型七 指对幂函数的比大小 【例7】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型八 指数函数与对数函数性质的综合应用 【例8】已知函数f（x）＝log2（a为常数）是奇函数． （1）求a的值与函数 f（x）的定义域； （2）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围． 【变式8-1】已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求时，的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式8-3】已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）若函数g（x）＝22x+2﹣2x+m⋅2f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值； （3）当k为何值时，讨论关于x的方程[f（x）﹣1+k][f（x）﹣1﹣4k]+2k2+k＝0的根的个数．（请写出详细解答过程） 基础巩固通关测 1．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 2．函数的定义域为 ． 3．若，，，则a，b，c的大小关系是 . 4．已知函数，，都有，则实数的取值范围是 ． 5．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为 . 6．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 7．已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为 . 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 9.已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数（为常数）. (1)是否存在实数，使函数是上的奇函数，若存在求出的值，若不存在，也要说明理由. (2)探索函数的单调性，并利用定义加以证明. (3)当时，求函数的值域. 12．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 能力提升进阶练 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 2．设，则不等式的解集为 . 3．甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则 ． 4．已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 6．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 7．设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 8．已知非常数函数是奇函数，则 . 9．关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 11．已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（复习讲义） 1. 掌握幂函数定义、图像特征（过定点(1,1)），会根据指数正负、奇偶性判断单调性，并能绘制草图和比较函数值。 2. 理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。 3. 理解对数与指数函数的互逆关系，能熟练进行指数式与对数式互化，会解简单指数、对数方程并注意定义域检验。 4. 掌握指数型、对数型复合函数的定义域、值域求法，能根据“同增异减”判断单调性并求单调区间。 5. 了解指数、对数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。 一 幂函数 1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 3. 幂值的大小比较 （1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. （2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. （3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用 利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。 二、指数函数 1.定义：函数叫做指数函数，定义域为. 2.性质： 图 象 性 质 （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）增函数 （4）减函数 （5）; （5）; 3.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 4．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 5.关指数不等关系的常见题型及求解思路 (1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 三、对数函数 1.对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数. 2.对数函数的图像和性质。 图像 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是增函数 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 四、反函数及其性质 1.若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 2.求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 3.指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 题型一 幂函数的概念 【例1】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案. 【解析】解：因为函数是幂函数， 所以设， 代入，得，解得， 所以， 所以. 故选：C. 【变式1-1】已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数，求出实数的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是幂函数，则，解得，故， 因此，. 故选：A. 【变式1-2】已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝(　　) A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】∵f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，∴a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2． 【变式1-3】“”是“是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据是幂函数求出的值，再根据充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】若是幂函数，则，得， 所以“”是“是幂函数”的充要条件， 故选：B. 题型二 幂函数的图像与性质 【例2】图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 【变式2-1】以下结论正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过、两点 C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大 D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 【答案】D 【详解】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.故选：D. 【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集. 【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，此时在R上单调递增， 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：B. 【变式2-3】已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型三 指数函数的定义域与值域 【例3】函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式3-1】若函数f(x)＝的定义域是[1,＋∞),则a的取值范围是　　　　.  【答案】(1,＋∞) 【详解】∵ax-a≥0,∴ax≥a,∴当a＞1时,x≥1.故函数定义域为[1,＋∞)时,a＞1. 【变式3-2】函数的值域为____. 【答案】 【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题. 【详解】解：令， 函数化为 ，即函数的值域为． 故答案为： 【变式3-3】若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 . 【答案】 【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值. 【详解】当时，在上为增函数， 则，解得； 当时，在上为减函数， 则，解得（舍去）； 于是函数，显然在上为增函数， 故当 时，. 故答案为：. 题型四 指数函数的图像与性质 【例4】函数的定义域为______________． 【答案】 【分析】换元，得出，求出的范围，由此可得出的取值范围，即可得出函数的定义域. 【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得. 因此，函数的定义域为，故答案为 【变式4-1】如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是__________ 【答案】 【分析】作直线，由图可知，，，与的大小关系. 【详解】 作直线，由图可得，即. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【解析】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 【变式4-3】已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）． （1）求a的值； （2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域． 【答案】（1）．（2）[，8]． 【分析】（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）．代入计算即可求a的值． （2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可． 【详解】解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，）． 则有： 解得：． （2）由（1）可知， 那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898 ∵x∈[﹣2，1] ∴ 则f（x）98 当，即x＝﹣2时，f（x）max＝8． 当， f（x）min 所以函数的值域为[，8]． 题型五 对数函数的定义域与值域 【例5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 【变式5-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可. 【详解】当时，所以， 所以，即，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式5-2】函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-3】函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分 两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 题型六 对数函数的图像与性质 【例6】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 【变式6-1】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是 故答案为：. 【变式6-2】已知函数，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性，结合可得出关于x的不等式组，解之即可； （2）求出函数的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出的最小值的表达式，结合a的取值范围可解得结果. 【详解】（1）不等式，即，因为， 所以，即，故不等式的解集为. （2）对于函数，由，得，即函数的定义域为， 又，设， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为，的最小值为，所以，得.. 【变式6-3】已知函数，关于的不等式的解集为，且. (1)求的值； (2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解. 【详解】（1）由可得，又，所以， 又因为的解集为，所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以； （2）由（1）可得， 令，则，设， ①当 时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意. 题型七 指对幂函数的比大小 【例7】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，，，所以． 故选：B． 【变式7-1】三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据分数指数幂运算化简，判断的范围，即可得答案. 【详解】由于， ， 故， 故选：B 【变式7-2】设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，， 所以. 故选：B. 【变式7-3】若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 题型八 指数函数与对数函数性质的综合应用 【例8】已知函数f（x）＝log2（a为常数）是奇函数． （1）求a的值与函数 f（x）的定义域； （2）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞1}（2）（﹣∞，1] 【分析】（1）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案； （2）化简f（x）+log2（x﹣1）为log2（1+x），由x的范围求其值域得答案． 【详解】解：（1）∵知函数f（x）＝log2是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴， 即， ∴a＝1． 令，解得：x＜﹣1或x＞1． ∴函数的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1}； （2）f（x）+log2（x﹣1）＝log2（1+x）， 当x＞1时，x+1＞2， ∴log2（1+x）＞log22＝1， ∵x∈（1，+∞），f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立， ∴m≤1， m的取值范围是（﹣∞，1]． 【变式8-1】已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. (1)求函数在上的解析式; (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增函数，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）利用单调递增函数的定义证明； （3）根据奇函数和单调递增函数的性质可得，再转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）当时，， 任取，则,， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； （2）任取，且， ∵ ∴∴， 又∵， ∴∴在上单调递增； （3）由得， ∴∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 【变式8-2】已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求时，的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义分析求解； （2）根据（1）中的结果整理可得，换元令，可得原题意等价于存在，使得成立，根据二次函数结合存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 则时，则，所以. （2）当，则， 对于，即，整理得， 令，可得， 原题意等价于存在，使得成立， 且的图象开口向上，对称轴， 可知在上单调递增，当时，取到最大值32， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式8-3】已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）若函数g（x）＝22x+2﹣2x+m⋅2f（x）的最小值为﹣3，求实数m的值； （3）当k为何值时，讨论关于x的方程[f（x）﹣1+k][f（x）﹣1﹣4k]+2k2+k＝0的根的个数．（请写出详细解答过程） 【答案】（1）a＝﹣1 （2）； （3）当k＝0时，方程①有一个根； 当时，方程①没有根； 当或k＜0或时，方程①有两个根； 当时，方程①有三个根； 当时，方程①有四个根 【分析】（1）利用偶函数满足f（﹣x）＝f（x），求出a的值； （2）对函数变形后利用二次函数的最值求m的值； （3）定义法得到f（x）的单调性，方程通过换元后得到n2﹣3kn﹣2k2+k＝0的根的情况，通过分类讨论最终求出结果． 【详解】解：（1） ， ，∴2ax+2x＝0⇒a＝﹣1； （2）， ∴， 故函数g（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）的最小值为﹣3， 令2x+2﹣x＝t（t≥2）， 故h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）的最小值为﹣3，等价于，或， 解得； （3）由， 令，x2＞x1≥0， 有＝． 由x2＞x1≥0，有，， 可得φ（x2）＞φ（x1），可知函数φ（x）为增函数，故当x≥0时，函数f（x）单调递增， 由函数f（x）为偶函数，可知函数f（x）的增区间为[0，+∞），减区间为（﹣∞，0）， 令n＝f（x）﹣1，有n≥f（0）﹣1＝log22﹣1＝0， 方程[f（x）﹣1+k][f（x）﹣1﹣4k]+2k2+k＝0（记为方程①）可化为（n+k）（n﹣4k）+2k2+k＝0， 整理为n2﹣3kn﹣2k2+k＝0（记为方程②），Δ＝9k2﹣4（﹣2k2+k）＝17k2﹣4k， ①当Δ＜0时，有，此时方程②无解，可得方程①无解； ②当Δ＝0时，k＝0时，方程②的解为n＝0，可得方程①仅有一个解为x＝0； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； ③当Δ＞0时，可得或k＜0， 1°当方程②有零根时，，此时方程2还有一根为，可得此时方程①有三个解； 2°当方程②有两负根时，，可得，不可能； 3°当方程②有两正根时，可得，又由Δ＞0，可得，此时方程①有1个根； 4°当方程2有一正根一负根时，，可得或k＜0， 又由Δ＞0，可得或k＜0，此时方程①有两个根， 由上知：当k＝0时，方程①有一个根； 当时，方程①没有根； 当或k＜0或时，方程①有两个根； 当时，方程①有三个根； 当时，方程①有四个根． 基础巩固通关测 1．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意， 解得：， 故答案为： 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，得，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．若，，，则a，b，c的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 4．已知函数，，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合函数分析可知函数是奇函数，且在上是增函数，从而将问题转化为不等式对于任意实数恒成立，结合二次函数分析即可求解. 【详解】函数的定义域为， 由于， 则，所以函数为定义在上的奇函数． 当时，在上是增函数， 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数， 由可得， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为． 故答案为： 5．已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据过定点，推得，进而推得，结合条件推出，利用“1”的妙用和基本不等式计算即得的最小值. 【详解】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 6．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简函数，可得，进而可得，又函数为增函数，所以可得，解不等式即可. 【详解】由题意，函数，化简得， 又，即， 又，即， 又，所以， 所以， 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以， , 所以，所以函数单调递增， 则有，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为 . 【答案】或 【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可. 【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得； ③当时，差为（舍去）0. 故答案为：或 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 【详解】当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 9.已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义得为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得为增函数，从而得，即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 易知在定义域上单调递增， 由，得到， 所以，解得， 故选：A. 10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得, 所以的取值范围是. 故选：C 11．已知函数（为常数）. (1)是否存在实数，使函数是上的奇函数，若存在求出的值，若不存在，也要说明理由. (2)探索函数的单调性，并利用定义加以证明. (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1)存在，且 (2)函数为上的减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得出，求出的值，可得出函数的解析式，然后利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）判断出函数为上的减函数，然后取，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立； （3）当时，令，可得出，由可得出关于的不等式，解出的取值范围，即为函数的值域. 【详解】（1）若存在实数，使得函数是上的奇函数，则，解得， 故，下面验证函数为上的奇函数， 对任意的，，即函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故当时，函数为上的奇函数. （2）函数在上为减函数，理由如下： 因为， 任取，且，则， 所以 ，即， 故函数在上为减函数. （3）当时，，令，可得，故， 由得，等价于，解得， 故当时，函数的值域为. 12．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 能力提升进阶练 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断确定的递增区间，结合已知求参数范围. 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 2．设，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式. 【详解】当时，单调递增，单调递减， 故单调递减，且； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 解得，与不符，故不等式无解； 当且，即时，，故不等式无解； 当且，即且，不可能成立； 当且，即时，，不等式成立， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 3．甲、乙两位同学同时解关于的方程：．甲写错了常数，得两根及；乙写错了常数，得两根及64．若这个方程的真正的根为，则 ． 【答案】 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 所以. 故答案为：. 4．已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 【详解】当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 6．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 7．设是实数，且若关于的方程有且仅有一解，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分类讨论与时的两种情况，利用函数图像，即可求解. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：当直线与相切时，只有一个交点，故， 故，解得， 当时，在单调递减，在单调递减，作出的图像如下： 又直线恒过定点，当时，直线的斜率， 要使有且仅有一解，则直线与的图像只有一个交点，结合函数图像可知：直线与始终有交点， 综上可得：或 故答案为：或. 8．已知非常数函数是奇函数，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称得到，即可求出，再由奇函数的性质求出，进而求解即可. 【详解】由于函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称，， 由，则，所以，解得， 此时， 则， 所以， 则，故. 故答案为：. 9．关于函数（且），有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数； ④当时，函数的最小值为.其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①：根据分式的意义求定义域即可；对于②：根据基本不等式可得，进而分析定点；对于③：根据对勾函数单调性以及复合函数单调性分析判断；对于④：根据题意结合对数函数单调性求最值即可. 【详解】因为， 对于①：显然，所以函数的定义域为，故①错误； 对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立. 由于只有时的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误； 对于③：当，，则， 因为在内单调递减，且在定义域内单调递减， 所以函数在区间上是严格增函数，故③正确； 对于④：因为，当且仅当时，等号成立， 若，则在定义域内单调递增， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为2. 故选：B. 10．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数， ∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数. 当时，，在上是减函数，不符合题意，故，即. ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 11．已知函数. (1)若，解不等式； (2)若，求在区间上的值域； (3)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，结合指数函数的单调性和二次不等式可得； （2）利用换元法设，结合指数函数和二次函数的单调性可得； （3）先由指数幂的运算得到为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单调性可得. 【详解】（1）若，解不等式, 令，则不等式变为，解得或， 所以由指数函数的单调性可得或， 所以不等式的解集为. （2）若，， 设，因为，所以， 则，对称轴为，开口向上， 所以最小值为，最大值为， 所以在区间上的值域为. （3）若，设，定义域为， ，所以为奇函数， 又由复合函数的单调性可得为递增函数， 所以， 所以恒成立，即恒成立， 令，对称轴为，开口向下， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围. 12．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $