精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

仁寿一中北校区高2025级高一（上）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 11. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在区间上单调递增，则______. 13. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的值； （3）求证：. 17. 某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 18. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数是 定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一（上）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，求得集合，再根据交集定义即可求解结论． 【详解】由题意得， 又， 所以， 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】的否定为， 故选：B 3. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找的真子集即可. 【详解】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集， 故选：C． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可． 【详解】由得，即，解得， 故原不等式的解集为 故选：A 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：A. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于或，结合图象求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递增， 则，解得或. 由函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项中的两函数通过定义域、值域、对应关系等三要素进行逐一分析判断，即可得出结论. 【详解】对于A，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以A正确； 对于B，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即B错误； 对于C，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即C错误； 对于D，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以D正确； 故选：AD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 11. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接代入即可得结果；对于B：代入结合基本不等式分析判断；对于C：可得，结合判别式运算求解；对于D：可得，根据对勾函数性质分析求解即可. 【详解】因为. 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即， 则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即， 因为在内单调递增，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点； （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为： 13. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由该命题为假命题，可知其否定为真命题，分离参数，结合函数单调性可得参数范围. 【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，， 而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 【详解】如图： 长方形周长为，不妨设 ，且，设 在中， ，变形得： 当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算法则直接计算； （2）根据命题的充分必要性可知，分情况讨论和，列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 全集，集合， 若，则， 则，或， 则； 【小问2详解】 设：，：，若是成立的必要不充分条件，则， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）将代入函数求解即可； （3）将代入函数表达式，化简验证即可求证. 【小问1详解】 要使函数有意义，只需，解得， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 【小问3详解】 略 17. 某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 【答案】（1）第二年 （2）20万元 【解析】 【分析】（1）由已知可得，若盈利即，即可求解； （2）设年平均利润为，由基本不等式可得当时年平均盈利达到最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 若开始盈利即， 所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利； 【小问2详解】 设年平均利润为， 则， 当且仅当，即时等号成立， 时，最终获利万元. 18. （1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集. （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（i），； （ii）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，由根与系数的关系求出a、b的值；（ii）不等式可化为，讨论c与2的大小，即可求出不等式的解集； (2讨论和，即可求出不等式恒成立时a的取值范围． 【详解】（1）（i）不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且, 即得，解得，； （ii）不等式可化为，即， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2）当时，不等式化为，对任意实数x恒成立； 当时，应满足，解得， 综上，a的取值范围是 19. 已知函数是 定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）在上为增函数，理由如下. 设，则，，，， 在上为增函数， （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在处有定义则有以及计算出的值； （2）利用定义法证明函数的单调性：设未知数，作差，变形，判断正负，下结论； （3）根据单调性和奇偶性将函数值关系转变为自变量间的关系，完成求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 又.，，. （2）略 （3）， ， 又在上为递增的奇函数， ， 不等式的解集为. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，难度一般.利用函数的单调性和奇偶性解不等式时，可先通过奇偶性将不等式的形式变形为：，然后再根据单调性得到与的大小关系，接着即可求解不等式解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $