精品解析：天津市北京师范大学天津生态城附属学校2026-2027学年高二年级第一学期期中考试数学试卷

北京师范大学天津生态城附属学校 2026-2027学年度高二年级第一学期期中考试数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 2. 已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　） A. ﹣1 B. C. 或﹣2 D. ﹣1或﹣2 3. 设是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 4. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 6. 已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 7. 在空间直角坐标系中，点与点 A. 关于平面对称 B. 关于平面对称 C. 关于平面对称 D. 关于轴对称 8. 如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 9. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 10. 若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 二．填空题（共8个小题，每小题5分，共40分） 13. 已知向量，且，那么______． 14. 两平行直线和的距离为______. 15. 直线与圆：的位置关系是_________． 16. 已知向量,则向量在上的投影向量为________. 17. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为______． 18. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 19. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，若点是圆上点，则点到直线距离的最小值是______． 20. 设椭圆的一个焦点为为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是______． 三．解答题（共4个题，共50分） 21. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求直线和直线交点的坐标． 22. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 23. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求三棱锥P-BCF的体积． 24. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2026-2027学年度高二年级第一学期期中考试数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于， 故倾斜角为． 故选：C． 2. 已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　） A. ﹣1 B. C. 或﹣2 D. ﹣1或﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【详解】根据两直线平行的公式可得，故 解得 故选：A． 3. 设是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再结合椭圆的定义与焦距公式，计算的周长. 【详解】将给定椭圆方程，化为标准形式，可得， 根据椭圆参数的基本关系，代入、，得，即，因此两焦点的间距， 根据椭圆的定义，对椭圆上的点，有， 所以的周长为，故C正确. 4. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 5. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 6. 已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 7. 在空间直角坐标系中，点与点 A. 关于平面对称 B. 关于平面对称 C. 关于平面对称 D. 关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项. 【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C. 【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题. 8. 如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到，从而得到答案． 【详解】解：设， 则， ， 则 所以， 则与所成角为， 所以与所成角的余弦值为0． 故选：D． 9. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 10. 若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对变形，再结合直线过定点，作出图形，数形结合即可得解. 【详解】由可得， 所以曲线是以为圆心，半径为1的圆在x轴上方（包含与x轴的交点）的部分， 直线过定点， 在同一坐标系中作出曲线与直线，如图， 当时，直线，直线与圆相切，符合题意； 当时，若直线过点时，， 若直线过点时，， 数形结合可得若曲线与直线仅有一个交点， 则； 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的性质及直线与圆位置关系的应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题. 11. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程. 【详解】由题可得圆心，半径为6， 是垂直平分线上的点，， ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， ，故点的轨迹方程为. 故选：B. 12. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解. 二．填空题（共8个小题，每小题5分，共40分） 13. 已知向量，且，那么______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，且的横坐标为，所以存在实数，使，即． 得，，于是，. 所以， ． 14. 两平行直线和的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用距离公式计算可得. 【详解】直线，即， 所以两平行线的距离. 故答案为： 15. 直线与圆：的位置关系是_________． 【答案】相交 【解析】 【分析】利用代数法，联立方程求出；几何法，直线上定点到圆心的距离与半径比较；判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：法一：由， 消去，整理得， 则， 所以直线与圆相交； 法二：因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交； 法三：已知直线，即， 所以直线恒过点， ， 所以点在圆的内部， 则直线与圆相交； 故答案为：相交. 16. 已知向量,则向量在上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据公式直接求解，即可得出答案. 【详解】由已知，可得，， 所以向量在上的投影向量为. 故答案为：. 17. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】分直线在两坐标轴截距均为、均不为两类情形，结合直线过定点的坐标分别求解方程即可. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，直线过坐标原点，设直线方程为， 因为直线过点，将点坐标代入方程得，解得，此时直线的方程为，即； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线的方程为，将点代入上述方程，得，解得， 将代入截距式方程，得，整理为一般式为； 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 19. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，若点是圆上点，则点到直线距离的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的圆心坐标，根据圆关于直线对称的圆的方程，即可列出方程组，求出圆的方程，计算圆心到直线的距离，圆上一点到圆外一条直线的距离最小值就等于，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 对称的圆的方程为，圆心，半径为， 所以圆的半径为2， 点和关于直线对称， 直线的斜率为1， 可得方程组，解得， 所以圆的方程为，圆心，半径， 到直线的距离为， 所以圆上点到直线距离的最小值是. 20. 设椭圆的一个焦点为为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即得的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆的定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 因，则得. 三．解答题（共4个题，共50分） 21. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求直线和直线交点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 边的中点为， 直线的斜率， 所以直线方程为， 即. 【小问2详解】 直线的斜率为， 因为， 所以， 所以直线方程为， 即. 【小问3详解】 联立直线和直线的方程可得： ，解得， 所以直线和直线交点的坐标为. 22. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1） 圆的标准方程为 （2） 切线的方程为或 【解析】 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此  ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， 【小问2详解】 圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得  ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 23. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求三棱锥P-BCF的体积． 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，连接， 因四边形为矩形，则，因为棱的中点，则， 又因平面，平面，故平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，先证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）先利用点到平面的距离向量公式求出三棱锥的高，判断为直角三角形，求出其面积，进而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，则两两垂直， 故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则， 故， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量为，易得，， 则点到平面的距离为， 又因，由可得， 故的面积为， 因此三棱锥P-BCF的体积为. 24. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，，且线段的中点为，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出和的值即可； （2）设直线的方程为，且，，，联立椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，写出根和系数的关系；由于是线段的中点，利用中点坐标公式表示出的坐标，利用可求出直线的斜率；因为四边形为平行四边形，可以利用中点坐标公式或，得到关于的方程，解之即可. 【详解】（1）解：设右焦点为，由题意可知，解得. 所以椭圆的方程为. （2）(方法一)解：由题意，设直线的方程为，且.与椭圆方程联立，整理得. 设，，，则，.因此，即. 于是直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得. 设，解得. 在平行四边形中，为中点，从而，即，因此，解得. 所以，直线的方程为或. (方法二)解：求得的过程同方法一，在平行四边形中，有，设，所以. 又因为点在椭圆上，从而，解得. 所以，直线的方程为或. 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $