湖北省武汉市武昌实验中学2025-2026学年高一上学期数学第二次月考模拟试卷

2025-2026学年高一数学上学期第二次月考模拟卷 （测试范围：必修第一册2.1——5.3） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤2}，B＝{x|y＝lg（﹣x2+2x+3）}，则A∩B＝（　C　） A．[﹣3，0） B．[﹣3，3] C．[0，3） D．[0，3] 【解析】 集合A＝{x||x﹣2|≤2}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|y＝lg（﹣x2+2x+3）}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）． 2．已知cos40°＝m，则tan50°等于（　A　） A． B． C． D． 【解析】 ∵cos40°＝m，∴sin50°＝sin（90°﹣40°）＝cos40°＝m，∴cos50°，∴tan50°． 3．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}，则不等式x2+bx+a＞0的解集是（　B　） A．{x|x或x＞1} B．{x|x＜﹣1或} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＜﹣3或x＞2} 【解析】 ∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}，∴﹣3，2是方程ax2﹣bx﹣1≥0的两个根，且a＜0，由韦达定理得，解得a，b，∴不等式x2+bx+a＞0为0，解得x＜﹣1或x，∴不等式x2+bx+a＞0的解集是{x|x＜﹣1或x}． 4．函数在区间[﹣1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（　D　） A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≥2 D．a≤﹣2 【解析】 因为函数是（0，+∞）上的减函数，欲使函数在区间[﹣1，2]上单调递增，应有g（x）＝x2+2ax+a2+1在区间[﹣1，2]上单调递减，且x2+2ax+a2+1＞0，所以，即，解得a≤﹣2，所以a的取值范围是{a|a≤﹣2}． 5．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x﹣1，则有（　B　） A． B． C． D． 【解析】 ∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x＝1对称，且x≥1时函数f（x）＝3x﹣1为单调递增函数，∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）＝f（）∵1 ∴，即 6．已知函数，则不等式f（x﹣1）＜f（2x）的解集为（　D　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D． 【解析】 函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（x），满足f（﹣x）f（x），故f（x）为R上的偶函数．当x≥0时，令t＝2x≥1，由双勾函数的单调性可得在[1，+∞）上为增函数，且s≥2，而t＝2x在[0，+∞）上为增函数，故在[0，+∞）上为增函数，而y＝log2s在[2，+∞）上为增函数，故f（x）在[0，+∞）上为增函数．由f（x﹣1）＜f（2x），得f（|x﹣1|）＜f（|2x|），故|x﹣1|＜|2x|，解得x＜﹣1或，故原不等式的解集为． 7．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x﹣1）为偶函数，则（　A　） A．f（﹣3）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（0）＝0 D．f（3）＝0 【解析】 函数f（x）的定义域为R，由f（x+1）为奇函数，可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），由f（x﹣1）为偶函数，可得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x）＝f（﹣2+x），由f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝0，可得f（1）＝﹣f（1），即f（1）＝0，由f（﹣x）＝f（﹣2+x），可得f（﹣3）＝f（1）＝0，由于f（x）的图象关于点（1，0）对称，所以f（0）≠0，f（﹣1）≠0，f（3）≠0． 8．已知函数，若函数g（x）＝f2（x）﹣af（x）+6有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（　C　） A． B．（4，5] C． D．（4，5） 【解析】 作出f（x）的图象如图所示，令t＝f（x），则g（x）＝0化为t2﹣at+6＝0，方程t2﹣at+6＝0至多有两个不相等实根，由图象可得对于给定的t，f（x）＝t至多有四个根，所以函数g（x）＝f2（x）﹣af（x）+6有8个不同的零点等价于t2﹣at+6＝0在[2，3）内有两个不相等的实根，若t＝2是t2﹣at+6＝0的根，则4﹣2a+6＝0，解得a＝5，此时方程为t2﹣5a+6＝0，另一根为t＝3，由图象可得f（x）＝3有三个实根，则此时g（x）＝f2（x）﹣af（x）+6有7个不同的零点，不符合题意，故g（x）＝f2（x）﹣af（x）+6有8个不同的零点等价于t2﹣at+6＝0在（2，3）内有两个不相等的实根，则，解得2a＜5． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在单位圆中，已知角α的始边和终边分别与单位圆的交点为A（1，0）和P（，），则（　BC　） A．tan B．cos（π+α） C．扇形OAP的面积S D．角α所对的弧长l 【解析】 由题意得，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，终边与单位圆的交点为P（，），所以sinα，cosα，所以∠AOP．，故A错误；，故B正确；扇形OAP的面积，故C正确；角α所对的弧长，故D错误． 10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则下列结论正确的是（　AD　） A．f（0）＝0 B．f（﹣1）是函数f（x）的最大值 C．当x＜0时，f（x）＝﹣x2+2x D．不等式f（x）＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞） 【解析】 ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，故A正确；当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x， 设x＜0，则﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[x2+2x]＝﹣x2﹣2x，故C错误；函数f（x），该函数无最大值，故B错误；当x＞0时，由f（x）＞0，可得x2﹣2x＞0，解得x＞2，当x＜0时，由f（x）＞0，可得﹣x2﹣2x＞0，解得﹣2＜x＜0．∴不等式f（x）＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），故D正确． 11．已知x＞0，y＞0且x+4y＝1，则下列说法正确的是（　AD　） A．的最小值为9 B．xy的最大值为 C．x2+y2的最小值为 D．的最小值为6 【解析】 因为x＞0，y＞0且x+4y＝1，， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为9，故A正确；，故，当且仅当x＝4y，即x，y时等号成立，故B错误；由x+4y＝1得x＝1﹣4y，则，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数m的值为 　　 ．2 【解析】 由题意函数是幂函数，故m2﹣m﹣1＝1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，当m＝2时，y＝x﹣1为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意；当m＝﹣1时，y＝x2，其图象经过第二象限，不符合题意；故m＝2． 13．已知函数是偶函数，则m＝　　 ．2 【解析】 因为函数是偶函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以f（﹣x）＝f（x），即﹣xx，所以2xmx，所以m＝2， 14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，∀x1，x2∈[0，+∞）均有，则不等式的解集为 　　 ．（，+∞） 【解析】 令g（x）＝f（x），因为f（x）+f（﹣x）＝x2，则g（﹣x）＝f（﹣x）f（x）＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，因为∀x1，x2∈[0，+∞）均有，当x1＞x2时，f（x1）f（x2），即g（x1）＞g（x2），当x1＜x2时，f（x1）f（x2），g（x1）＜g（x2），综上，g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）在R上为单调递增的奇函数，由得f（x）f（1﹣x）（1﹣x）2，即g（x）＞g（1﹣x），所以x＞1﹣x，所以x． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简求值： （1）化简：； （2）计算：． 【解析】 （1）原式． （2）原式． 16．（15分）设m为实数，已知函数是奇函数． （1）求m的值； （2）求证：f（x）是R上的增函数； （3）当x∈[﹣1，2）时，求函数f（x）的取值范围． 【解析】 （1）函数是奇函数，则f（0），解得m＝2，经检验，当m＝2时，f（x）为奇函数，所以m的值为2； （2）证明：由（1）可知，，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2），因为x1＜x2，所以，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）是R上的增函数； （3）由（2）可知，函数f（x）在x∈[﹣1，2）上单调递增，所以f（﹣1）≤f（x）＜f（2），即，故函数f（x）的取值范围为． 17．（15分）2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为300（m/s）． （1）当总质比为800时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加300（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln800≈6.7，2.718＜e＜2.719．） 【解析】 （1）由题意可知，v0＝300，800，∴． （2）设300ln，v2600ln，因为要使火箭的最大速度至少增加300m/s，所以v2﹣v1＝600ln300ln300，即2lnln1，所以ln1，即e，∴4e，又∵2.718＜e＜2.719，∴10.872＜4e＜10.876，故在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为11． 18．（17分）已知f（x）定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（﹣2）＝3． （1）求f（2）的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若对∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2f（x）﹣f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]≤1恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】 （1）取x＝y＝0，则f（0+0）＝f（0）+f（0）﹣2，于是f（0）＝2，令x＝2，y＝﹣2，则f（0）＝f（2﹣2）＝f（2）+f（﹣2）﹣2，又f（﹣2）＝3，则f（2）＝1； （2）f（x）是R上的单调递减函数． 证明：任取m，n∈R，m＜n，则f（m）﹣f（n）＝f（（m﹣n）+n）﹣f（n）＝f（m﹣n）+f（n）﹣2﹣f（n）＝f（m﹣n）﹣2，由于当x＜0时，f（x）＞2，易知m﹣n＜0，则f（m﹣n）＞2，故f（m）＞f（n），所以f（x）是R上的单调递减函数． （3）不等式可化为2f（x）﹣2≤f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]+f（2）﹣2，也即f（2x）≤f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）+2]，令a＝t+t﹣1，于是∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有f（2x）≤f（a2﹣ma）恒成立，由于f（x）为R上的单减函数，则∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2x≥a2﹣ma恒成立，即∀m∈[5，7]，a2﹣ma≤﹣6成立，即a2﹣ma+6≤0恒成立；令h（m）＝（﹣a）m+a2+6，它是关于m的一次函数，故只需，解得a∈[2，3]．即，解得．即实数t的取值范围为[，]． 19．（17分）已知函数f（x）． （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）若对任意x1∈[1，2]，都存在x2∈[1，2]使x12﹣2bx1≥f（x2）成立，求实数b的取值范围； （3）设g（x）＝logm﹣1[4x+4﹣x﹣mf（x）]（m＞1，且m≠2），问是否存在实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）证明：设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2），因为x1＜x2，所以，且，所以，f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），因此，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）由条件可知（x2﹣2bx）min≥f（x）min，又（1）知在[1，2]上单调递增，，所以，即在x∈[1，2]恒成立，即在x∈[1，2]恒成立，记，易证h（x）在[1，2]上单调递增，所以，，从而只需，即，所以实数b的取值范围是（﹣∞，]． （3）原问题等价于，其中，首先，必须满足λ2﹣mλ+2＞0在上恒成立，即在在上恒成立，由对勾函数的单调性可得y＝λ在上单调递增，当λ时取得最小值为，所以．1°当1＜m＜2时，，此时u在上单调递增，且u须有最小值1，从而当时u有最小值1，即，解得，不满足1＜m＜2，故舍去；2°当时，u在上须有最大值1， 2.1当，此时u在λ处有最大值，即（）2﹣m（）+2＝1，解得m，不满足，故舍去；2.2当，此时u在λ处有最大值，即（）2﹣m（）+2＝1，解得m，不满足，故舍去．综上可知，不存在这样的实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 10:46:28；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第二次月考模拟卷 （测试范围：必修第一册2.1——5.3） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤2}，B＝{x|y＝lg（﹣x2+2x+3）}，则A∩B＝（　　） A．[﹣3，0） B．[﹣3，3] C．[0，3） D．[0，3] 2．已知cos40°＝m，则tan50°等于（　　） A． B． C． D． 3．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是{x|﹣3≤x≤﹣2}，则不等式x2+bx+a＞0的解集是（　　） A．{x|x或x＞1} B．{x|x＜﹣1或} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＜﹣3或x＞2} 4．函数在区间[﹣1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≥2 D．a≤﹣2 5．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝3x﹣1，则有（　　） A． B． C． D． 6．已知函数，则不等式f（x﹣1）＜f（2x）的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D． 7．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x﹣1）为偶函数，则（　　） A．f（﹣3）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（0）＝0 D．f（3）＝0 8．已知函数，若函数g（x）＝f2（x）﹣af（x）+6有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（4，5] C． D．（4，5） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在单位圆中，已知角α的始边和终边分别与单位圆的交点为A（1，0）和P（，），则（　　） A．tan B．cos（π+α） C．扇形OAP的面积S D．角α所对的弧长l 10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则下列结论正确的是（　　） A．f（0）＝0 B．f（﹣1）是函数f（x）的最大值 C．当x＜0时，f（x）＝﹣x2+2x D．不等式f（x）＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞） 11．已知x＞0，y＞0且x+4y＝1，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为9 B．xy的最大值为 C．x2+y2的最小值为 D．的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数m的值为 　 　 ． 13．已知函数是偶函数，则m＝　 　 ． 14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝x2，∀x1，x2∈[0，+∞）均有，则不等式的解集为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简求值： （1）化简：； （2）计算：． 16．（15分）设m为实数，已知函数是奇函数． （1）求m的值； （2）求证：f（x）是R上的增函数； （3）当x∈[﹣1，2）时，求函数f（x）的取值范围． 17．（15分）2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为300（m/s）． （1）当总质比为800时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加300（m/s），求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：ln800≈6.7，2.718＜e＜2.719．） 18．（17分）已知f（x）定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（﹣2）＝3． （1）求f（2）的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并证明； （3）若对∀x∈[﹣3，3]，∀m∈[5，7]，都有2f（x）﹣f[t2+t﹣2﹣m（t+t﹣1）]≤1恒成立，求实数t的取值范围． 19．（17分）已知函数f（x）． （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）若对任意x1∈[1，2]，都存在x2∈[1，2]使x12﹣2bx1≥f（x2）成立，求实数b的取值范围； （3）设g（x）＝logm﹣1[4x+4﹣x﹣mf（x）]（m＞1，且m≠2），问是否存在实数m，使函数g（x）在[1，2]上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $