精品解析：天津市河北区2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题

河北区2025-2026学年度第一学期期中高三年级质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件，互斥，那么 ·如果事件，相互独立，那么 ·圆柱的侧面积公式 ·圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径，表示母线的长 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中间值，比较这三个数的大小. 【详解】，， ，， ，， . 故选：B. 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 5. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知图象关于原点对称，可知函数为奇函数，判断选项A和B错误；函数图象过原点判断选项C错误，分析选项D的函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负，及函数值正负的规律得解. 【详解】图象关于原点对称，则函数为奇函数； 选项A，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项A错误； 选项B，设，，， ，， ，不是奇函数，故选项B错误； 选项C，， ，， 而，在出无意义，故选项C错误； 选项D， 设， ，， ，，是奇函数， ，符合已知图像， ，符合已知图像， 在上函数值从到1到0到到0，周而复始进行， 在上函数值恒大于0， 的函数值在上函数值从到正数到0到负数到0，周而复始进行， 故选项D符合已知图像，故选项D正确. 故选：D. 6. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 7. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 8. 函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合双曲线的图形，过作轴，根据题设条件分别表示出，，然后利用斜率公式得到关于的等式，进而即可求解. 【详解】 如图，过作轴，交轴于点， 因为，所以，所以； 因为为等腰三角形，所以，所以； 因为是双曲线的左顶点，所以，所以， 因为点在过且斜率为的直线上，所以直线的斜率为，即； 在中，； 所以，即，即，所以的离心率为. 故选：B. 数学第Ⅱ卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求解即得. 【详解】. 故答案为： 11. 二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 12. 设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为，所以，解得， 所以圆C的面积． 13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 【答案】 ①. ， ②. ## 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， ， 所以, 故答案为：，. 14. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案. 【详解】由题， 故答案为9 【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目. 15. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，， 则：或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据同角三角函数关系，结合正弦定理和面积公式即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，，由余弦定理得，，解得. 【小问2详解】 因为，，， 由正弦定理得，，， 所以的面积. 【小问3详解】 因为，所以是锐角，，， ，， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 【答案】（1），离心率为. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得：，进而求得，由此即可求解方程及离心率； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，由韦达定理可得：，，表示出直线的方程为，令即可求解的值，最后根据求解的取值范围. 【小问1详解】 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为. 【小问2详解】 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 设直线的方程为，，， 联立化简并整理得， 由题意得，即，应满足， 所以，， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以直线的方程为，令， 得 ，所以， 此时应满足即应满足，或， 综上所述，满足题意，此时. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，直接根据的范围，讨论导函数的正负，即可求解函数单调性； （2）讨论的范围，利用函数的单调性进行最大值和最小值的判断，进而求解的取值范围. 【小问1详解】 由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的定义域，再求、、，由直线方程的点斜式可得出所求切线的方程； （2）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. 【小问1详解】 的定义域为. 当时，，则， 所以，， 曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，等价于. 设， 则，且. （i）当，时，则，所以， 故，则在上单调递增，因此，符合题意； （ii）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】求函数的单调区间的方法： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第一学期期中高三年级质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件，互斥，那么 ·如果事件，相互独立，那么 ·圆柱的侧面积公式 ·圆锥的侧面积公式 其中表示底面圆的半径，表示母线的长 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 7. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A. B. 2 C. 3 D. 4 数学第Ⅱ卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上. 10. 为虚数单位，则______. 11. 二项式的展开式的常数项是___________． 12. 设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________ 13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 14. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 15. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $