重难点专题 一次函数（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

重难点专题 一次函数 5.1常量与变量 重难点一 用表格表示变量间的关系 、 1. 识别变量：在具体问题中，找出发生变化的量（如时间、路程、数量、总价等），区分自变量和因变量。自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量。 ▶ 示例：汽车行驶时，“时间”是自变量，“路程”是因变量（路程随时间变化）。 2. 确定常量：找出问题中固定不变的量（如速度、单价等），常量是连接变量的关键参数。 ▶ 示例：若汽车速度为60千米/时，则“速度60”是常量，路程=速度×时间。 1．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意； 故选：C． 2．连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，根据表格得到数据的变化规律是解题的关键． 根据表格数据，时间每增加2分钟，水温增加，因此每分钟水温增加． 【详解】由表可知，时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加． 由于水温变化均匀，每分钟水温增加量为． 故答案为同：8． 3．某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 重难点二 用关系式表示变量间的关系 一、确定变量与常量 1. 识别变量：在问题情境中，找出发生变化的量（如时间、路程、面积等），通常分为自变量（主动变化的量）和因变量（随自变量变化而变化的量）。例如，“汽车行驶路程随时间变化”中，时间是自变量，路程是因变量。 2. 确定常量：找出固定不变的量（如速度、单价等）。例如，“匀速行驶的汽车速度为60km/h”中，速度60km/h是常量。 二、分析数量关系，建立关系式 1. 依据实际意义列等式：根据问题中的数量关系（如公式、规律、题意描述），用含自变量的代数式表示因变量。 2. 利用表格数据推导规律：若给出变量对应值的表格，通过观察数据变化趋势（如差值、比值固定）确定关系式。 1．球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量，解题的关键是熟练掌握常量和变量的定义． 根据变量和常量的定义，变量是数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量，在球的体积公式中，体积M和半径R是变量，而常数系数是常量． 【详解】解：∵ 公式 中，M和R的值随球的大小变化而变化， ∴M和R是变量； ∵ 和π是固定不变的数值， ∴ 它们是常量。 因此，变量是M、R，常量是， 故选：A． 2．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租借后的前三天按每天元收费，三天后按每天元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租借天数之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得前三天固定费用为元，超过三天部分费用为元，两个费用的和即为所求． 本题考查了函数解析式的确定，正确理解题意，列式解答即可． 【详解】解：根据题意，得前三天固定费用为元，超过三天部分费用为元， 故， 故答案为：． 3．北京市电话月收费规定：月租费元，通话每三分钟计为一次，不足三分钟的按一次计，每次计费元． (1)如果每月电话费为元，求用户交费元与计费了次的收费公式； (2)如果用户在一个月内共计费了次，他该交多少电话费？ (3)如果用户缴纳了元，那么该户计费了多少次？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键． （1）根据电话费月租费通话费，即可求解； （2）将代入（1）中结论，即可求解； （3）将代入（1）中结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵每月电话费为元，月租费元，每次计费元，计费了次， 故用户交费元与计费了次的收费关系为：． （2）解：当时，（元） 故该交元电话费． （3）解：当时，， 解得， 故计费了次． 重难点三 用图象表示变量间的关系 1. 坐标轴：平面直角坐标系中，水平方向的数轴称为横轴（通常表示自变量，如时间、路程等），竖直方向的数轴称为纵轴（通常表示因变量，如速度、高度等）。两轴交点为原点，原点坐标为(0,0)。 2. 单位长度：根据实际数据的大小和范围，在坐标轴上选取合适的单位长度，确保图象能清晰展示变量间的关系，同一坐标轴上的单位长度必须统一。 3. 描点：根据表格中给出的自变量与因变量的对应值，在坐标系中找到对应的点，点的坐标为（自变量的值，因变量的值）。 4. 连线：当自变量的取值是连续的，且相邻两点之间的变化趋势是平滑的，用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来；若自变量的取值是不连续的，或相邻两点之间的变化趋势不是平滑的，则用线段连接各点。 1．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 2．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 3．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 5.2认识函数 重难点一 从图象中获取信息 一、识图基础：明确图象要素 1. 坐标轴含义 先确定横纵坐标轴代表的实际意义（如时间、距离、速度、数量等），注意单位标注（如“秒”“米”“℃”）。 例：若横轴为“时间（分钟）”，纵轴为“路程（千米）”，则图象反映路程随时间的变化关系。 2. 关键点识别 原点（0,0）：通常表示起始状态（如初始时间、初始位置）。 交点：两图象交点表示“两对象在同一时刻具有相同数值”（如两车相遇时的时间和路程）。 端点：图象起点和终点对应实际问题的开始与结束状态（如运动的起止时间）。 转折点：图象斜率变化处（如折线图中由上升转为水平，表示运动状态从“前进”变为“静止”）。 3. 图象趋势分析 上升趋势：纵轴量随横轴量增大而增大（如匀速行驶时路程随时间增加）。 下降趋势：纵轴量随横轴量增大而减小（如汽车减速时速度随时间减小）。 水平趋势：纵轴量不随横轴量变化（如静止时路程不变，或恒温时温度不变）。 1．如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了酸碱中和反应中溶液的变化规律，解题的关键是明确碱性溶液大于7，酸性溶液小于7，中和反应中会随酸碱的反应逐渐变化． 先分析初始溶液（溶液，碱性，），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，逐渐减小，恰好反应时，盐酸过量后），最后结合选项图象进行判断． 【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除． 选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除． 选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律． 选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除． 故选C． 2．甲、乙两人正中间正好有个地铁站，他们相约在那里见面，然后一起去图书馆，甲先到后原地等待．两人之间的距离y（单位：）与步行时间x（单位：）之间的关系如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意及图象信息列出方程组，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意及图中信息可知，两人在分钟时相距，且甲已到达地铁站等候乙，在第分钟时两人的距离为，则乙也到达了地铁站， 设甲的速度为，乙的速度为，依题意得：， 由②得：， 将代入①得：， 由③得：， 将代入④得：， 解得：， 故答案为：． 3．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 【答案】(1)1；； (2)； (3)的值为或时，面积为． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为， ∵面积为 ∴点在或上， 当点在上时，如图， 即， 解得， 当点在上时，如图， 即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键． 重难点二 排水问题 1. 场景特点：存在初始水量（或水位），随时间均匀减少的排水过程 2. 核心要素： 初始状态量（Q₀）：开始排水时的总水量/水位高度 变化率（k）：单位时间的排水量（通常为负数，体现减少趋势） 时间变量（t）：排水持续时长 剩余量（Q）：经过t时间后的剩余水量/水位 1．如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深度厘米与时间分的关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数的图象，在做题时要明确游泳池上宽下窄，因此函数的图象也不相同． 由于游泳池不规则，上面宽，下面窄，因此在相同时间内上半部分下降缓慢，图象比较平稳．下半部分下降快，图象比较陡，据此即可解答． 【详解】解：由图知游泳池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理 分析各选项知只有A正确． 故选：A 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处破损，开始进水，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船．假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，如图，图中的折线表示与的函数关系．下列说法：①修船前的进水速度为2吨/分；②修船用了20分钟；③修船过程中排水速度为1吨/分；④修船完工后的排水速度为3吨/分，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了函数的应用，一次函数的应用；①修船前的进水速度为，即可判断；②修船所用时间为20，即可判断；③修船过程中排水速度为，即可判断；④修船完工后的排水速度为，即可判断；能根据图象获取正确的信息，理解、的实际意义是解题的关键． 【详解】解：①修船前的进水速度为（吨/分）， 故①正确； ②修船所用时间为（分钟）， 故②正确； ③修船过程中排水速度为（吨/分）， 故③错误； ④修船完工后的排水速度为（吨/分）， 故④正确； 故答案为：①②④． 3．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)进水管每分钟进水__________升； (2)当时，求y与x的关系式； (3)当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 【答案】(1)8 (2) (3)整个注水、排水过程共用了分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． （1）观察图象得：3分钟进水管注水24升，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出出水管排水的速度，再求出排完20升水所用的时间，即可求解． 【详解】（1）解：进水管注水的速度为升/分钟； 故答案为：8； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：根据题意得：（升/分钟）， ∴整个注水、排水过程共用了分钟． 重难点三 行程问题 一、核心原理 行程问题中，路程（s）、速度（v）、时间（t）的基本关系为：s = v·t。当速度v为常数时，路程s是时间t的一次函数，其表达式为s = vt + b（其中b为初始路程，当物体从起点出发时，b=0）。在平面直角坐标系中，该函数图像是一条直线，斜率表示速度，与s轴交点的纵坐标表示初始路程。 二、常见题型及解题方法 （一）相遇问题 1. 特征：两个物体从不同地点出发，相向而行，最终相遇。 2. 等量关系：相遇时，两者所走的路程之和等于两地之间的总距离。 3. 解题步骤： 设其中一个物体的运动时间为t，根据速度表示出两者的路程s₁ = v₁t + b₁，s₂ = v₂t + b₂（注意b₁、b₂的取值，若同时出发且从起点出发，则b₁ = b₂ = 0）。 根据“路程之和 = 总距离”列出方程：s₁ + s₂ = S（总距离）。 解方程求出t，进而求出相遇时各自的路程或其他相关量。 若题目涉及函数图像，需先根据图像获取速度、初始位置等信息，再按上述步骤求解。 （二）追及问题 1. 特征：两个物体同向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者。 2. 等量关系：追上时，快者所走的路程等于慢者所走的路程加上两者出发时的距离（初始距离）。 3. 解题步骤： 设快者运动时间为t（若慢者先出发，则慢者运动时间为t + t₀，t₀为慢者提前出发的时间）。 表示出快者路程s快 = v快t + b快，慢者路程s慢 = v慢(t + t₀) + b慢（若同时出发，t₀=0；若从同一地点出发，初始距离为0，则b快 = b慢 = 0）。 根据“s快 = s慢 + d”（d为初始距离）列出方程求解t。 结合函数图像时，通过比较图像的斜率（速度）和初始位置，确定追及的可能性及相关数据。 （三）分段行程问题 1. 特征：物体在整个运动过程中，速度发生变化，或在中途停留，导致路程与时间的函数关系为分段一次函数。 2. 解题关键：明确每一段行程的速度、时间范围和路程表达式，注意各段之间的衔接点（时间和路程的连续性）。 3. 解题步骤： 根据题意划分行程阶段，例如：匀速行驶阶段、停留阶段、变速阶段等。 分别求出每一段的函数表达式，确定自变量t的取值范围。 针对问题，判断涉及哪一段或几段行程，代入相应的函数表达式求解。 若有图像，需识别图像中不同线段对应的行程阶段，从线段的斜率（速度）和端点坐标获取各段信息。 （四）往返行程问题 1. 特征：物体从A地出发前往B地，到达后再返回A地，整个过程的路程与时间关系需分段考虑。 2. 核心分析：去程和返程速度可能不同，函数图像通常分为两段，去程时路程随时间增加，返程时路程先增加至最大值（A、B两地距离），再随时间减少。 3. 解题步骤： 设去程时间为t₁，速度为v₁，则A、B两地距离S = v₁t₁。 设返程时间为t₂，速度为v₂，则返程路程S = v₂t₂，总时间为t₁ + t₂，总路程为2S。 若涉及函数图像，去程线段斜率为v₁，返程线段斜率为-v₂（因路程随时间减少），最高点的纵坐标为S。 根据题目要求，如求往返平均速度（总路程÷总时间）、某时刻的位置等，结合各段表达式计算。 1．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 2．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 3．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 5.3一次函数的意义 重难点一 正比例函数与一次函数的定义 1. 正比例函数定义拆解 形如（(k)是常数，(k≠0)）的函数叫正比例函数。需同时满足三个条件：①等式为整式形式；②自变量(x)的次数是1；③比例系数(k)不为0。例如符合定义，而（多常数项）、（次数不符）、（）均不符合。 2. 一次函数定义深化 形如（(k,b)是常数，(k≠0)）的函数叫一次函数。关键特征：①(k≠0)保证函数为“一次”；②(b)为常数项，可正可负可为0。当时，一次函数退化为正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数。 1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：符合正比例函数定义的只有C选项，A、B、D都不是正比例函数； 故选C． 2．已知是一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，由一次函数的定义得且，解之即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 3．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 重难点二 待定系数法求一次函数解析式 一、明确一次函数的基本形式 一次函数的标准解析式为 ( y = kx + b )（其中 ( k )、( b ) 是常数，且）。若函数为正比例函数，则解析式可简化为 ( y = kx )（此时 ( b = 0 )）。使用待定系数法的核心是通过已知条件求出未知系数 ( k ) 和 ( b ) 的值。 二、确定所需条件的数量 1. 一般情况（非正比例函数）：需要两个独立的条件（如函数图像经过两个已知点的坐标），建立关于 ( k ) 和 ( b ) 的二元一次方程组，求解得到 ( k ) 和 ( b ) 的值。 2. 特殊情况（正比例函数）：只需一个条件（如函数图像经过一个已知点的坐标），直接代入 ( y = kx ) 求解 ( k ) 的值。 三、具体步骤（以非正比例函数为例） 1. 设解析式 设所求一次函数的解析式为 ( y = kx + b )（若已知为正比例函数，设 ( y = kx )）。 2. 代入已知条件，列方程组 将两个已知点的坐标 和分别代入解析式，得到关于 ( k ) 和 ( b ) 的方程组： 3. 解方程组，求系数 ( k ) 和 ( b ) 通过代入消元法或加减消元法解上述方程组，求出 ( k ) 和 ( b ) 的具体数值。 4. 写出解析式 将求得的 ( k ) 和 ( b ) 的值代入 ( y = kx + b )，即可得到所求一次函数的解析式。 1．某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出函数关系式是解题的关键．根据山脚气温、海拔升高与气温下降的关系，找出气温和高度的数量关系，从而确定函数关系式． 【详解】解：根据题意，海拔每升高，气温下降， 山脚气温为，则 故选：D． 2．一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 （2）解：将点代入， 得： 解得： 重难点三 话费问题 一、问题特征分析 1. 情境特点：题目通常给出两种及以上手机话费套餐方案，包含固定月租（常数项）和按通话时间计算的费用（一次项），需通过建立函数模型分析不同方案的费用差异。 2. 核心关系：费用 ( y ) 与通话时间 ( x ) 成一次函数关系，通用形式为 ( y = kx + b )（( k ) 为每分钟通话费用，( b ) 为月租费，）。 二、解题步骤详解 1. 确定变量与参数 设通话时间为 ( x ) 分钟（自变量，非负整数），总费用为 ( y ) 元（因变量）。 从题目中提取各套餐的月租费 ( b ) 和每分钟通话费 ( k )（如“月租20元，每分钟0.3元”对应 ，( b=20 )）。 2. 建立函数表达式 针对每种套餐，列出一次函数解析式： 方案A： 方案B： 注意：若存在免费通话时长 ( m )，则当 时，( y = b )；当 ( x > m ) 时，( y = b + k(x - m) )（分段函数）。 3. 求解费用相等点 令，解方程，得交点横坐标（）。 几何意义： 为两种方案费用相同的通话时长，是选择方案的临界点。 4. 分类讨论最优方案 当且（A套餐月租低、单价高）： 若，选择A套餐（费用更低）； 若，两种方案费用相同； 若，选择B套餐（长期通话更划算）。 当且（B套餐月租低、单价高），结论相反。 特殊情况：若，则 ( b ) 较小的方案始终更优（无交点，平行线）。 5. 验证实际意义 计算结果需满足 ，若，则仅需比较 ( x=0 ) 时的费用（选择 ( b ) 较小的方案）。 举例：若分钟，用户每月通话100分钟选A，200分钟选B。 1．以下三种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：小明去水果店购买同单价的水果，支付费用与水果重量的关系； 乙：小明使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，则他每月所付话费与通话时间的关系；丙：小明去外婆家吃饭，饭后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 如图，用图象法刻画上述甲、乙、丙三种情境，排序正确的图象顺序是（    ） A．①②③ B．②①③ C．③①② D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查用图象法刻画两个变量之间的关系，读懂题意，抓住关键信息判断图象是解决问题的关键． 【详解】解：甲：小明去水果店购买同单价的水果，支付费用与水果重量的关系，当水果重量为时，支付费用为，因此用图象法刻画上述甲满足： ； 乙：小明使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，则他每月所付话费与通话时间的关系，由于由月租费用，当通话时间为时，支付话费不为，因此用图象法刻画上述乙满足： 丙：小明去外婆家吃饭，饭后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系，由于吃饭时间变化，但距离始终保持不变，因此用图象法刻画上述丙满足： 综上所述，用图象法刻画上述甲、乙、丙三种情境，排序正确的图象顺序是③①②， 故选：C． 2．某地市话的话费y（元）随着时间x（分钟）的变化而变化，收费标准为： （1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费元； （2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟元计算． 在一次通话中，如果通话时间8分钟，那么话费y（元）为 （元）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，根据所给的收费标准列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．某电信公司手机的类套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元分钟计算；类套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分钟计算． (1)直接写出类和类每月应缴费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系式； (2)若某手机用户这个月通话时间为分钟，他选择哪种方式更合算？ (3)若某用户平均每月缴话费元，他应选择哪种方式更合算？ 【答案】(1)套餐：，；套餐：， (2)套餐更合算 (3)套餐更合算． 【分析】本题主要考查一次函数的应用及方案选择问题，理解题意，根据题意列出函数关系式是解题关键． （1）根据题目中收费标准可列出函数关系式； （2）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话费用，费用低则更合算． （3）分别由A、B两类收费关系式可求得相应的通话时间，时间久则更合算． 【详解】（1）解：A类：，； B类：，． （2）当时， A类： 类： ∵ 所以用套餐更合算 （3）当时， A类：，解得． 类：，解得． 因为， 所以用套餐更合算． 重难点四 几何与图象结合问题 一、坐标与几何图形的转化 1. 点的坐标与线段长度互化 水平方向两点、：线段 竖直方向两点、：线段 2. 几何图形顶点坐标的确定 利用函数解析式设点：如直线上任意点可设为 结合几何性质求坐标：如等腰直角三角形直角顶点在原点，两直角边在坐标轴上，可设顶点为((a,0))、((0,a)) 二、一次函数与三角形综合 1. 三角形面积计算 公式法：(S=\frac{1}{2}×底×高)，底和高需与坐标轴平行以简化计算 补形法：不规则三角形通过补成长方形或梯形，用总面积减去多余三角形面积 ① 求交点：联立得((1,3))；② 求与(x)轴交点：、((2.5,0))；③ 底，高，面积 2. 三角形形状判定 勾股定理逆定理：计算三边平方，判断是否满足（直角）、（等腰） 1．定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，一次函数动点问题等知识，解题的关键是正确分类讨论． 根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，然后根据题意分4种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：∵点，点、在轴上 ∴当时，点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∵是等边三角形，，点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 如图所示，过点P作于点D 当时， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴此时动点与等边的“点图距” ∴当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴； 当时， ∴动点与等边的“点图距”为的长度， ∴ ∴； 当时，动点与等边的“点图距”为的长度 ∴ 综上所述，． 故选：B． 2．在平行四边形中，点P从起点B出发，沿，逆时针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段，与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则边上的高是 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图像的应用，根据图像得到，，，结合平行四边形面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：由图像得， ，，， ∴， 解得：， 故答案为：4． 3．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 11 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一次函数 5.1常量与变量 重难点一 用表格表示变量间的关系 、 1. 识别变量：在具体问题中，找出发生变化的量（如时间、路程、数量、总价等），区分自变量和因变量。自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量。 ▶ 示例：汽车行驶时，“时间”是自变量，“路程”是因变量（路程随时间变化）。 2. 确定常量：找出问题中固定不变的量（如速度、单价等），常量是连接变量的关键参数。 ▶ 示例：若汽车速度为60千米/时，则“速度60”是常量，路程=速度×时间。 1．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 2．连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加 ． 3．某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： (1)随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． (2)若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 重难点二 用关系式表示变量间的关系 一、确定变量与常量 1. 识别变量：在问题情境中，找出发生变化的量（如时间、路程、面积等），通常分为自变量（主动变化的量）和因变量（随自变量变化而变化的量）。例如，“汽车行驶路程随时间变化”中，时间是自变量，路程是因变量。 2. 确定常量：找出固定不变的量（如速度、单价等）。例如，“匀速行驶的汽车速度为60km/h”中，速度60km/h是常量。 二、分析数量关系，建立关系式 1. 依据实际意义列等式：根据问题中的数量关系（如公式、规律、题意描述），用含自变量的代数式表示因变量。 2. 利用表格数据推导规律：若给出变量对应值的表格，通过观察数据变化趋势（如差值、比值固定）确定关系式。 1．球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（    ） A．变量是M，R；常量是， B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 2．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租借后的前三天按每天元收费，三天后按每天元收费（不足一天按一天计算），则租金（元）和租借天数之间的关系式为 ． 3．北京市电话月收费规定：月租费元，通话每三分钟计为一次，不足三分钟的按一次计，每次计费元． (1)如果每月电话费为元，求用户交费元与计费了次的收费公式； (2)如果用户在一个月内共计费了次，他该交多少电话费？ (3)如果用户缴纳了元，那么该户计费了多少次？ 重难点三 用图象表示变量间的关系 1. 坐标轴：平面直角坐标系中，水平方向的数轴称为横轴（通常表示自变量，如时间、路程等），竖直方向的数轴称为纵轴（通常表示因变量，如速度、高度等）。两轴交点为原点，原点坐标为(0,0)。 2. 单位长度：根据实际数据的大小和范围，在坐标轴上选取合适的单位长度，确保图象能清晰展示变量间的关系，同一坐标轴上的单位长度必须统一。 3. 描点：根据表格中给出的自变量与因变量的对应值，在坐标系中找到对应的点，点的坐标为（自变量的值，因变量的值）。 4. 连线：当自变量的取值是连续的，且相邻两点之间的变化趋势是平滑的，用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来；若自变量的取值是不连续的，或相邻两点之间的变化趋势不是平滑的，则用线段连接各点。 1．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 ． 3．2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 5.2认识函数 重难点一 从图象中获取信息 一、识图基础：明确图象要素 1. 坐标轴含义 先确定横纵坐标轴代表的实际意义（如时间、距离、速度、数量等），注意单位标注（如“秒”“米”“℃”）。 例：若横轴为“时间（分钟）”，纵轴为“路程（千米）”，则图象反映路程随时间的变化关系。 2. 关键点识别 原点（0,0）：通常表示起始状态（如初始时间、初始位置）。 交点：两图象交点表示“两对象在同一时刻具有相同数值”（如两车相遇时的时间和路程）。 端点：图象起点和终点对应实际问题的开始与结束状态（如运动的起止时间）。 转折点：图象斜率变化处（如折线图中由上升转为水平，表示运动状态从“前进”变为“静止”）。 3. 图象趋势分析 上升趋势：纵轴量随横轴量增大而增大（如匀速行驶时路程随时间增加）。 下降趋势：纵轴量随横轴量增大而减小（如汽车减速时速度随时间减小）。 水平趋势：纵轴量不随横轴量变化（如静止时路程不变，或恒温时温度不变）。 1．如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人正中间正好有个地铁站，他们相约在那里见面，然后一起去图书馆，甲先到后原地等待．两人之间的距离y（单位：）与步行时间x（单位：）之间的关系如图所示，则 ． 3．如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题： (1) ， ， ； (2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式； (3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值． 重难点二 排水问题 1. 场景特点：存在初始水量（或水位），随时间均匀减少的排水过程 2. 核心要素： 初始状态量（Q₀）：开始排水时的总水量/水位高度 变化率（k）：单位时间的排水量（通常为负数，体现减少趋势） 时间变量（t）：排水持续时长 剩余量（Q）：经过t时间后的剩余水量/水位 1．如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深度厘米与时间分的关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处破损，开始进水，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船．假设轮船触礁后的时间为分钟，船舱内积水量为吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，如图，图中的折线表示与的函数关系．下列说法：①修船前的进水速度为2吨/分；②修船用了20分钟；③修船过程中排水速度为1吨/分；④修船完工后的排水速度为3吨/分，其中正确的有 ．（填序号） 3．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)进水管每分钟进水__________升； (2)当时，求y与x的关系式； (3)当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 重难点三 行程问题 一、核心原理 行程问题中，路程（s）、速度（v）、时间（t）的基本关系为：s = v·t。当速度v为常数时，路程s是时间t的一次函数，其表达式为s = vt + b（其中b为初始路程，当物体从起点出发时，b=0）。在平面直角坐标系中，该函数图像是一条直线，斜率表示速度，与s轴交点的纵坐标表示初始路程。 二、常见题型及解题方法 （一）相遇问题 1. 特征：两个物体从不同地点出发，相向而行，最终相遇。 2. 等量关系：相遇时，两者所走的路程之和等于两地之间的总距离。 3. 解题步骤： 设其中一个物体的运动时间为t，根据速度表示出两者的路程s₁ = v₁t + b₁，s₂ = v₂t + b₂（注意b₁、b₂的取值，若同时出发且从起点出发，则b₁ = b₂ = 0）。 根据“路程之和 = 总距离”列出方程：s₁ + s₂ = S（总距离）。 解方程求出t，进而求出相遇时各自的路程或其他相关量。 若题目涉及函数图像，需先根据图像获取速度、初始位置等信息，再按上述步骤求解。 （二）追及问题 1. 特征：两个物体同向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者。 2. 等量关系：追上时，快者所走的路程等于慢者所走的路程加上两者出发时的距离（初始距离）。 3. 解题步骤： 设快者运动时间为t（若慢者先出发，则慢者运动时间为t + t₀，t₀为慢者提前出发的时间）。 表示出快者路程s快 = v快t + b快，慢者路程s慢 = v慢(t + t₀) + b慢（若同时出发，t₀=0；若从同一地点出发，初始距离为0，则b快 = b慢 = 0）。 根据“s快 = s慢 + d”（d为初始距离）列出方程求解t。 结合函数图像时，通过比较图像的斜率（速度）和初始位置，确定追及的可能性及相关数据。 （三）分段行程问题 1. 特征：物体在整个运动过程中，速度发生变化，或在中途停留，导致路程与时间的函数关系为分段一次函数。 2. 解题关键：明确每一段行程的速度、时间范围和路程表达式，注意各段之间的衔接点（时间和路程的连续性）。 3. 解题步骤： 根据题意划分行程阶段，例如：匀速行驶阶段、停留阶段、变速阶段等。 分别求出每一段的函数表达式，确定自变量t的取值范围。 针对问题，判断涉及哪一段或几段行程，代入相应的函数表达式求解。 若有图像，需识别图像中不同线段对应的行程阶段，从线段的斜率（速度）和端点坐标获取各段信息。 （四）往返行程问题 1. 特征：物体从A地出发前往B地，到达后再返回A地，整个过程的路程与时间关系需分段考虑。 2. 核心分析：去程和返程速度可能不同，函数图像通常分为两段，去程时路程随时间增加，返程时路程先增加至最大值（A、B两地距离），再随时间减少。 3. 解题步骤： 设去程时间为t₁，速度为v₁，则A、B两地距离S = v₁t₁。 设返程时间为t₂，速度为v₂，则返程路程S = v₂t₂，总时间为t₁ + t₂，总路程为2S。 若涉及函数图像，去程线段斜率为v₁，返程线段斜率为-v₂（因路程随时间减少），最高点的纵坐标为S。 根据题目要求，如求往返平均速度（总路程÷总时间）、某时刻的位置等，结合各段表达式计算。 1．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 2．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 3．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 5.3一次函数的意义 重难点一 正比例函数与一次函数的定义 1. 正比例函数定义拆解 形如（(k)是常数，(k≠0)）的函数叫正比例函数。需同时满足三个条件：①等式为整式形式；②自变量(x)的次数是1；③比例系数(k)不为0。例如符合定义，而（多常数项）、（次数不符）、（）均不符合。 2. 一次函数定义深化 形如（(k,b)是常数，(k≠0)）的函数叫一次函数。关键特征：①(k≠0)保证函数为“一次”；②(b)为常数项，可正可负可为0。当时，一次函数退化为正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数。 1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是一次函数，则的值为 ． 3．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 重难点二 待定系数法求一次函数解析式 一、明确一次函数的基本形式 一次函数的标准解析式为 ( y = kx + b )（其中 ( k )、( b ) 是常数，且）。若函数为正比例函数，则解析式可简化为 ( y = kx )（此时 ( b = 0 )）。使用待定系数法的核心是通过已知条件求出未知系数 ( k ) 和 ( b ) 的值。 二、确定所需条件的数量 1. 一般情况（非正比例函数）：需要两个独立的条件（如函数图像经过两个已知点的坐标），建立关于 ( k ) 和 ( b ) 的二元一次方程组，求解得到 ( k ) 和 ( b ) 的值。 2. 特殊情况（正比例函数）：只需一个条件（如函数图像经过一个已知点的坐标），直接代入 ( y = kx ) 求解 ( k ) 的值。 三、具体步骤（以非正比例函数为例） 1. 设解析式 设所求一次函数的解析式为 ( y = kx + b )（若已知为正比例函数，设 ( y = kx )）。 2. 代入已知条件，列方程组 将两个已知点的坐标 和分别代入解析式，得到关于 ( k ) 和 ( b ) 的方程组： 3. 解方程组，求系数 ( k ) 和 ( b ) 通过代入消元法或加减消元法解上述方程组，求出 ( k ) 和 ( b ) 的具体数值。 4. 写出解析式 将求得的 ( k ) 和 ( b ) 的值代入 ( y = kx + b )，即可得到所求一次函数的解析式。 1．某山山脚气温为，海拔每升高，气温下降℃，则山上气温（）与该处距山脚垂直高度（）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 重难点三 话费问题 一、问题特征分析 1. 情境特点：题目通常给出两种及以上手机话费套餐方案，包含固定月租（常数项）和按通话时间计算的费用（一次项），需通过建立函数模型分析不同方案的费用差异。 2. 核心关系：费用 ( y ) 与通话时间 ( x ) 成一次函数关系，通用形式为 ( y = kx + b )（( k ) 为每分钟通话费用，( b ) 为月租费，）。 二、解题步骤详解 1. 确定变量与参数 设通话时间为 ( x ) 分钟（自变量，非负整数），总费用为 ( y ) 元（因变量）。 从题目中提取各套餐的月租费 ( b ) 和每分钟通话费 ( k )（如“月租20元，每分钟0.3元”对应 ，( b=20 )）。 2. 建立函数表达式 针对每种套餐，列出一次函数解析式： 方案A： 方案B： 注意：若存在免费通话时长 ( m )，则当 时，( y = b )；当 ( x > m ) 时，( y = b + k(x - m) )（分段函数）。 3. 求解费用相等点 令，解方程，得交点横坐标（）。 几何意义： 为两种方案费用相同的通话时长，是选择方案的临界点。 4. 分类讨论最优方案 当且（A套餐月租低、单价高）： 若，选择A套餐（费用更低）； 若，两种方案费用相同； 若，选择B套餐（长期通话更划算）。 当且（B套餐月租低、单价高），结论相反。 特殊情况：若，则 ( b ) 较小的方案始终更优（无交点，平行线）。 5. 验证实际意义 计算结果需满足 ，若，则仅需比较 ( x=0 ) 时的费用（选择 ( b ) 较小的方案）。 举例：若分钟，用户每月通话100分钟选A，200分钟选B。 1．以下三种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：小明去水果店购买同单价的水果，支付费用与水果重量的关系； 乙：小明使用的是一种有月租且只包含流量的套餐，则他每月所付话费与通话时间的关系；丙：小明去外婆家吃饭，饭后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 如图，用图象法刻画上述甲、乙、丙三种情境，排序正确的图象顺序是（    ） A．①②③ B．②①③ C．③①② D．③②① 2．某地市话的话费y（元）随着时间x（分钟）的变化而变化，收费标准为： （1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费元； （2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟元计算． 在一次通话中，如果通话时间8分钟，那么话费y（元）为 （元）． 3．某电信公司手机的类套餐收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元分钟计算；类套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分钟计算． (1)直接写出类和类每月应缴费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系式； (2)若某手机用户这个月通话时间为分钟，他选择哪种方式更合算？ (3)若某用户平均每月缴话费元，他应选择哪种方式更合算？ 重难点四 几何与图象结合问题 一、坐标与几何图形的转化 1. 点的坐标与线段长度互化 水平方向两点、：线段 竖直方向两点、：线段 2. 几何图形顶点坐标的确定 利用函数解析式设点：如直线上任意点可设为 结合几何性质求坐标：如等腰直角三角形直角顶点在原点，两直角边在坐标轴上，可设顶点为((a,0))、((0,a)) 二、一次函数与三角形综合 1. 三角形面积计算 公式法：(S=\frac{1}{2}×底×高)，底和高需与坐标轴平行以简化计算 补形法：不规则三角形通过补成长方形或梯形，用总面积减去多余三角形面积 ① 求交点：联立得((1,3))；② 求与(x)轴交点：、((2.5,0))；③ 底，高，面积 2. 三角形形状判定 勾股定理逆定理：计算三边平方，判断是否满足（直角）、（等腰） 1．定义：是平面内某一点，是图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为点与图形的“点图距”．如图，在等边中，点的坐标为，点、在轴上．记动点与等边的“点图距”为，则随变化的图像是（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，点P从起点B出发，沿，逆时针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段，与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则边上的高是 ． 3．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $