重难点专题 一元一次方程的解法 （专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 一元一次方程的解法 5.4一元一次方程的解法 重难点一 解一元一次方程——移项与合并同类项 一、合并同类项解一元一次方程 1. 定义阐释：当方程中存在多个含相同未知数的项或多个常数项时，需先将这些同类项进行合并，使方程简化为“ax=b（a≠0）”的形式，此过程称为合并同类项。 2. 操作步骤 识别同类项：在方程中找出所有含未知数的项（如3x、-5x）和所有常数项（如2、-7），明确哪些项可以合并。 合并同类项：依据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。例如，对于方程3x + 5x - 2x = 12，合并含x的同类项可得（3 + 5 - 2）x = 6x，方程简化为6x = 12。 求解方程：合并同类项后得到ax=b的形式，两边同时除以系数a，即可求出未知数x的值，即x = b/a。如上例中，6x = 12，两边同时除以6，解得x = 2。 二、移项解一元一次方程 1. 定义阐释：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边时，必须改变该项的符号，这种变形叫做移项。移项的依据是等式的基本性质1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等）。 2. 操作步骤 确定移项对象：分析方程，将含未知数的项移到等号的一边（通常为左边），常数项移到等号的另一边（通常为右边）。 改变符号移项：移动的项必须改变符号，未移动的项符号保持不变。例如，对于方程-3x + 3 = -6，将左边的常数项3移到右边，变为-3x = -6 - 3。 合并同类项求解：移项后，等号两边分别合并同类项，得到ax=b的形式，再求解。如上例中，-3x = -9，两边同时除以-3，解得x = 3。 3. 注意事项 移项时必须变号，这是移项的关键，也是最容易出错的地方，如“+”变“-”，“-”变“+”。 不要漏移项，确保所有含未知数的项和常数项都移到正确的位置。 1．下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 【详解】解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 2．若一个正数的平方根分别是与，则这个正数为 ． 【答案】16 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 则这两个平方根为，， 则这个正数为， 故答案为：16． 3．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 系数化为1，得． 重难点二 解一元一次方程——去括号 解含括号的一元一次方程时，去括号是关键步骤，其核心是利用乘法分配律将括号去掉，转化为不含括号的一元一次方程，再按常规步骤求解。具体方法如下： 一、去括号的依据 乘法分配律：对于任意数 (a)、(b)、(c)，有 ，。 注意：若括号前有负号（如 (-a(b+c))），去括号后括号内各项需变号，即 。 二、具体步骤 1. 确定括号前的系数（符号） 观察方程中每个括号前的数字或符号（“+”或“-”），明确其对括号内各项的影响。 2. 应用乘法分配律去括号 将括号前的系数（或符号）分别乘以括号内的每一项，确保不遗漏任何项，并注意符号变化。 3. 合并同类项 将等号两边的同类项（含相同字母且字母指数相同的项）分别合并，化简方程。 4. 移项与求解 将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边（移项需变号），再合并同类项，最后系数化为1。 1．下列关于解方程过程中，变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及去括号，熟练掌握一元一次方程的解法及去括号是解题的关键；各项方程变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、由得：，不符合题意； B、由得：，不符合题意； C、由得：，不符合题意； D、由得：，符合题意． 故选：D． 2．若的值比的值小1，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． （1）移项合并同类项，进而解方程得出答案； （2）直接去括号，移项合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 重难点三 解一元一次方程——去分母 一、确定最简公分母 首先找出方程中所有分母的最小公倍数，这个最小公倍数就是最简公分母。例如，方程中，分母分别是2和3，它们的最小公倍数是6，所以最简公分母是6。 二、方程两边同乘最简公分母 将方程的每一项都乘以最简公分母，目的是消除分母。需要注意的是，方程中的常数项和不含分母的项也要乘以最简公分母，不能漏乘。以上面的方程为例，两边同乘6可得：，化简后为。 三、去括号（若有需要） 如果去分母后方程中出现括号，按照去括号法则进行计算，即括号前是正号，去掉括号后各项不变号；括号前是负号，去掉括号后各项都变号。例如上述方程去分母后得到，这里括号前是正号，去掉括号后。 四、移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。移项时要注意改变符号。例如方程，移项可得。 五、合并同类项 将方程两边的同类项进行合并，化为（(a)、(b)为常数，）的形式。例如上述方程合并同类项后为。 六、系数化为1 在方程两边同时除以未知数的系数(a)，得到方程的解。由于上一步已得到，此步骤在该例中无需额外计算。 注意事项 1. 去分母时，方程两边的每一项都必须乘以最简公分母，避免漏乘常数项。 2. 如果分子是一个多项式，去分母后要将分子用括号括起来，再去括号，防止符号出错。例如方程，去分母得，而不是。 3. 去括号和移项时，要严格按照相应的法则进行，确保符号正确。 4. 解完方程后，可以将求得的解代入原方程进行检验，看等式是否成立，以验证解的正确性。 1．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 2．当 时，代数式和的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义、解一元一次方程等知识点，根据相反数的定义列出方程是解题的关键． 先根据相反数的定义列出方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法；关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，系数化为1． （1）直接移项，合并同类项，最后系数化1求解； （2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 重难点四 解一元一次方程——含小数 一、利用“小数的性质”化小数为整数 1. 确定方程中所有小数的小数位数：观察方程中每个含小数的项，找出小数部分位数最多的那个数，记为n位。 2. 方程两边同乘10ⁿ：将方程的两边同时乘以10的n次方（即1后面n个0），使所有小数都转化为整数。 二、去分母（若化小数时已乘过，此步可省略或根据情况调整） 如果方程中既有小数又有分母，或者化小数后仍有分母，需先去分母。具体步骤： 1. 找出所有分母的最小公倍数：观察方程中各项的分母（若有），确定它们的最小公倍数。 2. 方程两边同乘最小公倍数：将方程两边同时乘以这个最小公倍数，消除分母。注意：每一项都要乘，包括不含分母的项。 三、去括号 1. 运用乘法分配律：如果括号前有系数，用系数乘以括号内的每一项，注意符号。 2. 括号前是“+”号：去掉括号后，括号内各项的符号不变。 3. 括号前是“-”号：去掉括号后，括号内各项的符号都要改变。 四、移项 1. 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边：移项时，要改变该项的符号。 2. 注意：移项是从等号的一边移到另一边，才需要变号；等号同一边的项交换位置，符号不变。 五、合并同类项 1. 合并含未知数的项：将等号左边所有含x的项合并，右边所有常数项合并。 2. 结果形式：化为ax = b（a、b为常数，a≠0）的形式。 六、系数化为1 1. 方程两边同除以未知数的系数：将ax = b两边同时除以a（或乘以），得到x。 2. 注意符号：若系数为负数，除以负数后，等号另一边的符号要相应改变。 七、检验（可选，但建议初学者进行） 1. 代入原方程：将求得的x的值代入原方程的左边和右边，分别计算结果。 2. 比较左右两边：若左边等于右边，则x的值是原方程的解；若不等，则说明解题过程有误，需重新检查。 1．将方程 中分母化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分母化为整数时， 分子分母同乘10得，分子分母同乘10得， 即化为 故选：C． 2．将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 3．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 【详解】（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 重难点五 一元一次方程中的相同(反)解 一、同解问题（解相同） 核心思路 若两个方程的解相同，则先求出含参数较少的方程的解，再将此解代入另一个方程，构建关于参数的新方程求解。 解题步骤 1. 解不含参数的方程（或选择参数较简单的方程），得到未知数的值； 2. 代入含参数的方程，将未知数的值代入另一个方程，形成只含参数的一元一次方程； 3. 求解参数方程，解出参数的值。 二、反解问题（解互为相反数） 核心思路 若两个方程的解互为相反数，则先分别求出两个方程的解（用含参数的代数式表示），再根据“互为相反数的两数之和为0”列方程求解参数。 解题步骤 1. 分别求解两个方程，用含参数的代数式表示两个方程的解和； 2. 根据相反数关系列方程：； 3. 解关于参数的方程，求出参数的值。 1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 2．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为： ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，合并同类项，得：． ∵方程与方程是“关联方程”， ∴， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，得：， 系数化为“1”，得：． ∵方程和方程是“关联方程”， ∴， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：． 重难点六 一元一次方程中的规律 一、规律探究的基本步骤 1. 观察特例，列举数据 从具体情境（如数字序列、图形变化、实际问题）中提取关键数据，按顺序排列成表格或有序数组。 例：图形按“△□□△□□…”排列，记录第1、2、3…个图形的形状，或用数字1代表△、2代表□，得到序列：1，2，2，1，2，2… 2. 分析数据，寻找关系 横向比较：观察相邻数据的差、商或倍数关系（如等差数列的公差、等比数列的公比）。 纵向关联：将序号n（1，2，3…）与对应数值y列出，尝试用n的代数式表示y（如y=kn+b，k、b为常数）。 · 例：若n=1时y=3，n=2时y=5，n=3时y=7，观察到y随n增大每次加2，推测y=2n+1。 3. 建立方程，验证规律 若规律猜想为一次关系（y=kn+b），代入两组已知数据得到关于k、b的一元一次方程组，求解后验证是否符合所有数据。 例：上述猜想y=2n+1，代入n=1得3=2×1+b→b=1，再验证n=2：2×2+1=5，符合；n=3：2×3+1=7，符合，确定规律成立。 4. 应用规律，解决问题 利用确定的关系式（如y=kn+b）解决逆向问题（已知y求n）或延伸问题（预测第m个数据）。 例：求上述序列中y=21时的n：2n+1=21→2n=20→n=10，即第10个数据为21。 二、常见类型及解题策略 1. 数字序列规律 · 等差型：相邻两项差为常数d，通项公式y=a₁+(n-1)d（a₁为首项）。 例：1，4，7，10…（d=3，a₁=1）→y=1+3(n-1)=3n-2。 · 循环型：数据按固定周期重复，先确定周期T，用n÷T的余数判断位置。 例：2，0，1，2，0，1…（T=3），求第2023项：2023÷3=674余1→对应周期第1项，即2。 2. 3. 图形变化规律 · 累加型：图形数量随n线性增加，通过列表找n与图形个数的一次关系。 例：第1个图有3个点，第2个图有5个点，第3个图有7个点…设y=kn+b，代入(1,3)、(2,5)得k=2，b=1→y=2n+1。 · 分步计数型：图形由基础部分和增量部分组成，分别表示后相加。 例：摆n个正方形需火柴棒：第1个4根，每多1个加3根→y=4+3(n-1)=3n+1。 4. 实际问题规律（如日历、阶梯收费） 日历问题：横行相邻数差1，竖列差7，设中间数为x，用含x的式子表示其他数，列方程求解。 例：日历中一竖列3个数和为60，设中间数为x，则(x-7)+x+(x+7)=60→3x=60→x=20，三个数为13，20，27。 阶梯收费：根据分段范围设未知数，按不同阶段费用列方程（注意分类讨论）。 例：水费前5吨2元/吨，超过部分3元/吨，设用水x吨（x>5），总费用y=5×2+3(x-5)=3x-5，若y=28→3x-5=28→x=11。 1．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律探究及解一元一次方程，熟练掌握通过分析前几个图形的数量关系得出规律是解题的关键．先找出图形中正方形个数的规律，得出第个图形中正方形个数的表达式，再据此列方程求解． 【详解】解：第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； ； 所以第个图形中面积为的正方形有个． 令 故选：D． 2．有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第6个方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 根据题目中方程的变化规律，即可求解． 【详解】解：第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； … ∴第个方程是，解为， ∴第6个方程的解为， 故答案为： ． 3．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 重难点七 一元一次方程中的新定义 一、理解新定义的核心要素 1. 提取关键信息 通读题目，圈画新定义中的核心词汇（如“新运算符号”“特定规则”“新概念术语”），明确其数学含义。 2. 转化为数学表达式 将文字描述的新定义翻译成代数形式。 3. 验证定义边界条件 注意新定义中是否包含特殊情况（如0、负数、取值范围限制），例如“当a > b时，a△b = a + b；当a ≤ b时，a△b = a - b”，需通过分类讨论确保覆盖所有情况。 二、建立新定义与一元一次方程的联系 1. 根据定义列方程 将新定义中的已知量代入规则，用未知数表示未知量，构建一元一次方程。例如，若“m※2 = 5”且“a※b = 3a - 2b”，则代入得3m - 2×2 = 5，即3m - 4 = 5。 2. 明确方程的等量关系 新定义问题常通过“等于”“满足”“成立”等关键词提示等量关系。例如，“若[x + 1] = 2，求x的取值范围”，根据定义可列出2 ≤ x + 1 < 3，转化为关于x的不等式方程。 3. 统一未知数与定义规则 确保方程中未知数的运算符合新定义的格式，避免混淆常规运算与新运算。例如，定义“a⊙b = ax + b”（x为未知数），若2⊙3 = 7，则方程为2x + 3 = 7。 三、解方程并验证解的合理性 1. 按常规步骤解方程 对转化后的一元一次方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解。例如，解方程3m - 4 = 5，移项得3m = 9，解得m = 3。 2. 代入新定义验证解 将解得的结果代入原新定义中检验，确保满足定义的所有条件。例如，若求得x = 2，需验证是否符合“[x + 1] = 2”，即[2 + 1] = [3] = 3，此时发现矛盾，需重新检查方程构建是否正确（正确应为2 ≤ x + 1 < 3，解得1 ≤ x < 2）。 3. 处理多解或无解情况 部分问题可能因定义的限制产生多解或无解。例如，定义“a#b = (a - b)²”，若a#b = -1，则方程(a - b)² = -1无解，需说明不存在这样的a、b。 1．在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，根据，得，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，即可求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：3． 3．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义中实数的运算，整式的加减混合运算，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握整式加减混合运算的法则是解题的关键． （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行计算，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”，符合题意； ∵，，， ∴数对不是“和积等数对”，不符合题意； ∵， ∴数对是“和积等数对”，符合题意． 故答案为：； （2）解：∵是“和积等数对”， ∴， ， 解得：； （3）是“和积等数对”，求代数式的值． 解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 重难点八 一元一次方程中的整数解 一、明确方程形式与未知数 首先，我们通常会遇到形如 ( ax + b = c ) 或更复杂但可化简为 ( ax = b )（其中 ( a )、( b ) 为常数，( x ) 为未知数）的一元一次方程。这里的“整数解”指的是未知数 ( x ) 的值必须是整数（正整数、负整数或零）。有时，方程中除了未知数 ( x ) 外，还可能含有其他字母（通常称为参数，如 ( k )、( m ) 等），此时我们需要求出使得 ( x ) 为整数的参数的值或取值范围。 二、求解方程并用含参数的代数式表示未知数 如果方程中含有参数，第一步是将方程视为关于未知数 ( x ) 的一元一次方程进行求解，最终将 ( x ) 表示为含有参数的代数式。 例如：解方程 ( 2x - k = 3 )，解得 。这里 ( x ) 就用含参数 ( k ) 的代数式表示出来了。 三、根据“整数解”的要求分析代数式 得到（其中 ( M ) 和 ( N ) 通常是含有参数的整式，或 ( N ) 为常数，( M ) 为含有参数的整式）的形式后，要使 ( x ) 为整数，就意味着 ( M ) 必须是 ( N ) 的整数倍。即 ( M ) 能被 ( N ) 整除。 1. 若 ( N ) 为常数且不为零： 此时，( M ) 必须是 ( N ) 的整数倍。设，其中 ( k ) 为整数。这样就可以得到一个关于参数的新方程，进而求出参数的值或参数所满足的条件。 例如：对于为整数，那么 ( k + 3 ) 必须是 2 的整数倍，即 ( k + 3 = 2m )（其中 ( m ) 为整数），从而 ( k = 2m - 3 )。如果题目再给出 ( k ) 的取值范围，就可以确定具体的 ( m ) 值，进而得到相应的 ( k ) 值。 再如：若方程 ( 3x + a = 0 ) 的解是正整数，求 ( a ) 的取值。解方程得。因为 ( x ) 是正整数，所以且 ( a ) 必须是 3 的负整数倍。即 ( a = -3k )，其中 ( k ) 为正整数。 2. 若 ( N ) 也含有参数： 这种情况相对复杂一些，需要确保分式的结果为整数。这可能需要对 ( M ) 和 ( N ) 进行因式分解，或者通过分析参数的可能取值来判断。有时会结合整除的性质，例如：若，且 ( A )、( B )、( C ) 为整数，则 ( A ) 和 ( B ) 都是 ( C ) 的因数。 例如：若关于 ( x ) 的方程的解为整数，求 ( a ) 的值。先解方程：( x + a = 2(x - 1) ) → ( x + a = 2x - 2 ) → ( x = a + 2 )。但要注意原方程分母不能为零，即→，所以→。所以只要 ( a + 2 ) 为整数（( a ) 本身为整数时即可满足，若 ( a ) 为参数，则 ( a ) 取任意整数且时，( x ) 为整数）。 1．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程．先根据关于的方程的解是正整数求出或，再把或代入分别解方程即可． 【详解】解：解得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或， 解得或 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，关于的方程的解为或， 故选：D 2．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：． 3．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可； （2）解一元一次方程可得，由方程的解是正整数，即也是正整数，再结合为整数可得，最后将、代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：，， 的值与无关， ，解得：． （2）解：∵ ∴， ， 方程的解是正整数， 是正整数，即， 为整数， ， ． 重难点九一元一次方程中的绝对值 一、基本概念认知 绝对值方程的标准形式为|ax+b|=c（a≠0），其核心特征是绝对值符号内含有未知数。根据绝对值的非负性可知，当c<0时方程无解；当c=0时转化为ax+b=0的常规一元一次方程；当c>0时需考虑绝对值符号内表达式的正负两种情况。 二、分类解法详解 （一）直接开平方法（基础型） 适用形式：|ax+b|=c（c>0） 解题步骤： 1. 根据绝对值定义拆分为两个方程：ax+b=c 或 ax+b=-c 2. 分别求解两个一元一次方程：x=(c-b)/a 和 x=(-c-b)/a 3. 检验解的合理性（将解代入原方程验证） （二）分类讨论法（含多绝对值型） 适用形式：|ax+b|=|cx+d| 或 |ax+b|+|cx+d|=e 解题步骤： 1. 求出各绝对值表达式的零点：ax+b=0 ⇒ x=-b/a；cx+d=0 ⇒ x=-d/c 2. 将零点按大小排序，划分x的取值区间 3. 在每个区间内去掉绝对值符号（根据正负性确定符号） 4. 在各区间内求解方程，保留符合区间范围的解 （三）平方法（特殊型） 适用形式：|ax+b|=cx+d（c>0） 解题步骤： 1. 先确定定义域：cx+d≥0 ⇒ x≥-d/c 2. 两边平方去绝对值：(ax+b)²=(cx+d)² 3. 整理为一元二次方程：x²+2(ab-cd)x+=0 4. 求解方程后检验：既要满足平方前的定义域，也要代入原方程验证 1．关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：①当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； ②当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； 综上：实数的值为1或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2．已知关于x的方程只有一个解，那么的值为 ． 【答案】40 【分析】根据题意，绝对值方程只有一个解，可知，即可求出x值和a值，代入代数式即可． 本题主要考查了绝对值的性质以及一元一次方程，熟练掌握0的绝对值为0，解方程，是解决本题的关键． 【详解】∵关于x的方程只有一个解， ∴，， ∴，． 代入． 故答案为：40． 3．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 重难点十 一元一次方程中的程序流程图 一、理解程序流程图的结构与规则 1. 识别基本符号 输入框（平行四边形）：表示初始数据的输入，通常对应方程中的未知数或已知数，例如“输入x”即设未知数为x。 处理框（矩形）：包含运算指令，如“+、-、×、÷”或“乘以2再加3”等，需将文字描述转化为代数式。 判断框（菱形）：根据条件输出不同结果，需明确条件表达式（如“结果>10？”）及分支走向（“是”/“否”对应的后续步骤）。 输出框（平行四边形）：表示最终结果，若题目给出输出值，可据此建立方程；若要求输出结果，则需解方程后代入验证。 2. 梳理流程顺序 按箭头方向依次分析每个步骤，用代数式逐步表示变量的变化过程。例如：输入x → 处理框“乘以3”（3x）→ 处理框“减5”（3x-5）→ 输出结果，即整个流程可表示为代数式“3x-5”。 二、已知输入值，求输出值的解题步骤 1. 代入法直接计算 步骤：根据流程图的运算顺序，将输入值代入代数式，逐步计算。 2. 注意事项 严格遵循运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），避免跳步导致错误。 若流程中含多个处理框，需按顺序依次书写代数式，如“输入x → 加3 → 乘以2”应表示为2(x+3)，而非2x+3。 三、已知输出值，求输入值的解题步骤（列一元一次方程求解） 1. 设未知数，列代数式 设输入值为x，根据流程图步骤写出最终输出的代数式。 2. 根据输出值列方程，解方程 令输出代数式等于已知输出值，列方程并求解。 3. 检验解的正确性 将求得的x代入流程图，反向计算验证输出值是否与题目一致。 1．按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为；当输入为11时，输出结果为；若输入的的值为正整数，输出结果为，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，是一次输出的结果；是两次运算输出的结果；是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可． 【详解】解：若是一次计算输出的结果，则， 解得：； 若是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，故， 解得：； 若是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为3，第三次输出的结果为，故， 解得：； 由于输入的的值为正整数，故满足条件的x的值最多有2个； 故选：B． 2．按下面程序计算，最后输出结果为44，则开始输入的正整数x的值为 ． 【答案】4或14/14或4 【分析】此题考查了代数式求值及解一元一次方程，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 根据程序分析第一个数就是直接输出44，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案， 【详解】解∶根据程序可知∶ 第一个数就是直接输出其结果的∶， 解得∶； 第二个数是． 解得∶； 开始输入的正整数x的值为14或4． 故答案为∶14或4． 3．根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3)或11 【分析】此题考查了一元一次方程和有理数的混合运算，根据题意正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，即可得到答案； （2）按照题意代入数值计算即可； （3）设，由题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 则， 即输入的两个数a和b是互为倒数时，其输出结果为0； 故答案为：互为倒数 （2）当小明输入和这两个数时，， 故答案为： （3）设，由题意可得，， 解得或， 即被墨水污染的那个数为或11； 故答案为：或11． 重难点十一 一元一次方程中的数轴动点求t 一、核心步骤解析 1. 设元表示动点位置 设运动时间为 ( t )（单位：秒），根据动点速度和方向，用含 ( t ) 的代数式表示其在数轴上的位置。 2. 根据题意列方程 距离关系：利用数轴上两点距离公式列方程。 相遇或重合：两点位置相等，即。 中点问题：某点为两点中点，即。 3. 解方程并验证 解含绝对值的方程需分类讨论（如 分为 ( 5t - 7 = 4 ) 和 ( 5t - 7 = -4 )，解得或）。 验证解的合理性：时间，位置需符合数轴实际（如“点在原点左侧”需解集中含负数）。 二、常见题型与解题模板 1. 追及问题 模板：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离（同向运动）。 2. 往返运动问题 关键：分段表示位置，注意方向改变时速度符号变化。 3. 几何综合问题 结合线段中点、线段和差：用代数式表示线段长度，列方程。 1．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为，根据题意得出，然后根据当，时，分类讨论，得出点，表示的数，列出方程即可求解． 【详解】解：依题意，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 设点表示的数为， 当相遇时，，解得， ∴相遇点在， ∴当点为线段的中点时，点在点的右侧， ∴ 解得： ∵点从出发，在线段上往返运动 ∴ ∴ 当时，此时点从2往3运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：（舍去） 当时，此时点从3往2运动， ∴点表示的数为 ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，求得点表示的数是解题的关键． 2．如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线上从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则 ． 【答案】1或3或6 【分析】分在左侧1个单位长度，和点超过点右侧1个单位长度，以及到达点后，点继续运动三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点的运动时间为：秒，点的运动时间为：秒， ①当在左侧1个单位长度时： ，即：，解得：； ②当点超过点右侧1个单位长度时： ，即：，解得：； ③到达点时，点运动：个单位长度，距离点还有个单位长度，因此点再运动个单位长度时，即再运动秒后，与相距1个单位长度，此时； 综上：M，N两点间距离是1时，1或3或6； 故答案为：1或3或6． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是利用数形结合，分类讨论的思想，列出方程进行求解． 3．在数轴上，位于原点两侧的两个点到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数．我们定义，在数轴上，一个点到原点距离是另一个点到原点距离的2倍，则这两个点表示的数互为原点的“关联数”．例如：点表示的数为2，则与点表示的数互为原点的“关联数”可以为，． (1)在数轴上，已知点表示的数为3，点表示的数为整数，若点，表示的数互为原点的“关联数”，则为___________； (2)数轴上有点，，，点表示的数为4，点在负半轴上，且点，之间的距离为9．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，求点表示的数； (3)如图所示，已知点表示的数为，点表示的数为10．点，同时出发，点在数轴上以3个单位/秒的速度向右运动，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动，当点到达原点后立即按原速向右运动，设运动时间为．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或或或 (3)当点，表示的数互为原点的“关联数”时，的值为或或 【分析】（1）根据“关联数”的定义即可得解； （2）根据“关联数”的定义得出点表示的数为或，再由点，之间的距离为9，并结合数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （3）求出点到达原点时，秒，当时，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为，分别根据“关联数”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为3，点表示的数为整数，点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴为， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4，点，表示的数互为原点的“关联数”， 点在负半轴上， ∴点表示的数为或， ∵点，之间的距离为9， ∴当点表示的数为时，点表示的数为或， 当点表示的数为时，点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为或或或； （3）解：∵点表示的数为10，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动， ∴点到达原点时，秒， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴或， 解可得或（不符合题意，舍去）； 解可得或（不符合题意，舍去）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∵点，表示的数互为原点的“关联数”， ∴或， 解可得， 解得可得（不符合题意，舍去）； 综上所述，当点，表示的数互为原点的“关联数”时，的值为或或． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元一次方程的解法 5.4一元一次方程的解法 重难点一 解一元一次方程——移项与合并同类项 一、合并同类项解一元一次方程 1. 定义阐释：当方程中存在多个含相同未知数的项或多个常数项时，需先将这些同类项进行合并，使方程简化为“ax=b（a≠0）”的形式，此过程称为合并同类项。 2. 操作步骤 识别同类项：在方程中找出所有含未知数的项（如3x、-5x）和所有常数项（如2、-7），明确哪些项可以合并。 合并同类项：依据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母及其指数保持不变。例如，对于方程3x + 5x - 2x = 12，合并含x的同类项可得（3 + 5 - 2）x = 6x，方程简化为6x = 12。 求解方程：合并同类项后得到ax=b的形式，两边同时除以系数a，即可求出未知数x的值，即x = b/a。如上例中，6x = 12，两边同时除以6，解得x = 2。 二、移项解一元一次方程 1. 定义阐释：把方程中的某一项从等号的一边移到另一边时，必须改变该项的符号，这种变形叫做移项。移项的依据是等式的基本性质1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等）。 2. 操作步骤 确定移项对象：分析方程，将含未知数的项移到等号的一边（通常为左边），常数项移到等号的另一边（通常为右边）。 改变符号移项：移动的项必须改变符号，未移动的项符号保持不变。例如，对于方程-3x + 3 = -6，将左边的常数项3移到右边，变为-3x = -6 - 3。 合并同类项求解：移项后，等号两边分别合并同类项，得到ax=b的形式，再求解。如上例中，-3x = -9，两边同时除以-3，解得x = 3。 3. 注意事项 移项时必须变号，这是移项的关键，也是最容易出错的地方，如“+”变“-”，“-”变“+”。 不要漏移项，确保所有含未知数的项和常数项都移到正确的位置。 1．下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 2．若一个正数的平方根分别是与，则这个正数为 ． 3．解方程： (1)； (2) 重难点二 解一元一次方程——去括号 解含括号的一元一次方程时，去括号是关键步骤，其核心是利用乘法分配律将括号去掉，转化为不含括号的一元一次方程，再按常规步骤求解。具体方法如下： 一、去括号的依据 乘法分配律：对于任意数 (a)、(b)、(c)，有 ，。 注意：若括号前有负号（如 (-a(b+c))），去括号后括号内各项需变号，即 。 二、具体步骤 1. 确定括号前的系数（符号） 观察方程中每个括号前的数字或符号（“+”或“-”），明确其对括号内各项的影响。 2. 应用乘法分配律去括号 将括号前的系数（或符号）分别乘以括号内的每一项，确保不遗漏任何项，并注意符号变化。 3. 合并同类项 将等号两边的同类项（含相同字母且字母指数相同的项）分别合并，化简方程。 4. 移项与求解 将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边（移项需变号），再合并同类项，最后系数化为1。 1．下列关于解方程过程中，变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 2．若的值比的值小1，则x的值为 ． 3．解方程： (1) (2) 重难点三 解一元一次方程——去分母 一、确定最简公分母 首先找出方程中所有分母的最小公倍数，这个最小公倍数就是最简公分母。例如，方程中，分母分别是2和3，它们的最小公倍数是6，所以最简公分母是6。 二、方程两边同乘最简公分母 将方程的每一项都乘以最简公分母，目的是消除分母。需要注意的是，方程中的常数项和不含分母的项也要乘以最简公分母，不能漏乘。以上面的方程为例，两边同乘6可得：，化简后为。 三、去括号（若有需要） 如果去分母后方程中出现括号，按照去括号法则进行计算，即括号前是正号，去掉括号后各项不变号；括号前是负号，去掉括号后各项都变号。例如上述方程去分母后得到，这里括号前是正号，去掉括号后。 四、移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。移项时要注意改变符号。例如方程，移项可得。 五、合并同类项 将方程两边的同类项进行合并，化为（(a)、(b)为常数，）的形式。例如上述方程合并同类项后为。 六、系数化为1 在方程两边同时除以未知数的系数(a)，得到方程的解。由于上一步已得到，此步骤在该例中无需额外计算。 注意事项 1. 去分母时，方程两边的每一项都必须乘以最简公分母，避免漏乘常数项。 2. 如果分子是一个多项式，去分母后要将分子用括号括起来，再去括号，防止符号出错。例如方程，去分母得，而不是。 3. 去括号和移项时，要严格按照相应的法则进行，确保符号正确。 4. 解完方程后，可以将求得的解代入原方程进行检验，看等式是否成立，以验证解的正确性。 1．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．当 时，代数式和的值互为相反数． 3．解方程： (1)； (2)． 重难点四 解一元一次方程——含小数 一、利用“小数的性质”化小数为整数 1. 确定方程中所有小数的小数位数：观察方程中每个含小数的项，找出小数部分位数最多的那个数，记为n位。 2. 方程两边同乘10ⁿ：将方程的两边同时乘以10的n次方（即1后面n个0），使所有小数都转化为整数。 二、去分母（若化小数时已乘过，此步可省略或根据情况调整） 如果方程中既有小数又有分母，或者化小数后仍有分母，需先去分母。具体步骤： 1. 找出所有分母的最小公倍数：观察方程中各项的分母（若有），确定它们的最小公倍数。 2. 方程两边同乘最小公倍数：将方程两边同时乘以这个最小公倍数，消除分母。注意：每一项都要乘，包括不含分母的项。 三、去括号 1. 运用乘法分配律：如果括号前有系数，用系数乘以括号内的每一项，注意符号。 2. 括号前是“+”号：去掉括号后，括号内各项的符号不变。 3. 括号前是“-”号：去掉括号后，括号内各项的符号都要改变。 四、移项 1. 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边：移项时，要改变该项的符号。 2. 注意：移项是从等号的一边移到另一边，才需要变号；等号同一边的项交换位置，符号不变。 五、合并同类项 1. 合并含未知数的项：将等号左边所有含x的项合并，右边所有常数项合并。 2. 结果形式：化为ax = b（a、b为常数，a≠0）的形式。 六、系数化为1 1. 方程两边同除以未知数的系数：将ax = b两边同时除以a（或乘以），得到x。 2. 注意符号：若系数为负数，除以负数后，等号另一边的符号要相应改变。 七、检验（可选，但建议初学者进行） 1. 代入原方程：将求得的x的值代入原方程的左边和右边，分别计算结果。 2. 比较左右两边：若左边等于右边，则x的值是原方程的解；若不等，则说明解题过程有误，需重新检查。 1．将方程 中分母化为整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 3．解方程． (1) (2) 重难点五 一元一次方程中的相同(反)解 一、同解问题（解相同） 核心思路 若两个方程的解相同，则先求出含参数较少的方程的解，再将此解代入另一个方程，构建关于参数的新方程求解。 解题步骤 1. 解不含参数的方程（或选择参数较简单的方程），得到未知数的值； 2. 代入含参数的方程，将未知数的值代入另一个方程，形成只含参数的一元一次方程； 3. 求解参数方程，解出参数的值。 二、反解问题（解互为相反数） 核心思路 若两个方程的解互为相反数，则先分别求出两个方程的解（用含参数的代数式表示），再根据“互为相反数的两数之和为0”列方程求解参数。 解题步骤 1. 分别求解两个方程，用含参数的代数式表示两个方程的解和； 2. 根据相反数关系列方程：； 3. 解关于参数的方程，求出参数的值。 1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 重难点六 一元一次方程中的规律 一、规律探究的基本步骤 1. 观察特例，列举数据 从具体情境（如数字序列、图形变化、实际问题）中提取关键数据，按顺序排列成表格或有序数组。 例：图形按“△□□△□□…”排列，记录第1、2、3…个图形的形状，或用数字1代表△、2代表□，得到序列：1，2，2，1，2，2… 2. 分析数据，寻找关系 横向比较：观察相邻数据的差、商或倍数关系（如等差数列的公差、等比数列的公比）。 纵向关联：将序号n（1，2，3…）与对应数值y列出，尝试用n的代数式表示y（如y=kn+b，k、b为常数）。 · 例：若n=1时y=3，n=2时y=5，n=3时y=7，观察到y随n增大每次加2，推测y=2n+1。 3. 建立方程，验证规律 若规律猜想为一次关系（y=kn+b），代入两组已知数据得到关于k、b的一元一次方程组，求解后验证是否符合所有数据。 例：上述猜想y=2n+1，代入n=1得3=2×1+b→b=1，再验证n=2：2×2+1=5，符合；n=3：2×3+1=7，符合，确定规律成立。 4. 应用规律，解决问题 利用确定的关系式（如y=kn+b）解决逆向问题（已知y求n）或延伸问题（预测第m个数据）。 例：求上述序列中y=21时的n：2n+1=21→2n=20→n=10，即第10个数据为21。 二、常见类型及解题策略 1. 数字序列规律 · 等差型：相邻两项差为常数d，通项公式y=a₁+(n-1)d（a₁为首项）。 例：1，4，7，10…（d=3，a₁=1）→y=1+3(n-1)=3n-2。 · 循环型：数据按固定周期重复，先确定周期T，用n÷T的余数判断位置。 例：2，0，1，2，0，1…（T=3），求第2023项：2023÷3=674余1→对应周期第1项，即2。 2. 3. 图形变化规律 · 累加型：图形数量随n线性增加，通过列表找n与图形个数的一次关系。 例：第1个图有3个点，第2个图有5个点，第3个图有7个点…设y=kn+b，代入(1,3)、(2,5)得k=2，b=1→y=2n+1。 · 分步计数型：图形由基础部分和增量部分组成，分别表示后相加。 例：摆n个正方形需火柴棒：第1个4根，每多1个加3根→y=4+3(n-1)=3n+1。 4. 实际问题规律（如日历、阶梯收费） 日历问题：横行相邻数差1，竖列差7，设中间数为x，用含x的式子表示其他数，列方程求解。 例：日历中一竖列3个数和为60，设中间数为x，则(x-7)+x+(x+7)=60→3x=60→x=20，三个数为13，20，27。 阶梯收费：根据分段范围设未知数，按不同阶段费用列方程（注意分类讨论）。 例：水费前5吨2元/吨，超过部分3元/吨，设用水x吨（x>5），总费用y=5×2+3(x-5)=3x-5，若y=28→3x-5=28→x=11。 1．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 2．有一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为；…根据规律第6个方程的解为 ． 3．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 重难点七 一元一次方程中的新定义 一、理解新定义的核心要素 1. 提取关键信息 通读题目，圈画新定义中的核心词汇（如“新运算符号”“特定规则”“新概念术语”），明确其数学含义。 2. 转化为数学表达式 将文字描述的新定义翻译成代数形式。 3. 验证定义边界条件 注意新定义中是否包含特殊情况（如0、负数、取值范围限制），例如“当a > b时，a△b = a + b；当a ≤ b时，a△b = a - b”，需通过分类讨论确保覆盖所有情况。 二、建立新定义与一元一次方程的联系 1. 根据定义列方程 将新定义中的已知量代入规则，用未知数表示未知量，构建一元一次方程。例如，若“m※2 = 5”且“a※b = 3a - 2b”，则代入得3m - 2×2 = 5，即3m - 4 = 5。 2. 明确方程的等量关系 新定义问题常通过“等于”“满足”“成立”等关键词提示等量关系。例如，“若[x + 1] = 2，求x的取值范围”，根据定义可列出2 ≤ x + 1 < 3，转化为关于x的不等式方程。 3. 统一未知数与定义规则 确保方程中未知数的运算符合新定义的格式，避免混淆常规运算与新运算。例如，定义“a⊙b = ax + b”（x为未知数），若2⊙3 = 7，则方程为2x + 3 = 7。 三、解方程并验证解的合理性 1. 按常规步骤解方程 对转化后的一元一次方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解。例如，解方程3m - 4 = 5，移项得3m = 9，解得m = 3。 2. 代入新定义验证解 将解得的结果代入原新定义中检验，确保满足定义的所有条件。例如，若求得x = 2，需验证是否符合“[x + 1] = 2”，即[2 + 1] = [3] = 3，此时发现矛盾，需重新检查方程构建是否正确（正确应为2 ≤ x + 1 < 3，解得1 ≤ x < 2）。 3. 处理多解或无解情况 部分问题可能因定义的限制产生多解或无解。例如，定义“a#b = (a - b)²”，若a#b = -1，则方程(a - b)² = -1无解，需说明不存在这样的a、b。 1．在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（　　） A． B． C．0 D． 2．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 3．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 重难点八 一元一次方程中的整数解 一、明确方程形式与未知数 首先，我们通常会遇到形如 ( ax + b = c ) 或更复杂但可化简为 ( ax = b )（其中 ( a )、( b ) 为常数，( x ) 为未知数）的一元一次方程。这里的“整数解”指的是未知数 ( x ) 的值必须是整数（正整数、负整数或零）。有时，方程中除了未知数 ( x ) 外，还可能含有其他字母（通常称为参数，如 ( k )、( m ) 等），此时我们需要求出使得 ( x ) 为整数的参数的值或取值范围。 二、求解方程并用含参数的代数式表示未知数 如果方程中含有参数，第一步是将方程视为关于未知数 ( x ) 的一元一次方程进行求解，最终将 ( x ) 表示为含有参数的代数式。 例如：解方程 ( 2x - k = 3 )，解得 。这里 ( x ) 就用含参数 ( k ) 的代数式表示出来了。 三、根据“整数解”的要求分析代数式 得到（其中 ( M ) 和 ( N ) 通常是含有参数的整式，或 ( N ) 为常数，( M ) 为含有参数的整式）的形式后，要使 ( x ) 为整数，就意味着 ( M ) 必须是 ( N ) 的整数倍。即 ( M ) 能被 ( N ) 整除。 1. 若 ( N ) 为常数且不为零： 此时，( M ) 必须是 ( N ) 的整数倍。设，其中 ( k ) 为整数。这样就可以得到一个关于参数的新方程，进而求出参数的值或参数所满足的条件。 例如：对于为整数，那么 ( k + 3 ) 必须是 2 的整数倍，即 ( k + 3 = 2m )（其中 ( m ) 为整数），从而 ( k = 2m - 3 )。如果题目再给出 ( k ) 的取值范围，就可以确定具体的 ( m ) 值，进而得到相应的 ( k ) 值。 再如：若方程 ( 3x + a = 0 ) 的解是正整数，求 ( a ) 的取值。解方程得。因为 ( x ) 是正整数，所以且 ( a ) 必须是 3 的负整数倍。即 ( a = -3k )，其中 ( k ) 为正整数。 2. 若 ( N ) 也含有参数： 这种情况相对复杂一些，需要确保分式的结果为整数。这可能需要对 ( M ) 和 ( N ) 进行因式分解，或者通过分析参数的可能取值来判断。有时会结合整除的性质，例如：若，且 ( A )、( B )、( C ) 为整数，则 ( A ) 和 ( B ) 都是 ( C ) 的因数。 例如：若关于 ( x ) 的方程的解为整数，求 ( a ) 的值。先解方程：( x + a = 2(x - 1) ) → ( x + a = 2x - 2 ) → ( x = a + 2 )。但要注意原方程分母不能为零，即→，所以→。所以只要 ( a + 2 ) 为整数（( a ) 本身为整数时即可满足，若 ( a ) 为参数，则 ( a ) 取任意整数且时，( x ) 为整数）。 1．若关于的方程的解是正整数，且为整数，则关于的方程的解为（    ） A．或 B． C． D．或 2．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 3．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 重难点九一元一次方程中的绝对值 一、基本概念认知 绝对值方程的标准形式为|ax+b|=c（a≠0），其核心特征是绝对值符号内含有未知数。根据绝对值的非负性可知，当c<0时方程无解；当c=0时转化为ax+b=0的常规一元一次方程；当c>0时需考虑绝对值符号内表达式的正负两种情况。 二、分类解法详解 （一）直接开平方法（基础型） 适用形式：|ax+b|=c（c>0） 解题步骤： 1. 根据绝对值定义拆分为两个方程：ax+b=c 或 ax+b=-c 2. 分别求解两个一元一次方程：x=(c-b)/a 和 x=(-c-b)/a 3. 检验解的合理性（将解代入原方程验证） （二）分类讨论法（含多绝对值型） 适用形式：|ax+b|=|cx+d| 或 |ax+b|+|cx+d|=e 解题步骤： 1. 求出各绝对值表达式的零点：ax+b=0 ⇒ x=-b/a；cx+d=0 ⇒ x=-d/c 2. 将零点按大小排序，划分x的取值区间 3. 在每个区间内去掉绝对值符号（根据正负性确定符号） 4. 在各区间内求解方程，保留符合区间范围的解 （三）平方法（特殊型） 适用形式：|ax+b|=cx+d（c>0） 解题步骤： 1. 先确定定义域：cx+d≥0 ⇒ x≥-d/c 2. 两边平方去绝对值：(ax+b)²=(cx+d)² 3. 整理为一元二次方程：x²+2(ab-cd)x+=0 4. 求解方程后检验：既要满足平方前的定义域，也要代入原方程验证 1．关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 2．已知关于x的方程只有一个解，那么的值为 ． 3．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 重难点十 一元一次方程中的程序流程图 一、理解程序流程图的结构与规则 1. 识别基本符号 输入框（平行四边形）：表示初始数据的输入，通常对应方程中的未知数或已知数，例如“输入x”即设未知数为x。 处理框（矩形）：包含运算指令，如“+、-、×、÷”或“乘以2再加3”等，需将文字描述转化为代数式。 判断框（菱形）：根据条件输出不同结果，需明确条件表达式（如“结果>10？”）及分支走向（“是”/“否”对应的后续步骤）。 输出框（平行四边形）：表示最终结果，若题目给出输出值，可据此建立方程；若要求输出结果，则需解方程后代入验证。 2. 梳理流程顺序 按箭头方向依次分析每个步骤，用代数式逐步表示变量的变化过程。例如：输入x → 处理框“乘以3”（3x）→ 处理框“减5”（3x-5）→ 输出结果，即整个流程可表示为代数式“3x-5”。 二、已知输入值，求输出值的解题步骤 1. 代入法直接计算 步骤：根据流程图的运算顺序，将输入值代入代数式，逐步计算。 2. 注意事项 严格遵循运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），避免跳步导致错误。 若流程中含多个处理框，需按顺序依次书写代数式，如“输入x → 加3 → 乘以2”应表示为2(x+3)，而非2x+3。 三、已知输出值，求输入值的解题步骤（列一元一次方程求解） 1. 设未知数，列代数式 设输入值为x，根据流程图步骤写出最终输出的代数式。 2. 根据输出值列方程，解方程 令输出代数式等于已知输出值，列方程并求解。 3. 检验解的正确性 将求得的x代入流程图，反向计算验证输出值是否与题目一致。 1．按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为；当输入为11时，输出结果为；若输入的的值为正整数，输出结果为，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．按下面程序计算，最后输出结果为44，则开始输入的正整数x的值为 ． 3．根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 重难点十一 一元一次方程中的数轴动点求t 一、核心步骤解析 1. 设元表示动点位置 设运动时间为 ( t )（单位：秒），根据动点速度和方向，用含 ( t ) 的代数式表示其在数轴上的位置。 2. 根据题意列方程 距离关系：利用数轴上两点距离公式列方程。 相遇或重合：两点位置相等，即。 中点问题：某点为两点中点，即。 3. 解方程并验证 解含绝对值的方程需分类讨论（如 分为 ( 5t - 7 = 4 ) 和 ( 5t - 7 = -4 )，解得或）。 验证解的合理性：时间，位置需符合数轴实际（如“点在原点左侧”需解集中含负数）。 二、常见题型与解题模板 1. 追及问题 模板：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离（同向运动）。 2. 往返运动问题 关键：分段表示位置，注意方向改变时速度符号变化。 3. 几何综合问题 结合线段中点、线段和差：用代数式表示线段长度，列方程。 1．数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为（    ） A．2 B． C． D．或 2．如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线上从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则 ． 3．在数轴上，位于原点两侧的两个点到原点的距离相等，则这两个点表示的数互为相反数．我们定义，在数轴上，一个点到原点距离是另一个点到原点距离的2倍，则这两个点表示的数互为原点的“关联数”．例如：点表示的数为2，则与点表示的数互为原点的“关联数”可以为，． (1)在数轴上，已知点表示的数为3，点表示的数为整数，若点，表示的数互为原点的“关联数”，则为___________； (2)数轴上有点，，，点表示的数为4，点在负半轴上，且点，之间的距离为9．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，求点表示的数； (3)如图所示，已知点表示的数为，点表示的数为10．点，同时出发，点在数轴上以3个单位/秒的速度向右运动，点在数轴上以5个单位/秒的速度向左运动，当点到达原点后立即按原速向右运动，设运动时间为．当点，表示的数互为原点的“关联数”时，直接写出的值． 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $