重难点专题 图形与坐标（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

重难点专题 图形与坐标 4.1平面直角坐标系 重难点一 平面直角坐标系中的坐标 1. 有序数对的概念 平面内任意一点的位置由两个有顺序的实数确定，称为有序数对，记作((a,b))。其中，第一个数(a)称为横坐标，第二个数(b)称为纵坐标，两者的顺序不可互换（如((2,3))与((3,2))表示不同点）。 2. 坐标与坐标系的关系 在平面直角坐标系中，坐标原点为(O(0,0))，(x)轴（横轴）向右为正方向，(y)轴（纵轴）向上为正方向。任意一点(P)的坐标((a,b))通过以下方式确定： 过点(P)作(x)轴的垂线，垂足对应的数为横坐标(a)； 过点(P)作(y)轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标(b)。 二、由点求坐标的步骤 1. 确定坐标轴方向与单位长度 明确坐标系中(x)轴、(y)轴的正方向及单位长度（通常一格代表1个单位，特殊情况需根据题目标注调整）。 2. 作垂线求横、纵坐标 横坐标：从已知点向(x)轴作垂线，若垂足在原点右侧，横坐标为正数；在原点左侧，横坐标为负数；在原点上，横坐标为0。 纵坐标：从已知点向(y)轴作垂线，若垂足在原点上方，纵坐标为正数；在原点下方，纵坐标为负数；在原点上，纵坐标为0。 三、由坐标描点的步骤 1. 定位横坐标 在(x)轴上找到与横坐标数值对应的点（正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点），过该点作(x)轴的垂线。 2. 定位纵坐标 在(y)轴上找到与纵坐标数值对应的点（正数在原点上方，负数在下方，0在原点），过该点作(y)轴的垂线。 3. 确定交点 两条垂线的交点即为所求点的位置，用字母标注（如(P(a,b))）。 四、特殊位置点的坐标特征 1. 坐标轴上的点 (x)轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为((a,0))（如）； (y)轴上的点：横坐标为0，坐标形式为((0,b))（如((0,2))）； 原点：横、纵坐标均为0，即((0,0))。 2. 象限内的点 第一象限：横坐标(>0)，纵坐标(>0)，如((3,5))； 第二象限：横坐标(<0)，纵坐标(>0)，如； 第三象限：横坐标(<0)，纵坐标(<0)，如； 第四象限：横坐标(>0)，纵坐标(<0)，如。 3. 对称点的坐标 关于(x)轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如((a,b))对称点为）； 关于(y)轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如((a,b))对称点为）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如((a,b))对称点为）。 1．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题中给出的两点坐标建立坐标系即可得出B点坐标． 【详解】解：根据点，，建立直角坐标系如下图： 则， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．根据轴上的点的纵坐标等于零可得，即可求得的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ， 即， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、、的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的点的特征作出即可； （2）根据（1）中作出的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所作图形， ； （2）解：由图可得：，，； （3）解：的面积． 重难点二 平面直角坐标系中点坐标的平移 一、左右平移（沿x轴方向） 向右平移：点的横坐标增大，纵坐标不变。 若点( P(x, y) )向右平移( a )个单位长度（( a > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 向左平移：点的横坐标减小，纵坐标不变。 若点( P(x, y) )向左平移( a )个单位长度（( a > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 二、上下平移（沿y轴方向） 向上平移：点的纵坐标增大，横坐标不变。 若点( P(x, y) )向上平移( b )个单位长度（( b > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 向下平移：点的纵坐标减小，横坐标不变。 若点( P(x, y) )向下平移( b )个单位长度（( b > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 三、综合平移（先左右后上下或先上下后左右） 点的平移具有分步性，可先进行x轴方向的平移，再进行y轴方向的平移，或反之，结果相同。 若点( P(x, y) )先向右平移( a )个单位，再向上平移( b )个单位，平移后坐标为( P' )。 若点( P(x, y) )先向左平移( a )个单位，再向下平移( b )个单位，平移后坐标为( P' )。 四、口诀总结 为快速记忆，可归纳为： “右加左减（横坐标），上加下减（纵坐标）” 即： 左右移，变横标：右移加，左移减； 上下移，变纵标：上移加，下移减。 关键提醒：平移方向与坐标变化的符号一致（如向右、向上对应“+”，向左、向下对应“-”），且横、纵坐标的变化相互独立，互不影响。 1．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 3．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点与、点与、点与对应），请画出，并写出点、点的坐标； (2)直接写出的面积 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键． ()根据点的位置直接得到点的坐标; ()根据所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是，点B的坐标是； （2）解：的面积为， 故答案为：． 重难点三 建立平面直角坐标系 一、确定原点位置 原点是坐标系的基准点，通常选择图形的特殊点（如对称中心、顶点、端点）或问题中的关键参考点作为原点。例如： 若图形为矩形，可选择一个顶点作为原点； 若描述物体运动轨迹，可选择出发点或静止点作为原点； 若涉及对称图形，可选择对称轴的交点作为原点。 选择原点时需确保后续坐标表示简洁，减少计算复杂度。 二、确定坐标轴方向 1. x轴方向：通常以水平向右为正方向，若有特殊情境（如地图方向），可按“上北下南左西右东”确定水平方向。 2. y轴方向：通常以竖直向上为正方向，需与x轴垂直。 3. 特殊情况：若图形有明显方向特征（如斜坡、斜面），可将坐标轴与图形的边或对称轴重合，使坐标表示更直观。 三、确定单位长度 根据实际问题的需要选择合适的单位长度： 若图形在纸上绘制，可根据图形大小和纸张尺寸，用1cm代表1个单位长度（如1cm=1m、1cm=1km等）； 若涉及数据计算，需确保单位长度统一，例如在网格图中，每个小正方形边长可作为1个单位长度； 单位长度需标注在坐标轴旁，且同一坐标系中单位长度保持一致。 四、标注坐标系要素 完成上述步骤后，需明确标注： 1. 坐标轴名称：在x轴和y轴旁分别标注“x”和“y”； 2. 正方向箭头：在x轴右端和y轴上端标注箭头，表示正方向； 3. 原点符号：在原点位置标注“O”； 4. 单位长度刻度：在坐标轴上均匀标注刻度线及对应的数值（如1,2,3,...）。 五、验证与调整 建立坐标系后，可通过以下方式验证合理性： 选取图形中2-3个关键点，计算其坐标是否符合预期； 若坐标出现负数过多或数值过大，可重新调整原点位置或单位长度； 确保坐标系能清晰反映图形的位置关系和数量特征，例如对称图形的坐标是否满足对称性质。 1．在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“帅”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：“帅”的坐标可以由“相”的坐标，先向左移个单位，再向下平移个单位得， ， ， “帅”的坐标为， 故选：D． 2．如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据题意得出点与点关于轴对称，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，点与点关于轴对称， 火焰顶部点的坐标是， 对应虚像顶部点的坐标是， 故答案为：． 3．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： (1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________； (2)在坐标系中标出体育馆的位置； (3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了画平面直角坐标系，求坐标系中点的坐标． （1）根据学校位置坐标画出平面直角坐标系，进而写出图书馆B的坐标即可； （2）根据体育馆的坐标标出位置即可； （3）根据在平面直角坐标系中标出食堂，进而写出食堂的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： 可知图书馆B的坐标为． 故答案为：； （2）如图： （3）在平面直角坐标系中标出食堂如图所示： 可知食堂的坐标为． 故答案为：． 重难点四 平面直角坐标系中的规律 一、坐标规律探究的核心思路 1. 观察坐标特征 横向观察：分析点的横坐标（x值）随序号或图形变化的规律，记录数据序列（如1,3,5,7...或2,4,6,8...），判断是否为等差、等比或自定义周期数列。 纵向观察：分析点的纵坐标（y值）变化规律，方法同横坐标，注意与横坐标的关联性（如y=x+1，y=2x等）。 整体观察：若横、纵坐标存在同步变化（如沿直线y=x或y=-x对称），需验证坐标间的函数关系（一次函数、二次函数等）。 2. 建立序号与坐标的对应关系 设图形序号为n（n为正整数），将每个点的坐标表示为（xₙ，yₙ），通过前3-5组数据归纳xₙ和yₙ关于n的表达式。 二、常见规律类型及破解方法 1. 直线型规律（一次函数关系） 特征：横、纵坐标差值恒定，满足y=kx+b（k≠0）。 步骤： ① 取两组坐标代入y=kx+b，解方程组求k、b； ② 用第三组坐标验证表达式正确性。 2. 周期性规律 特征：坐标值随序号循环出现（如横/纵坐标以3或4为周期重复）。 步骤： ① 找出周期T（重复出现的最小间隔）； ② 计算序号n除以T的余数r（r=1,2,...,T）； ③ 根据余数r确定对应周期内的坐标值。 3. 对称型规律 特征：点关于x轴、y轴或原点对称。 对称关系： 关于x轴对称：（a,b）→（a,-b）； 关于y轴对称：（a,b）→（-a,b）； 关于原点对称：（a,b）→（-a,-b）。 4. 图形点阵规律 特征：点分布在网格或特定图形顶点，坐标与图形边长、层数相关。 步骤： ① 确定图形生长方式（如正方形点阵每层边长增加2）； ② 归纳第n层（或第n个图形）的顶点坐标通式。 1．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，勾股定理等知识，通过推导得出点的坐标的变化规律是解题的关键． 如图，作轴，根据等边三角形的性质以及勾股定理可求出，，同理可得，，，，，由此发现点的坐标变化规律即可求得结果． 【详解】如图，作轴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得，，，，，…， 由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每个点依次为：这样循环， ， 故选D． 2．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ∵，， ∴是第组第二个数，坐标为：， 是第组第三个数，坐标为：， 故答案为：，． 3．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 【答案】(1)；； (2) (3)5；299 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点P的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 令， 解得， ∴． 即点的坐标为． 同理可得，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：； （3）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 则点到轴的距离是5，到轴的距离是299． 故答案为：5，299． 4.2方向和距离确定物体的位置 重难点一 方向角确定位置 一、方向角的定义与表示 方向角是从正北或正南方向为基准，描述物体所在方向的角，通常表达为“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”。 基准方向：必须以正北（N）或正南（S）为起始边，向东（E）或向西（W）旋转形成夹角，角度范围为0°~90°。 二、用方向角确定位置的步骤 1. 确定观测点 明确以哪个物体或地点为参照中心（即坐标原点），所有方向均从观测点出发描述。 2. 建立方向坐标系 在观测点处绘制“上北下南，左西右东”的十字方向标，标注N（北）、S（南）、E（东）、W（西）。 3. 测量或确定方向角 以正北或正南方向为始边，根据物体相对于观测点的实际方向，确定偏向的角度。 注意：角度需精确到度，且不可超过90°（如“北偏东100°”表述错误，应转换为“南偏东80°”）。 4. 描述位置关系 结合观测点和方向角，完整表述物体位置，格式为：“物体在观测点的×偏×××°方向”。 三、特殊方向角的简化表示 · 正方向：若物体恰好位于正北、正南、正东或正西方向，直接描述为“正北方向”“正南方向”等，无需加角度。 · 45°方向：当方向角为45°时，可简化为“东北方向”（北偏东45°）、“西北方向”（北偏西45°）、“东南方向”（南偏东45°）、“西南方向”（南偏西45°）。 1．下列表述能确定物体具体位置的是（   ） A．中海万锦北园 B．蓝海路北边 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个有顺序的数是解题的关键． 选项A、B、C均无法唯一确定一个点，只有选项D的经纬度坐标能精确定位． 【详解】解：A．中海万锦北园是一个小区名称，表示一个区域，无法确定具体位置； B．蓝海路北边描述一条路的北侧，是一个区域，无法确定具体位置； C．南偏东仅给出方向，缺乏起点和距离，无法确定具体位置； D．东经，北纬是经纬度坐标，能唯一确定地球上的一个位置． 故选D． 2．如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A( ， )，B( ， )； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 【答案】 0 4 4 南 西 12 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图形，进行作答即可； （2）结合图形，得C点在A点的南偏西45度方向，再根据一个格子长度为，C点与A点相隔三个格子，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得，， 故答案为：； （2）观察图形，C点在A点的南偏西45度方向， 结合一个格子长度为，C点与A点相隔三个格子， ∴， ∴C点距离A点， 故答案为：南，西，45，12． 3．如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）他平均每分钟走75米． 【分析】本题考查了比例尺，方向角，速度、时间与路程之间的关系．根据图形结合方向角的定义求解即可． 【详解】解：（1）小青先向正西方向行，再向北偏西方向行到小红家． （2）小力先向南偏东方向行，再向正南方向行到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，走了， ， 答：他平均每分钟走75米． 4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 重难点一 平面直角坐标系中的最值 一、利用轴对称求最短路径（“将军饮马”模型） 核心原理：两点之间线段最短，通过轴对称将折线转化为直线段，实现路径最短。 常见类型及步骤： 1. 两定点+直线上一动点（单动点） 问题：已知点A、B在直线l同侧，在l上找一点P，使PA+PB最小。 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，此时PA+PB=A'B（最短）。 原理：轴对称性质得PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B共线时，线段A'B最短。 2. 两定点+两直线上两动点（双动点） 问题：已知点A、B分别在直线l、m上，在l上找P，m上找Q，使PA+PQ+QB最小。 方法：作A关于l的对称点A'，B关于m的对称点B'，连接A'B'交l于P，交m于Q，此时PA+PQ+QB=A'B'（最短）。 3. 坐标系内应用 步骤： ① 根据对称轴（坐标轴或某直线）求对称点坐标（如关于x轴对称：(x,y)→；关于y轴对称：(x,y)→）； ② 用待定系数法求对称点连线的直线解析式； ③ 求直线与对称轴的交点坐标（即动点P）； ④ 计算最短路径长度（两点间距离公式：）。 二、利用平移求最短距离（“造桥选址”模型） 核心原理：通过平移将折线中的定长线段平移，转化为两点之间线段最短问题。 常见类型及步骤： 问题：直线l₁∥l₂，距离为d，在l₁、l₂上分别找A、B，在两直线间造桥MN（MN⊥l₁，垂足为M，N在l₂上），使AM+MN+NB最短。 方法： ① 将点A沿MN方向平移d个单位得A'（即A'M=MN）； ② 连接A'B交l₂于点N，过N作MN⊥l₁于M，连接AM、NB； ③ 此时AM+MN+NB=A'B+MN（MN为定长，A'B最短）。 坐标系内应用： ① 根据平移方向和距离求平移后点的坐标（如沿y轴负方向平移d个单位：(x,y)→）； ② 求A'B所在直线解析式，确定N点坐标，进而得M点坐标； ③ 计算总路径长度（A'B长度+桥长MN）。 1．如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 2．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 3．新知引入；在平面直角坐标系中，任意两点之间的位置关系有以下三种情形： ①如果轴，则； ②如果轴，则； ③如果与轴、轴均不平行，如图1，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，则点的坐标为，由得，由得，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式：． (1)概念理解：若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则__________， __________________； (2)迁移应用：若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，直接写出的最小值：_________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请写出此三角形的形状________． (4)思维升华：已知，利用数形结合思想，求的最小值． 【答案】(1)4；3；5 (2)5 (3)直角三角形 (4)5 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可得解； （2）作点A关于x轴的对称点，则，利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； （3）先利用两点间距离公式求得各边长，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （4）M的值可以看作是点到点的距离与到点的距离之和，利用两点间距离公式及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ；； 故答案为：4；3；5 （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，则， ∴， 即当点，P，B三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 即的最小值为5； 故答案为：5 （3）解：∵、、， ∴，， ∴， ∴为直角三角形； 故答案为：直角三角形 （4）解：∵， ∴M的值可以看作是点到点的距离与到点的距离之和， 即， 如图，连接， ∵，即的最小值为的长， ， ∴的最小值为5， 即M的最小值为5． 【点睛】此题考查轴对称最短路线问题，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案． 重难点二 平面直角坐标系中的面积 一、直接计算法 适用场景：图形的边与坐标轴平行或垂直，可直接通过坐标差计算边长。 方法步骤： 1. 确定图形顶点坐标：读取平面直角坐标系中图形各顶点的坐标，如长方形的四个顶点、、、。 2. 计算边长： 若边与 ( x ) 轴平行，长度为（如 ( AB ) 边）； 若边与 ( y ) 轴平行，长度为（如 ( BC ) 边）。 3. 套用面积公式： 长方形面积 = 长×宽，即； 正方形面积 = 边长²（若长与宽相等）。 二、分割法（“补形法”或“分割成规则图形”） 适用场景：图形为不规则多边形（如三角形、四边形），顶点坐标已知但边不与坐标轴平行。 方法步骤： 1. 补形法（“大减小”）： 用一个矩形或梯形覆盖不规则图形，使矩形的边与坐标轴平行，矩形的顶点落在图形顶点的外侧。 计算矩形面积，减去矩形中不规则图形以外的空白三角形或梯形面积。 公式：目标图形面积 = 矩形面积 - 空白图形面积之和。 2. 分割法（“规则图形拼接”）： 将不规则图形分割为若干个三角形或梯形，且分割后的图形有一条边与坐标轴平行。 分别计算每个规则图形的面积，求和得到总面积。 关键：分割线通常为垂直于 ( x ) 轴或 ( y ) 轴的直线，利用坐标差计算底和高。 三、公式法（坐标公式法，适用于三角形） 适用场景：已知三角形三个顶点的坐标、、。 公式（行列式法）： 推导逻辑：通过向量叉积或行列式几何意义，计算以 ( AB )、( AC ) 为邻边的平行四边形面积的一半，取绝对值确保面积非负。 四、等高或等底法（利用平行线间距离） 适用场景：图形有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行，可视为底边，通过坐标求高。 方法步骤： 1. 确定底边：若边 ( AB ) 在 ( x ) 轴上（），则底边长；若与 ( x ) 轴平行，则底边长，高为第三个顶点的纵坐标与底边纵坐标的差的绝对值。 2. 计算面积：三角形面积 = ( \frac{1}{2}×底×高 )。 五、梯形面积公式（适用于有一组对边平行的四边形） 适用场景：四边形有一组对边与 ( x ) 轴平行（即上下底平行），可视为梯形。 公式：梯形面积 = ( \frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高 )，其中： · 上底、下底：平行于 ( x ) 轴的两边长，即和； · 高：两底边纵坐标差的绝对值，即 ( |y_上 - y_下| )。 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为 【分析】本题考查平面直角坐标系，动点问题，涉及到解二元一次方程组、面积分割法求面积等，灵活运用所学知识是关键． （1）解二元一次方程组求解即可； （2）把的面积看成即可求解； （3）根据，得到，建立关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得： 得： 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：如图所示：连接， ∵动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴匀速运动， 设点P的运动时间为t秒， ∴， ∵，， ∴，，， 由图可得：， ， ； （3）解：存在，t的值为， 如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 重难点三 平面直角坐标系中全等三角形 1. 确定关键点坐标：在坐标系中，明确构成三角形的三个顶点的坐标。这是后续计算和推理的基础。例如，若三角形ABC的顶点坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则需准确记录这些坐标值。 2. 计算线段长度：根据两点间距离公式，求出三角形各边的长度。通过比较边的长度，可初步判断是否满足全等三角形“SSS（边边边）”的判定条件。例如，若要判断△ABC与△DEF是否全等，可分别计算AB、BC、AC与DE、EF、DF的长度，若三组对应边长度都相等，则可考虑SSS判定。 1．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质建立方程．根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差表示出，的长，进而建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F， ∴， ∴、分别是、的斜边， 当与全等时，， ∵与不重合， ∴点P在上，点Q在上， 由题意得，，， ∴，， ∴， 解得或(舍，此时重合)， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】∵， ∴，， ①如图，此时， ∴， ∴； ②如图，此时， ∴， ∴； 故答案为：或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使最小，请标出P点，并写出P点的坐标________． (3)若存在点D使得与全等（点B不与点D重合），直接写出点D的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， (3)或或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中得格点作图，结合关于坐标轴对称点的特征及全等三角形的判定作图是解题的关键． （1）分别作出三个点关于轴的对称点，连接即可； （2）先做出点关于轴的对称点，连接与轴交于点，即可得解； （3）在坐标系中找出点，使得，，或，或，即可得解； 【详解】（1）解：，，， 关于y轴对称的点为，，， （2）解：过点作关于轴的对称点，连接与轴交于点，如图所示， ． 故答案是． （3）解：根据题意，当，时，， ； 当，时，， ； 当，时，， ； 综上所述，点的坐标为或或． 重难点四 平面直角坐标系中等腰三角形 一、明确已知条件，确定定点与动点 1. 已知顶点情况 两定一动：已知两个定点、，在坐标轴或某直线上找一动点 ( P(x,y) )，使为等腰三角形。 一定两动：已知一个定点 ( A )，在两条直线（如坐标轴）上分别找动点 ( B )、( C )，使为等腰三角形。 三动点：较少见，需结合图形约束（如坐标轴、函数图像）列方程求解。 2. 核心思路：以“等腰三角形的腰和底边”为分类标准，避免漏解或重复。 二、分类讨论：按“腰”与“底边”确定等量关系 情况1：两定一动（以 ( A )、( B ) 为定点，( P ) 为动点为例） 设、，动点 ( P(x,y) ) 在某直线（如 ( x ) 轴、( y ) 轴或函数图像）上，分三种情况讨论： 1. 以 ( AB ) 为底边，( PA = PB ) 几何意义：点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 计算步骤： ① 求 ( AB ) 的中点； ② 求 ( AB ) 的斜率（若 ( AB ) 垂直于坐标轴，直接用中点坐标）； ③ 写出 ( AB ) 垂直平分线的方程（斜率为，过点 ( M )）； ④ 联立垂直平分线方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解 ( P ) 的坐标。 2. 以 ( PA ) 为底边，( AB = PB ) 几何意义：点 ( P ) 在以 ( B ) 为圆心、( AB ) 长为半径的圆上。 计算步骤： ① 求 ( AB ) 的长度：； ② 写出圆的方程：； ③ 联立圆的方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解交点坐标（注意排除与 ( A ) 重合的点）。 3. 以 ( PB ) 为底边，( AB = PA ) 几何意义：点 ( P ) 在以 ( A ) 为圆心、( AB ) 长为半径的圆上。 计算步骤： ① 同步骤2①，求 ( AB ) 的长度； ② 写出圆的方程：； ③ 联立圆的方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解交点坐标（注意排除与 ( B ) 重合的点）。 情况2：动点在坐标轴上的简化计算 · 若 ( P ) 在 ( x ) 轴上：设 ( P(x,0) )，利用两点间距离公式，，根据上述三种情况列方程求解 ( x )。 · 若 ( P ) 在 ( y ) 轴上：设 ( P(0,y) )，同理列方程，求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一是解题的关键． 过点A作轴于点E，交于点D，先求出点D的坐标，根据三线合一，得到，进而求出点C坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，交于点D， ∵轴， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 2．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点P的运动路程是a，则，然后分两种情况：当时，即点P在线段上时，当时，即点P在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：∵、， ∴，， 设点P的运动路程是a， ∵点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ∴， 当时，即点P在线段上时，此时， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 当时，即点P在线段的延长线上时，此时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标____________； (2)在坐标轴上找一点，使与全等，请直接写出一个符合条件的点的坐标________________； (3)点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有______个． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)4 【分析】本题考查了平面直角坐标系中轴对称作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可描出格点，再顺次连接； （2）取点，证明即可； （3）分情况：当为底边时；当为腰长时，进而得出结论． 【详解】（1）解：即为所求作， ； 故答案为：； （2）解：如下图，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图： 当为底边时，作垂直平分线交y轴于点； 以C为圆心，为半径作弧，交y轴于点， 以A为圆心，为半径作弧，交y轴于点，但与点A、C在同一直线上，不存在，故舍去； ∴满足条件的点有4个， 故答案为：4． 重难点五 平面直角坐标系中等腰直角三角形 核心思路：根据等腰直角三角形边的关系（腰长相等或斜边与直角边的数量关系），设出三角形顶点坐标，利用两点间距离公式表示边长，列出方程求解。 步骤： 1. 设点坐标：根据已知条件设出其中两个顶点的坐标（如已知点A、B，设点C(x,y)）。 2. 分类讨论边的关系： 若AB为直角边，则需满足： · 另一直角边AC=AB，且AC⊥AB（或BC=AB，且BC⊥AB）； · 利用距离公式得：（或），结合向量垂直（数量积为0）或斜率乘积为-1（避免分母为0）列方程。 若AB为斜边，则需满足： · 直角顶点到AB中点的距离等于斜边AB的一半（斜边上中线性质），且两直角边AC=BC； · 利用中点坐标公式求AB中点M，根据和列方程。 3. 解方程并验证：求出坐标后，需验证三点是否能构成三角形（三点不共线）。 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等． 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则可证明，从而易得点的坐标． 【详解】解：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 3．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． [阅读材料]结合图形，作于，作于，即可求解； [解决问题] 作轴于，证明，得，进而可得，； [拓展延伸] 作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解： [阅读材料]能，作于，作于，如图， ， ， ， ， ； [解决问题] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ； ； [拓展延伸] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， 轴， ， 轴， ， 点为y轴负半轴上一动点， ， ． 重难点六 平面直角坐标系中直角三角形 坐标求距离法 若三角形三个顶点坐标为、、，可通过两点间距离公式计算三边长(AB)、(BC)、(AC)。若满足勾股定理（某两边平方和等于第三边平方），则该三角形为直角三角形，且最长边所对顶点为直角顶点。 1．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    2．在平面直角坐标系中，，点B在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，若是直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求点的坐标． 分两种情况根据全等三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：∵，是直角三角形， ∴或， 当时，如图，作轴于D，则， 则 ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴ ∴ ∴； 当时，如图，作轴于E，则， 同理可证， ∴， ∴； 故答案为：或 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】（）由可得，再根据直角三角形的性质求出即可； （）设点的坐标为，由等边三角形的性质可得，进而列出方程即可求解； （）①由题意可得，，即得，分和两种情况，根据直角三角形的性质列出方程解答即可求解；②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等边三角形和等腰三角形的性质分别列出方程解答即可； 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，等边三角形的性质和判断，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （3）解：①由题意可得，，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时， ∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 重难点七 平面直角坐标系中动点问题 1. 设元原则：根据动点运动轨迹设出坐标，若沿坐标轴运动，设一个未知数（如沿x轴运动设( (t, 0) )，沿y轴运动设( (0, t) )）；若为斜线或曲线运动，设两个未知数并用含同一参数（通常用( t )表示时间或路程）的代数式表示（如( )）。 2. 范围限定：根据题目中动点运动的起点、终点或边界条件，确定参数( t )的取值范围，避免后续计算中出现不符合实际的坐标。 1．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作轴于点B，过点A作轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，同时，点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为，当时，则t应满足（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求解，即可得出结论． 【详解】解：∵点A坐标为（6，4），轴于B，轴于C，∠COB=90°， ∴四边形ABOC为矩形， ∴AC=OB=6，AB=OC=4， 由运动知，，， 当点D在OB上时，即， 则， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即； 当点D在BO的延长线上时，即， 则， ∴，． ∵， ∴， ∴． 综上所述，t应满足或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题，点的坐标，三角形的面积，理解利用了坐标系中点的坐标与图形的线段长度的关系来求解是解答关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点．若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】1或7或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理，分别以点B和点C为圆心画圆，分别交的正半轴，则可求出t的值． 【详解】解：∵点，点， ∴， 以点B为圆心，为半径画圆交的正半轴于，如图， 则，， ∴，； 以点C为圆心，为半径画圆交的正半轴于，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的值为1或7或， 故答案为：1或7或． 3．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据三角形外角平分线和三角形内角和定理进行求解即可； （3）按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解之得：． ． （2）解：如图， 平分平分， ， ， ， ， ， ∴， 即， 在中，， ， ， ， ； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， 解得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， ， ， 解得， 综上，当或时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的. 【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握非负数性质，一元一次方程的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，矩形性质，三角形、矩形面积公式，是解题的关键． 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 图形与坐标 4.1平面直角坐标系 重难点一 平面直角坐标系中的坐标 1. 有序数对的概念 平面内任意一点的位置由两个有顺序的实数确定，称为有序数对，记作((a,b))。其中，第一个数(a)称为横坐标，第二个数(b)称为纵坐标，两者的顺序不可互换（如((2,3))与((3,2))表示不同点）。 2. 坐标与坐标系的关系 在平面直角坐标系中，坐标原点为(O(0,0))，(x)轴（横轴）向右为正方向，(y)轴（纵轴）向上为正方向。任意一点(P)的坐标((a,b))通过以下方式确定： 过点(P)作(x)轴的垂线，垂足对应的数为横坐标(a)； 过点(P)作(y)轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标(b)。 二、由点求坐标的步骤 1. 确定坐标轴方向与单位长度 明确坐标系中(x)轴、(y)轴的正方向及单位长度（通常一格代表1个单位，特殊情况需根据题目标注调整）。 2. 作垂线求横、纵坐标 横坐标：从已知点向(x)轴作垂线，若垂足在原点右侧，横坐标为正数；在原点左侧，横坐标为负数；在原点上，横坐标为0。 纵坐标：从已知点向(y)轴作垂线，若垂足在原点上方，纵坐标为正数；在原点下方，纵坐标为负数；在原点上，纵坐标为0。 三、由坐标描点的步骤 1. 定位横坐标 在(x)轴上找到与横坐标数值对应的点（正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点），过该点作(x)轴的垂线。 2. 定位纵坐标 在(y)轴上找到与纵坐标数值对应的点（正数在原点上方，负数在下方，0在原点），过该点作(y)轴的垂线。 3. 确定交点 两条垂线的交点即为所求点的位置，用字母标注（如(P(a,b))）。 四、特殊位置点的坐标特征 1. 坐标轴上的点 (x)轴上的点：纵坐标为0，坐标形式为((a,0))（如）； (y)轴上的点：横坐标为0，坐标形式为((0,b))（如((0,2))）； 原点：横、纵坐标均为0，即((0,0))。 2. 象限内的点 第一象限：横坐标(>0)，纵坐标(>0)，如((3,5))； 第二象限：横坐标(<0)，纵坐标(>0)，如； 第三象限：横坐标(<0)，纵坐标(<0)，如； 第四象限：横坐标(>0)，纵坐标(<0)，如。 3. 对称点的坐标 关于(x)轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数（如((a,b))对称点为）； 关于(y)轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（如((a,b))对称点为）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数（如((a,b))对称点为）。 1．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度． (1)画出关于轴对称的； (2)写出点、、的坐标； (3)求出的面积． 重难点二 平面直角坐标系中点坐标的平移 一、左右平移（沿x轴方向） 向右平移：点的横坐标增大，纵坐标不变。 若点( P(x, y) )向右平移( a )个单位长度（( a > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 向左平移：点的横坐标减小，纵坐标不变。 若点( P(x, y) )向左平移( a )个单位长度（( a > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 二、上下平移（沿y轴方向） 向上平移：点的纵坐标增大，横坐标不变。 若点( P(x, y) )向上平移( b )个单位长度（( b > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 向下平移：点的纵坐标减小，横坐标不变。 若点( P(x, y) )向下平移( b )个单位长度（( b > 0 )），平移后点的坐标为( P' )。 三、综合平移（先左右后上下或先上下后左右） 点的平移具有分步性，可先进行x轴方向的平移，再进行y轴方向的平移，或反之，结果相同。 若点( P(x, y) )先向右平移( a )个单位，再向上平移( b )个单位，平移后坐标为( P' )。 若点( P(x, y) )先向左平移( a )个单位，再向下平移( b )个单位，平移后坐标为( P' )。 四、口诀总结 为快速记忆，可归纳为： “右加左减（横坐标），上加下减（纵坐标）” 即： 左右移，变横标：右移加，左移减； 上下移，变纵标：上移加，下移减。 关键提醒：平移方向与坐标变化的符号一致（如向右、向上对应“+”，向左、向下对应“-”），且横、纵坐标的变化相互独立，互不影响。 1．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 3．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点与、点与、点与对应），请画出，并写出点、点的坐标； (2)直接写出的面积 ． 重难点三 建立平面直角坐标系 一、确定原点位置 原点是坐标系的基准点，通常选择图形的特殊点（如对称中心、顶点、端点）或问题中的关键参考点作为原点。例如： 若图形为矩形，可选择一个顶点作为原点； 若描述物体运动轨迹，可选择出发点或静止点作为原点； 若涉及对称图形，可选择对称轴的交点作为原点。 选择原点时需确保后续坐标表示简洁，减少计算复杂度。 二、确定坐标轴方向 1. x轴方向：通常以水平向右为正方向，若有特殊情境（如地图方向），可按“上北下南左西右东”确定水平方向。 2. y轴方向：通常以竖直向上为正方向，需与x轴垂直。 3. 特殊情况：若图形有明显方向特征（如斜坡、斜面），可将坐标轴与图形的边或对称轴重合，使坐标表示更直观。 三、确定单位长度 根据实际问题的需要选择合适的单位长度： 若图形在纸上绘制，可根据图形大小和纸张尺寸，用1cm代表1个单位长度（如1cm=1m、1cm=1km等）； 若涉及数据计算，需确保单位长度统一，例如在网格图中，每个小正方形边长可作为1个单位长度； 单位长度需标注在坐标轴旁，且同一坐标系中单位长度保持一致。 四、标注坐标系要素 完成上述步骤后，需明确标注： 1. 坐标轴名称：在x轴和y轴旁分别标注“x”和“y”； 2. 正方向箭头：在x轴右端和y轴上端标注箭头，表示正方向； 3. 原点符号：在原点位置标注“O”； 4. 单位长度刻度：在坐标轴上均匀标注刻度线及对应的数值（如1,2,3,...）。 五、验证与调整 建立坐标系后，可通过以下方式验证合理性： 选取图形中2-3个关键点，计算其坐标是否符合预期； 若坐标出现负数过多或数值过大，可重新调整原点位置或单位长度； 确保坐标系能清晰反映图形的位置关系和数量特征，例如对称图形的坐标是否满足对称性质。 1．在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“帅”的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是 ． 3．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： (1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________； (2)在坐标系中标出体育馆的位置； (3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________． 重难点四 平面直角坐标系中的规律 一、坐标规律探究的核心思路 1. 观察坐标特征 横向观察：分析点的横坐标（x值）随序号或图形变化的规律，记录数据序列（如1,3,5,7...或2,4,6,8...），判断是否为等差、等比或自定义周期数列。 纵向观察：分析点的纵坐标（y值）变化规律，方法同横坐标，注意与横坐标的关联性（如y=x+1，y=2x等）。 整体观察：若横、纵坐标存在同步变化（如沿直线y=x或y=-x对称），需验证坐标间的函数关系（一次函数、二次函数等）。 2. 建立序号与坐标的对应关系 设图形序号为n（n为正整数），将每个点的坐标表示为（xₙ，yₙ），通过前3-5组数据归纳xₙ和yₙ关于n的表达式。 二、常见规律类型及破解方法 1. 直线型规律（一次函数关系） 特征：横、纵坐标差值恒定，满足y=kx+b（k≠0）。 步骤： ① 取两组坐标代入y=kx+b，解方程组求k、b； ② 用第三组坐标验证表达式正确性。 2. 周期性规律 特征：坐标值随序号循环出现（如横/纵坐标以3或4为周期重复）。 步骤： ① 找出周期T（重复出现的最小间隔）； ② 计算序号n除以T的余数r（r=1,2,...,T）； ③ 根据余数r确定对应周期内的坐标值。 3. 对称型规律 特征：点关于x轴、y轴或原点对称。 对称关系： 关于x轴对称：（a,b）→（a,-b）； 关于y轴对称：（a,b）→（-a,b）； 关于原点对称：（a,b）→（-a,-b）。 4. 图形点阵规律 特征：点分布在网格或特定图形顶点，坐标与图形边长、层数相关。 步骤： ① 确定图形生长方式（如正方形点阵每层边长增加2）； ② 归纳第n层（或第n个图形）的顶点坐标通式。 1．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 3．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 4.2方向和距离确定物体的位置 重难点一 方向角确定位置 一、方向角的定义与表示 方向角是从正北或正南方向为基准，描述物体所在方向的角，通常表达为“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”。 基准方向：必须以正北（N）或正南（S）为起始边，向东（E）或向西（W）旋转形成夹角，角度范围为0°~90°。 二、用方向角确定位置的步骤 1. 确定观测点 明确以哪个物体或地点为参照中心（即坐标原点），所有方向均从观测点出发描述。 2. 建立方向坐标系 在观测点处绘制“上北下南，左西右东”的十字方向标，标注N（北）、S（南）、E（东）、W（西）。 3. 测量或确定方向角 以正北或正南方向为始边，根据物体相对于观测点的实际方向，确定偏向的角度。 注意：角度需精确到度，且不可超过90°（如“北偏东100°”表述错误，应转换为“南偏东80°”）。 4. 描述位置关系 结合观测点和方向角，完整表述物体位置，格式为：“物体在观测点的×偏×××°方向”。 三、特殊方向角的简化表示 · 正方向：若物体恰好位于正北、正南、正东或正西方向，直接描述为“正北方向”“正南方向”等，无需加角度。 · 45°方向：当方向角为45°时，可简化为“东北方向”（北偏东45°）、“西北方向”（北偏西45°）、“东南方向”（南偏东45°）、“西南方向”（南偏西45°）。 1．下列表述能确定物体具体位置的是（   ） A．中海万锦北园 B．蓝海路北边 C．南偏东 D．东经，北纬 2．如图，以点A为圆心的圆上有B、C两点． （1）用数对表示A和B的位置：A( ， )，B( ， )； （2）C点在A点的( )偏( )( )度方向，距离A点( )． 3．如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 4.3坐标平面内图形的轴对称和平移 重难点一 平面直角坐标系中的最值 一、利用轴对称求最短路径（“将军饮马”模型） 核心原理：两点之间线段最短，通过轴对称将折线转化为直线段，实现路径最短。 常见类型及步骤： 1. 两定点+直线上一动点（单动点） 问题：已知点A、B在直线l同侧，在l上找一点P，使PA+PB最小。 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，此时PA+PB=A'B（最短）。 原理：轴对称性质得PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B共线时，线段A'B最短。 2. 两定点+两直线上两动点（双动点） 问题：已知点A、B分别在直线l、m上，在l上找P，m上找Q，使PA+PQ+QB最小。 方法：作A关于l的对称点A'，B关于m的对称点B'，连接A'B'交l于P，交m于Q，此时PA+PQ+QB=A'B'（最短）。 3. 坐标系内应用 步骤： ① 根据对称轴（坐标轴或某直线）求对称点坐标（如关于x轴对称：(x,y)→；关于y轴对称：(x,y)→）； ② 用待定系数法求对称点连线的直线解析式； ③ 求直线与对称轴的交点坐标（即动点P）； ④ 计算最短路径长度（两点间距离公式：）。 二、利用平移求最短距离（“造桥选址”模型） 核心原理：通过平移将折线中的定长线段平移，转化为两点之间线段最短问题。 常见类型及步骤： 问题：直线l₁∥l₂，距离为d，在l₁、l₂上分别找A、B，在两直线间造桥MN（MN⊥l₁，垂足为M，N在l₂上），使AM+MN+NB最短。 方法： ① 将点A沿MN方向平移d个单位得A'（即A'M=MN）； ② 连接A'B交l₂于点N，过N作MN⊥l₁于M，连接AM、NB； ③ 此时AM+MN+NB=A'B+MN（MN为定长，A'B最短）。 坐标系内应用： ① 根据平移方向和距离求平移后点的坐标（如沿y轴负方向平移d个单位：(x,y)→）； ② 求A'B所在直线解析式，确定N点坐标，进而得M点坐标； ③ 计算总路径长度（A'B长度+桥长MN）。 1．如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 2．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 3．新知引入；在平面直角坐标系中，任意两点之间的位置关系有以下三种情形： ①如果轴，则； ②如果轴，则； ③如果与轴、轴均不平行，如图1，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，则点的坐标为，由得，由得，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式：． (1)概念理解：若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则__________， __________________； (2)迁移应用：若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，直接写出的最小值：_________； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请写出此三角形的形状________． (4)思维升华：已知，利用数形结合思想，求的最小值． 重难点二 平面直角坐标系中的面积 一、直接计算法 适用场景：图形的边与坐标轴平行或垂直，可直接通过坐标差计算边长。 方法步骤： 1. 确定图形顶点坐标：读取平面直角坐标系中图形各顶点的坐标，如长方形的四个顶点、、、。 2. 计算边长： 若边与 ( x ) 轴平行，长度为（如 ( AB ) 边）； 若边与 ( y ) 轴平行，长度为（如 ( BC ) 边）。 3. 套用面积公式： 长方形面积 = 长×宽，即； 正方形面积 = 边长²（若长与宽相等）。 二、分割法（“补形法”或“分割成规则图形”） 适用场景：图形为不规则多边形（如三角形、四边形），顶点坐标已知但边不与坐标轴平行。 方法步骤： 1. 补形法（“大减小”）： 用一个矩形或梯形覆盖不规则图形，使矩形的边与坐标轴平行，矩形的顶点落在图形顶点的外侧。 计算矩形面积，减去矩形中不规则图形以外的空白三角形或梯形面积。 公式：目标图形面积 = 矩形面积 - 空白图形面积之和。 2. 分割法（“规则图形拼接”）： 将不规则图形分割为若干个三角形或梯形，且分割后的图形有一条边与坐标轴平行。 分别计算每个规则图形的面积，求和得到总面积。 关键：分割线通常为垂直于 ( x ) 轴或 ( y ) 轴的直线，利用坐标差计算底和高。 三、公式法（坐标公式法，适用于三角形） 适用场景：已知三角形三个顶点的坐标、、。 公式（行列式法）： 推导逻辑：通过向量叉积或行列式几何意义，计算以 ( AB )、( AC ) 为邻边的平行四边形面积的一半，取绝对值确保面积非负。 四、等高或等底法（利用平行线间距离） 适用场景：图形有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行，可视为底边，通过坐标求高。 方法步骤： 1. 确定底边：若边 ( AB ) 在 ( x ) 轴上（），则底边长；若与 ( x ) 轴平行，则底边长，高为第三个顶点的纵坐标与底边纵坐标的差的绝对值。 2. 计算面积：三角形面积 = ( \frac{1}{2}×底×高 )。 五、梯形面积公式（适用于有一组对边平行的四边形） 适用场景：四边形有一组对边与 ( x ) 轴平行（即上下底平行），可视为梯形。 公式：梯形面积 = ( \frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高 )，其中： · 上底、下底：平行于 ( x ) 轴的两边长，即和； · 高：两底边纵坐标差的绝对值，即 ( |y_上 - y_下| )。 1．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 重难点三 平面直角坐标系中全等三角形 1. 确定关键点坐标：在坐标系中，明确构成三角形的三个顶点的坐标。这是后续计算和推理的基础。例如，若三角形ABC的顶点坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则需准确记录这些坐标值。 2. 计算线段长度：根据两点间距离公式，求出三角形各边的长度。通过比较边的长度，可初步判断是否满足全等三角形“SSS（边边边）”的判定条件。例如，若要判断△ABC与△DEF是否全等，可分别计算AB、BC、AC与DE、EF、DF的长度，若三组对应边长度都相等，则可考虑SSS判定。 1．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使最小，请标出P点，并写出P点的坐标________． (3)若存在点D使得与全等（点B不与点D重合），直接写出点D的坐标． 重难点四 平面直角坐标系中等腰三角形 一、明确已知条件，确定定点与动点 1. 已知顶点情况 两定一动：已知两个定点、，在坐标轴或某直线上找一动点 ( P(x,y) )，使为等腰三角形。 一定两动：已知一个定点 ( A )，在两条直线（如坐标轴）上分别找动点 ( B )、( C )，使为等腰三角形。 三动点：较少见，需结合图形约束（如坐标轴、函数图像）列方程求解。 2. 核心思路：以“等腰三角形的腰和底边”为分类标准，避免漏解或重复。 二、分类讨论：按“腰”与“底边”确定等量关系 情况1：两定一动（以 ( A )、( B ) 为定点，( P ) 为动点为例） 设、，动点 ( P(x,y) ) 在某直线（如 ( x ) 轴、( y ) 轴或函数图像）上，分三种情况讨论： 1. 以 ( AB ) 为底边，( PA = PB ) 几何意义：点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 计算步骤： ① 求 ( AB ) 的中点； ② 求 ( AB ) 的斜率（若 ( AB ) 垂直于坐标轴，直接用中点坐标）； ③ 写出 ( AB ) 垂直平分线的方程（斜率为，过点 ( M )）； ④ 联立垂直平分线方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解 ( P ) 的坐标。 2. 以 ( PA ) 为底边，( AB = PB ) 几何意义：点 ( P ) 在以 ( B ) 为圆心、( AB ) 长为半径的圆上。 计算步骤： ① 求 ( AB ) 的长度：； ② 写出圆的方程：； ③ 联立圆的方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解交点坐标（注意排除与 ( A ) 重合的点）。 3. 以 ( PB ) 为底边，( AB = PA ) 几何意义：点 ( P ) 在以 ( A ) 为圆心、( AB ) 长为半径的圆上。 计算步骤： ① 同步骤2①，求 ( AB ) 的长度； ② 写出圆的方程：； ③ 联立圆的方程与动点 ( P ) 所在直线的方程，求解交点坐标（注意排除与 ( B ) 重合的点）。 情况2：动点在坐标轴上的简化计算 · 若 ( P ) 在 ( x ) 轴上：设 ( P(x,0) )，利用两点间距离公式，，根据上述三种情况列方程求解 ( x )。 · 若 ( P ) 在 ( y ) 轴上：设 ( P(0,y) )，同理列方程，求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标____________； (2)在坐标轴上找一点，使与全等，请直接写出一个符合条件的点的坐标________________； (3)点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有______个． 重难点五 平面直角坐标系中等腰直角三角形 核心思路：根据等腰直角三角形边的关系（腰长相等或斜边与直角边的数量关系），设出三角形顶点坐标，利用两点间距离公式表示边长，列出方程求解。 步骤： 1. 设点坐标：根据已知条件设出其中两个顶点的坐标（如已知点A、B，设点C(x,y)）。 2. 分类讨论边的关系： 若AB为直角边，则需满足： · 另一直角边AC=AB，且AC⊥AB（或BC=AB，且BC⊥AB）； · 利用距离公式得：（或），结合向量垂直（数量积为0）或斜率乘积为-1（避免分母为0）列方程。 若AB为斜边，则需满足： · 直角顶点到AB中点的距离等于斜边AB的一半（斜边上中线性质），且两直角边AC=BC； · 利用中点坐标公式求AB中点M，根据和列方程。 3. 解方程并验证：求出坐标后，需验证三点是否能构成三角形（三点不共线）。 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 3．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 重难点六 平面直角坐标系中直角三角形 坐标求距离法 若三角形三个顶点坐标为、、，可通过两点间距离公式计算三边长(AB)、(BC)、(AC)。若满足勾股定理（某两边平方和等于第三边平方），则该三角形为直角三角形，且最长边所对顶点为直角顶点。 1．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D．   2．在平面直角坐标系中，，点B在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，若是直角三角形，则点C的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． (1)求的长； (2)如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； (3)如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 重难点七 平面直角坐标系中动点问题 1. 设元原则：根据动点运动轨迹设出坐标，若沿坐标轴运动，设一个未知数（如沿x轴运动设( (t, 0) )，沿y轴运动设( (0, t) )）；若为斜线或曲线运动，设两个未知数并用含同一参数（通常用( t )表示时间或路程）的代数式表示（如( )）。 2. 范围限定：根据题目中动点运动的起点、终点或边界条件，确定参数( t )的取值范围，避免后续计算中出现不符合实际的坐标。 1．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作轴于点B，过点A作轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，同时，点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为，当时，则t应满足（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点．若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 3．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 14 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $