第4章 图形与坐标（知识清单）数学浙教版2024八年级上册

第4章 图形与坐标 1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相 ，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做 ，另一条叫做 ，画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 2.坐标的定义： 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的 ，b叫做点M的 ，有序数对 叫做点M的坐标。 3.象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 4.坐标轴上的线段长 （1）x轴上点的坐标表达式 ；y轴上点的坐标表达式 （2）坐标平面内两点间（如图A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距离公式为： 如图①，若点A、B在同一水平线上，则AB= ； 如图②，若点A、B在同一竖直线上，则AB= ； 如图③，对于任意位置的点A和点B，则AB= 。 A B A B A B 图 ① 图 ② 图 ③ 5.坐标平面内点的轴对称规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为 ； 点（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为 ； 点（a，b）关于原点对称的点的坐标，即为点（a，b）先关于x轴对称，再关于y轴对称，为 ； 6.坐标平面内点的平移规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）向右平移m个单位得 ； 点（a，b）向左平移m个单位得 ； 点（a，b）向上平移m个单位得 ； 点（a，b）向下平移m个单位得 ； 7.坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可。 1.坐标轴上的点的坐标 错误：错误混淆在坐标轴上的点的坐标的表示。 注意：x轴上点的坐标表达式(x，0)；y轴上点的坐标表达式(0，y)。要注意在表示时(x，0)和(0，y)的区别。 例1 （25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，点在y轴上，则ab的立方根为 ． 2.不同象限的点的坐标的符号 错误：混淆不同象限上点的坐标（横坐标与纵坐标）的符号。 注意：不同象限上点的坐标的符号有明确区别，具体如下： 尤其是要注意第二象限与第四象限上点的坐标的符号。 例2 （24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点P的横坐标为2，求点P的坐标； (2)若，试判断点P所在的象限． 3.点到坐标轴的距离 错误：在已知点到坐标轴的距离时确定点的坐标，可能会①不注意结合其他条件，或不通过作图讨论即回答，导致错解、漏解；②已知到x轴的距离就得出横坐标的值，已知到y轴的距离就得出纵坐标的值，是想当然的错误思维。 注意：题干表示点到坐标轴上的距离时，需进行讨论。如，点P到x轴的距离为1，点P可能在第一、二象限，此时它的纵坐标为1；也可能在第三、四象限，此时它的纵坐标为﹣1； 例3 （25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 (1)若m的值为2时，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 4.坐标轴上线段的长 错误：不会构建直角三角形，结合勾股定理求出坐标系中斜线段的长。 注意：求坐标系中斜线段的长，可以过线段两点作平行于x轴和y轴的平行线，相交于第三点，使得斜线段为直角三角形的斜边。先求出两直角边的长，再通过勾股定理即可求出斜边长。快捷的计算方式为：（如图）。 A B 例4 （25-26八年级上·广东佛山·期中）已知点，点 (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若直线轴，且，求点的坐标． 例5 已知点A（﹣2，1），点B（b，﹣3）， （1）若点B在第四象限上，求b的取值范围； （2）若b=3，求AB的长； （3）若AB=5，求b的值。 5.用几何图形的性质求解图形上的点的坐标 错误：求坐标系上点的坐标，或已知坐标系上点的坐标时，不能结合已学的图形的几何性质，将其转化成坐标系上几何图形的已知条件。 注意：在平面直角坐标系中，几何图形的已知条件可以转化成代数与代数关系；同样的，坐标系上点的坐标值，或代数式，可以转化成几何图形的已知条件，从而达到数形结合的效果。因此通过几何图形的性质，将数值和代数式通过数量关系建立等式或不等式，即可解决更多的数学问题。具体如下： 坐标轴上的点 几何图形的线段长 用坐标系的知识求出点与点连结的线段长、点到线的距离等。 通过几何图形的性质的等量关系，列式求出坐标系上点的坐标。 例6 （25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 例7 （25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 例8 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)当时，_____．（用含的代数式表示）； (2)连接，设的面积为，当时，求值； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 6.坐标点的对称变换 错误：坐标点的对称变换，经常出现关于谁对称则变谁的符号。比如错误认为（1,2）关于x轴对称后是 （﹣1,2），这是脱离坐标系实际情况的。 注意：坐标点的对称变换，要遵循“关谁对称谁不变”，也就是当点关于x轴对称时，横坐标x的正负号不变；当点关于y轴对称时，纵坐标y的正负号不变。 例9 （25-26八年级上·重庆·期中）平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为 ． 例10 （25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标． (2)请在轴上作点，使最小． 7.坐标点的平移变换 错误：点在平面直角坐标系上平移变换时，左右平移和上下平移时，横坐标与纵坐标的数值变化混淆，且加或减一个数值也混淆。 注意：坐标点的平移遵循“左减右加，上加下减”，详见知识清单第6点。 例11 （2024·广东·模拟预测）如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 8.坐标系上关于点或图形规律的问题 错误：不能找到点的排布规律，总结不出横坐标的规律和纵坐标的规律。 注意：坐标系上点的规律，一般先看点的排列规则，然后分别总结横坐标的数值规律和纵坐标的数值规律，一般横坐标和纵坐标可以分别确定。但也有一些题目不是让我们读图，而是通过文字描述寻找的规律，这时候我们要将每个变化后的点计算出来，至少计算前4个点的坐标，再总结规律。 例12 （24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 例13 （25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 1．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（    ） A． B．6 C． D．4 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 6．（江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 7．（25-26八年级上·新疆喀什·期中）已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 9．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）如图，轮船在灯塔的东偏 、 方向上，距离灯塔 千米． 10．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点．连接，过点作，且，连接 （1）设点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）当线段取最小值时，点的坐标为 ． 11．（25-26八年级上·重庆巴南·期中）在平面直角坐标系中，已知点 (1)当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． (3)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值并写出P点坐标． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点的坐标为______； (2)求的面积； (3)判断的形状并说明理由． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若，平移线段，使点A，B的对应点分别为点，求m，c的值； 14．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)_____，_____； (2)当的面积等于时，求的值； (3)过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 图形与坐标 1.平面直角坐标系的定义：在平面内画两条互相 垂直 ，并且有公共原点O的数轴，其中一条水平数轴叫做 x轴（又叫横轴） ，另一条叫做 y轴（又叫纵轴） ，画成与x轴垂直。平面直角坐标系简称直角坐标系，坐标系所在的平面叫做坐标平面； 2.坐标的定义： 如图，对于平面内任意一点M,分别过该点作x轴、y轴的垂线，在各自数轴上表示的数分别为a、b，则a叫做点M的 横坐标 ，b叫做点M的 纵坐标 ，有序数对 （a，b） 叫做点M的坐标。 3.象限：如下图，整个平面直角坐标系被x轴和y 轴分成四个象限，象限以数轴为界，x轴、y 轴上的点不属于任何象限，四个象限中点的坐标的符号特征分别如下表： 4.坐标轴上的线段长 （1）x轴上点的坐标表达式 （x，0） ；y轴上点的坐标表达式 （0，y） （2）坐标平面内两点间（如图A(x1，y1)，B(x2，y2)）的距离公式为： 如图①，若点A、B在同一水平线上，则AB= |x1-x2| ； 如图②，若点A、B在同一竖直线上，则AB= |y1-y2| ； 如图③，对于任意位置的点A和点B，则 。 A B A B A B 图 ① 图 ② 图 ③ 5.坐标平面内点的轴对称规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为 （a，﹣b） ； 点（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为 （﹣a，b） ； 点（a，b）关于原点对称的点的坐标，即为点（a，b）先关于x轴对称，再关于y轴对称，为 （﹣a，﹣b） ； 6.坐标平面内点的平移规律： 在直角坐标系中： 点（a，b）向右平移m个单位得 （a+m，b） ； 点（a，b）向左平移m个单位得 （a－m，b） ； 点（a，b）向上平移m个单位得 （a，b+m） ； 点（a，b）向下平移m个单位得 （a，b－m） ； 7.坐标平面内图形怎么变换，则图形上的各点也是按照同样的方法变换，所以，做一个几何图形的轴对称图形或者平移后的图形，首先把图形各个顶点的对应点做出来，再依次连线即可。 1.坐标轴上的点的坐标 错误：错误混淆在坐标轴上的点的坐标的表示。 注意：x轴上点的坐标表达式(x，0)；y轴上点的坐标表达式(0，y)。要注意在表示时(x，0)和(0，y)的区别。 例1 （25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，点在y轴上，则ab的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据点在坐标轴上的性质解题即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∵点在轴上， ∴， 解得：， 则， ∴的立方根为． 故答案为：． 2.不同象限的点的坐标的符号 错误：混淆不同象限上点的坐标（横坐标与纵坐标）的符号。 注意：不同象限上点的坐标的符号有明确区别，具体如下： 尤其是要注意第二象限与第四象限上点的坐标的符号。 例2 （24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点P的横坐标为2，求点P的坐标； (2)若，试判断点P所在的象限． 【答案】(1) (2)第三象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． （1）根据点P的横坐标为2可得，据此可得a的值，进而得出点P的坐标； （2）根据，可得，，据此可得点P所在的象限． 【详解】（1）解：若点P的横坐标为2，则， 解得， ， 点P的坐标为； （2）若，则得，， 点P所在的象限是第三象限． 3.点到坐标轴的距离 错误：在已知点到坐标轴的距离时确定点的坐标，可能会①不注意结合其他条件，或不通过作图讨论即回答，导致错解、漏解；②已知到x轴的距离就得出横坐标的值，已知到y轴的距离就得出纵坐标的值，是想当然的错误思维。 注意：题干表示点到坐标轴上的距离时，需进行讨论。如，点P到x轴的距离为1，点P可能在第一、二象限，此时它的纵坐标为1；也可能在第三、四象限，此时它的纵坐标为﹣1； 例3 （25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点 (1)若m的值为2时，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为2，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查点坐标的特点，掌握其特点是解题的关键． （1）直接代入求点坐标即可； （2）根据题意，再求解即可． 【详解】（1）解：将代入点，求得点； （2）到轴的距离为2， 即， ， 或， 点的坐标为或． 4.坐标轴上线段的长 错误：不会构建直角三角形，结合勾股定理求出坐标系中斜线段的长。 注意：求坐标系中斜线段的长，可以过线段两点作平行于x轴和y轴的平行线，相交于第三点，使得斜线段为直角三角形的斜边。先求出两直角边的长，再通过勾股定理即可求出斜边长。快捷的计算方式为：（如图）。 A B 例4 （25-26八年级上·广东佛山·期中）已知点，点 (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若直线轴，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了点的坐标特征． （1）根据在x轴上的点的坐标的纵坐标为零，求解即可； （2）根据平行于y轴的两个点的横坐标相等得到，根据先求出b的值，据此求解即可． 【详解】（1）解： 点在轴上， ， ， ； （2）解：直线轴， ， ， ， 或， 或． 例5 已知点A（﹣2，1），点B（b，﹣3）， （1）若点B在第四象限上，求b的取值范围； （2）若b=3，求AB的长； （3）若AB=5，求b的值。 【答案】(1)b＞0 （2） （3）﹣5或1 【分析】本题考查了坐标点的象限和坐标系上两点之间的距离的知识点． （1）根据第四象限上点的横坐标为正，可得出b＞0； （2）关于点A与点B分别平行于y轴、x轴作平行线，构建如图①所示的直角三角形ABC，通过勾股定理即可求出斜边AB的长； A B C A B1 P B2 图① 图② （3）根据如图②所示构造直角三角形PAB1和直角三角形PAB2均满足题意，结合AB=5，可求得BP的长，进而求出点B1和点B2。 【详解】（1）∵点B在第四象限，则点B的横坐标为正数，则b＞0； （2）如图①所示，过点A作AC平行y轴，过点B作BC平行x轴，AC与BC交于点C，∵点A（﹣2，1），点B（3，﹣3）,可以AC=1－（-3）=4，BC=3－（-2）=5，所以AB=； （3）如图②所示，点B1与点B2均符合AB=5；已知直角三角形ABP中，AB=5，AP=4，则BP=3，因为点P的横坐标为﹣2，所以点B1的横坐标为﹣2+3=1，点B2的横坐标为﹣2-3=﹣5.所以b的值为﹣5或1。 5.用几何图形的性质求解图形上的点的坐标 错误：求坐标系上点的坐标，或已知坐标系上点的坐标时，不能结合已学的图形的几何性质，将其转化成坐标系上几何图形的已知条件。 注意：在平面直角坐标系中，几何图形的已知条件可以转化成代数与代数关系；同样的，坐标系上点的坐标值，或代数式，可以转化成几何图形的已知条件，从而达到数形结合的效果。因此通过几何图形的性质，将数值和代数式通过数量关系建立等式或不等式，即可解决更多的数学问题。具体如下： 坐标轴上的点 几何图形的线段长 用坐标系的知识求出点与点连结的线段长、点到线的距离等。 通过几何图形的性质的等量关系，列式求出坐标系上点的坐标。 例6 （25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 例7 （25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，由点的坐标为，点的坐标为，则，，，再通过同角的余角相等得，证明，最后通过性质即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 例8 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)当时，_____．（用含的代数式表示）； (2)连接，设的面积为，当时，求值； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或4 (3)存在，或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想．解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论． （1）由题意得时，，再由，可得结论； （2）分点在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解； （3）分三种情况，分别求得的长以及的长，即可得出所有点的坐标和的值． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 当点P在原点左侧时，，， ∴的面积， 由得， 当点P在原点右侧时，，， ∴的面积， 由得， 综上，t的值为1或4； （3）解：存在，题意，分三种情况： ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，； ②当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，； ③当时，是等腰三角形， 设，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上，或或． 6.坐标点的对称变换 错误：坐标点的对称变换，经常出现关于谁对称则变谁的符号。比如错误认为（1,2）关于x轴对称后是 （﹣1,2），这是脱离坐标系实际情况的。 注意：坐标点的对称变换，要遵循“关谁对称谁不变”，也就是当点关于x轴对称时，横坐标x的正负号不变；当点关于y轴对称时，纵坐标y的正负号不变。 例9 （25-26八年级上·重庆·期中）平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据点与点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】点与点关于x轴对称， 纵坐标互为相反数， ， ． 例10 （25-26八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标． (2)请在轴上作点，使最小． 【答案】(1)图象见解析， (2)图象见解析 【分析】（1）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并求点的坐标； （2）A关于轴的对称点为，连接，与x轴的交点即为所求点F． 本题考查轴对称的应用． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：如图，A关于轴的对称点为， 连接，与x轴的交点即为所求点F． ． 7.坐标点的平移变换 错误：点在平面直角坐标系上平移变换时，左右平移和上下平移时，横坐标与纵坐标的数值变化混淆，且加或减一个数值也混淆。 注意：坐标点的平移遵循“左减右加，上加下减”，详见知识清单第6点。 例11 （2024·广东·模拟预测）如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 8.坐标系上关于点或图形规律的问题 错误：不能找到点的排布规律，总结不出横坐标的规律和纵坐标的规律。 注意：坐标系上点的规律，一般先看点的排列规则，然后分别总结横坐标的数值规律和纵坐标的数值规律，一般横坐标和纵坐标可以分别确定。但也有一些题目不是让我们读图，而是通过文字描述寻找的规律，这时候我们要将每个变化后的点计算出来，至少计算前4个点的坐标，再总结规律。 例12 （24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是识别点的移动周期，根据周期确定对应点的坐标特征． 观察已知点的坐标，发现每8个点为一个移动周期，分析周期内点的坐标变化规律；用除以周期数8，通过商和余数确定在周期中的位置，进而推导坐标． 【详解】解：由已知点坐标可知，点的移动以8个为一个周期，即（k为非负整数）． 每个周期内第1个点（余数为1）的坐标特征为， ∵余1，即， ∴， ∴的x坐标，y坐标， 故答案为：． 例13 （25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到y轴的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标与距离的关系，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P到y轴的距离为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解题的关键．第三象限的点，横坐标和纵坐标均为负数，据此即可解答． 【详解】点在第三象限， 横坐标，纵坐标， ，即， 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴点A与点B的纵坐标相同（均为3），横坐标互为相反数． ∴点B的横坐标应等于点A横坐标的相反数，即， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键． 由轴，可知点与点纵坐标相等；结合，利用两点之间距离公式求点横坐标的值，进而代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点和点， ∴ ， ∵，且轴， ∴， 即， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，列出部分点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“”，根据该规律即可得出结论． 【详解】解：观察，发现动点每4次为一个循环，点的坐标依次为“”， ∵， ∴第2025次运动是第507次循环的第1次运动， ∴第2025次运动的点的坐标是． 故选：A． 6．（江西省景德镇市2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限． 【详解】点P的横坐标为，是负数； 纵坐标为， 由于，故，是正数． 因此点P在第二象限． 故答案为：二． 7．（25-26八年级上·新疆喀什·期中）已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为， 故点的坐标为． 故答案为． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的横坐标为以及关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）是解题的关键． 先根据点在轴上的坐标特征求出的值，确定点的坐标，再依据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 点关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）如图，轮船在灯塔的东偏 、 方向上，距离灯塔 千米． 【答案】 北 【分析】本题考查了方位角和比例尺，掌握相关知识点是解题关键．根据图形方位确定方位角，再根据比例尺求出距离，即可求解． 【详解】解：如图，轮船在灯塔的东偏北方向， 距离为， 故答案为：北，，． 10．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴正半轴上的一个动点．连接，过点作，且，连接 （1）设点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）当线段取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、两点坐标距离公式、平方式的非负性等知识，作辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）过D作轴于H，证明得到，，然后利用坐标与图形性质得到，，可得答案； （2）利用两点坐标公式得到，根据平方的非负性得到当时，取得最小值，进而可得答案． 【详解】解：（1）如图，过D作轴于H，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为，且点是轴正半轴上的一个动点， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为， 故答案为： （2）∵点的坐标为， ∴ ， ∵，当时取等号， ∴，即， 当时，取得最小值，此时，点C的坐标为， 故答案为： 11．（25-26八年级上·重庆巴南·期中）在平面直角坐标系中，已知点 (1)当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． (3)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值并写出P点坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)或，点P的坐标为或 【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （3）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． （2）解：平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． （3）解：∵点到x轴，y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得：或； 当时， ， 则点P的坐标为． 当m=时， ， 则点P坐标为， 综上所述，或，点P的坐标为或． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点的坐标为______； (2)求的面积； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)为直角三角形；理由见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，坐标与图形的变化—轴对称，勾股定理及其逆定理．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． （1）先找出点B、C关于y轴对称的点，然后依次连线即可，最后根据坐标系求出点的坐标即可； （2）利用割补法求出的面积即可； （3）根据勾股定理求出三边长，再根据勾股定理逆定理判断即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求作的图形，点， （2）解： ； （3）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形； 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若，平移线段，使点A，B的对应点分别为点，求m，c的值； 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、平面直角坐标系中两点间距离、平移的性质，熟练掌握平移前后对应点坐标变化规律是解题的关键． （1）根据两点纵坐标相同，判断线段平行于轴，利用横坐标之差的绝对值求线段长度． （2）根据平移的性质，对应点的坐标变化规律相同，列出方程组求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点，， ∵两点纵坐标相同， ∴轴， ∴； （2）解：∵线段平移得到线段， ∴平移规律相同，即， 又∵， ∴， 化简得， 解得． 14．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)_____，_____； (2)当的面积等于时，求的值； (3)过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，全等三角形的性质． （1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ，， ，， 解得，，， 故答案为：；； （2）由（1）可得，， 当点在线段上时，， 则， 解得，， 当点在线段的延长线上时，， 则， 解得，， 当或时，的面积等于； （3）如图1，当点在线段上时， ， ，即， 解得，， 如图，当点在线段的延长线上时， ， ，即， 解得，， 当或时，与全等． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $