精品解析： 浙江省“山海联盟”协作学校2025-2026学年上学期八年级数学期中考试试题

2025学年第一学期“山海联盟”协作学校期中学情调研 八年级数学 试题卷 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、考号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图标中，属于轴对称图形（不考虑颜色）的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐一判断即得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟练掌握：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变这一性质．根据不等式的基本性质，由可直接推导出，而其他选项不一定成立，结合反例判断即可求解． 【详解】、由，可得，与选项矛盾，故选项不成立； 、由，可得，故选项成立； 、若，则和同号，但时可能异号（如，，则 ），故选项不一定成立； 、在不等式两边同时乘以，不等号的方向改变，得，与选项矛盾，不成立． 故选：． 3. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，直接根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵是的外角，且，， ∴， 故选：A． 4. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据各选项的条件结合全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴由不能判定，故该选项符合题意； B、∵，，， ∴由可判定，故该选项不符合题意； C、∵，，， ∴由可判定，故该选项不符合题意； D、∵，，， ∴由可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及尺规作图、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． 过D作于H，根据作图过程，得平分，再根据角平分线的性质得到即可求解． 【详解】解：过D作于H， 根据作图过程，得平分，又，， ∴， 即点到直线的距离是6． 故选：A． 6. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假、逆命题，涉及垂直平分线判定定理、等边三角形的定义、对顶角等，熟知相关知识是解答的关键．先写出各选项中命题的逆命题，再根据相关知识可判断选项C的逆命题是线段垂直平分线的判定定理，成立． 【详解】解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），故选项A不符合题意； B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），故选项B不符合题意； C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），故选项C符合题意； D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由四边形ABCD是矩形与AB=6，△ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，AD=BC， ∵AB=6， ∴S△ABF=AB•BF=×6×BF=24， ∴BF=8， ∴AF===10， 由折叠的性质：AD=AF=10， ∴BC=AD=10， ∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2． 故选B． 考点：翻折变换（折叠问题）． 8. 若方程组的解为，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式综合．将方程组两方程相加，得到的表达式，再根据求解的取值范围． 【详解】解：， ∵ （1）+（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 10. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. “的平方与2的差大于的一半”用不等式表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式的知识，解题的关键是准确翻译文字语言中的数量关系（如“平方”“差”“大于”“一半”）及明确运算顺序． 先分别将“的平方”“的平方与2的差”“的一半”转化为数学表达式，再根据“大于”关系用对应不等号连接． 【详解】解：的平方为，的平方与2的差为，的一半为， 由“差大于的一半”可得不等式， 故答案为：． 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【详解】解： 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12， 由勾股定理得： ∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线， ∴CD= AB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13. 判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的关键． 要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件但结论不成立的值，可以当时，进行求解即可． 【详解】解：当时，，满足条件； 但 ，不满足结论， ∴命题是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能根据知识点求出各个角的度数是解此题的关键． 根据高的定义求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：38． 15. 若不等式组的解为且只有3个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解不等式的性质是关键． 根据不等式组的解集和整数解的个数，确定k的范围． 【详解】解：解集为 ，整数解为 ，共三个， 为确保只有三个整数解，需满足 （使 包含在解集中）且 （使 不包含在解集中）， ∴ 的取值范围是 ， 故答案为：． 16. 如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，找到点N的运动路线是解答的关键．连接，利用证明，由全等三角形的性质得，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵是高所在直线上一点，是等边三角形，， ，，点N的运动轨迹为如图所示直线， ， ∴， 故当时，最短，最短为， 故答案为：2． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 解一元一次不等式组并把解表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键． 分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案． 【详解】解： 由①得： 解得， 由②得， 解得， ∴不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图， 18. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】利用平行线的性质，补充证明全等的角元素，立足已知等线段，利用等量加等量和线段，转化新等量线段，为全等提供边元素． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴AF+CF=DE+CF, ∴， ∴≌． 【点睛】本题考查了平行线条件下的三角形全等，熟练运用平行线的性质，灵活选择三角形全等的方法是解题的关键． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． （2）在图2中画出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格上的无刻度直尺作图，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，确定，然后取格点A，利用勾股定理和等腰三角形的性质画图即可． （2）在上取格点F，则，根据网格特点得到点O是的中点，根据勾股定理和等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，取格点A，则，，则等腰三角形即为所求作： 【小问2详解】 解：根据题意，得， 在上取格点F，则；取格点M、N，连接，，两线交于点O，则点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 20. 如图，在中，，，点，分别在，上，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，，利用可证得； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：________． （2）若，则的取值范围是________． （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， 解得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 22. 如图，在中，，，点为内一点，，，的平分线交的延长线于点，连接． （1）的度数为________，的度数为________； （2）求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理推出，通过证明，得到，利用周角的定义得出，根据三角形外角的性质得到，得到，推出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴的度数为，的度数为； 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元． （1）求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？ （2）若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？ 【答案】（1） 购买一面彩旗需5元，一个气球需10元 （2） 该班共有3种购买方案 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式组的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元，根据数量关系列方程组求解即可； （2）设购进气球数量为个，购买彩旗的数量为个，根据数量关系，不等式组的解法求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元， ∴， 解得，， ∴购买一面彩旗需要元，购买一个气球需要元； 【小问2详解】 解：设购进气球数量为个，购买彩旗的数量为个， ∴， 根据题意，可得， ∴， ∴， 解得，， ∵为正整数， ∴，则； ，则； ，则； ∴该班共有3种购买方案． 24. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期“山海联盟”协作学校期中学情调研 八年级数学 试题卷 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必使用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、考号等信息． 3．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图标中，属于轴对称图形（不考虑颜色）的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D 对顶角相等 7. 如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若方程组的解为，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. “的平方与2的差大于的一半”用不等式表示为_________． 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝_____． 13. 判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为________． 14. 如图，在中，是高，是平分线，，，则的度数是________． 15. 若不等式组的解为且只有3个整数解，则的取值范围是________． 16. 如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为________． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 解一元一次不等式组并把解表示在数轴上． 18. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． （2）在图2中画出的角平分线． 20. 如图，在中，，，点，分别在，上，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：________． （2）若，则的取值范围是________． （3）已知，求的取值范围． 22. 如图，在中，，，点为内一点，，，的平分线交的延长线于点，连接． （1）的度数为________，的度数为________； （2）求证：． 23. 运动会即将来临，八年级某班准备购买彩旗和气球，若购进彩旗100面，气球50个，需要1000元；购进彩旗50面，气球30个，需要550元． （1）求购买一面彩旗和一个气球各需多少元？ （2）若该班准备拿出500元全部用来购买彩旗和气球，考虑实际需求，要求购进彩旗数量不少于气球数量的6倍，且不超过气球数量的8倍，那么该班共有几种购买方案？ 24. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $