精品解析：江西省赣州经开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

赣州经开区2025—2026学年第一学期 九年级数学期中测试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年春节期间，人工智能AI温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C.   D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：选项A、B、D的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 3. 如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 4. 如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ） A. 把△ABC向右平移6格 B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C. 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到． 根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合． 考点：几何变换的类型． 5. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．赣州郁孤台旅游休闲街区2023年国庆假期接待游客116万人次，2025年国庆假期接待游客184万人次．设该景区国庆假期游客人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题． 根据年平均增长率的定义，从2023年到2025年经过两年增长，2025年游客数等于2023年游客数乘以． 【详解】解：∵年平均增长率为x，2023年游客数为116万人次， ∴2024年游客数为万人次，2025年游客数为万人次， ∵2025年游客数为184万人次， ∴． 故选：C． 6. 如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可． 【详解】解：（1）当点P沿O→C运动时， 当点P在点O的位置时，y＝90°， 当点P在点C的位置时， ∵OA＝OC， ∴y＝45°， ∴y由90°逐渐减小到45°； （2）当点P沿C→B运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2＝45°； （3）当点P沿B→O运动时， 当点P在点B的位置时，y＝45°， 当点P在点O的位置时，y＝90°， ∴y由45°逐渐增加到90°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象和圆周角定理，解题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在一元二次方程中，其中一次项系数是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 根据一元二次方程的一般形式（其中），一次项系数是项的系数．在方程中，没有一次项，因此一次项系数为 0． 【详解】解：方程可化为，所以一次项系数是0． 故答案为：0． 8. 若二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 通过直接计算二次函数在给定点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：对于点，代入函数： ； 对于点，代入函数： ； ∵， ∴． 故答案为：． 9. 如图，内接于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 若方程的解为，则二次函数的对称轴为_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求二次函数的对称轴． 由根与系数的关系可知，进而根据二次函数的对称轴为直线计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知，方程的两根之和为， 则二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴对称轴直线． 故答案为：直线． 11. 阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为的正方形的四个边上向外作边长为和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程 ，完全平方公式在几何图形中的应用；根据题意，结合完全平方公式得到一元二次方程，并求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴如图2阴影部分每个正方形的边长为． 故答案为：． 12. 某用于监测东江源水质的传感器，其输出信号（电压）与污染物浓度满足函数．当水质刚好达到临界达标值时，传感器图象与轴有且只有一个交点，此时的值为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．函数图象与轴有且只有一个交点，需分二次函数和一次函数两种情况讨论：当二次项系数不为零时，判别式等于零；当二次项系数为零时，一次函数需保证一次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】解：函数的图象与轴有且只有一个交点，即方程 有且只有一个实数根， 当时，函数为二次函数，判别式， 解得或； 当时，即，函数变为，为一次函数，且一次项系数，与 轴有一个交点，满足条件； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ，． 14. 如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． （1）若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； （2）若，求的长． 【答案】（1）C； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的概念和性质： （1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为的中点得出,由旋转的性质得 【小问1详解】 解：根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得，， ∵ ∴ ∴, ∴旋转角度为， 故答案为：C； 【小问2详解】 解：∵，且点D为的中点， ∴ 由旋转得， 15. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的一个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺按下列要求分别画图．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中，画出△ABC的角平分线AF； (2)在图②中，画出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）连结AP交BC于F，根据垂径定理得到，则∠BAP=∠CAP，所以AF为△ABC的角平分线； （2）延长PO交⊙O于G，连结GB、GC，根据垂径定理得GP垂直平分BC，则GB=GC，于是∠GBC=∠GCB，根据圆内接四边形的性质得∠DAG=∠GBC，根据圆周角定理得∠GAB=∠GCB，所以∠DAG=∠GAB，即AG平分∠BAD． 【详解】(1)如图①，连接AP交BC于点F，由垂径定理及圆周角的关系，得到∠BAP＝∠CAP，AF即为所求； (2)如图②，延长PO交圆于点G，由圆的基本性质知∠PAG为直角，在(1)的基础上可得到∠DAG＝∠BAG，则AG即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 16. 某小型飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）满足，其中、是常数，由监测仪器记录获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间 0 2 4 6 8 ．．． 滑行距离 0 54 96 126 144 ．．． （1）请根据上述数据，求该函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： （2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解释式，求二次函数顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，，当时 代入求得函数解析式； （2）求的顶点坐标，S的最大值即为所求． 小问1详解】 解： ， 当时，，当时 ，代入得： 解得 ∴函数解析式为：； 【小问2详解】 解： ， ∵， 当时，S最大， 米． 因此，飞机着陆后滑行 米才能停下来． 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； （2）绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是确定旋转中心，画关于原点对称的图形，熟记旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用网格的特点确定线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：如图；为所求图形； 点的坐标为：； 故答案为：， 【小问2详解】 如图； 连接作其垂直平分线的交点即可. 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程两个根为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程的解得到，根与系数的关系得到，进而代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不等的实数根， ∴判别式， 即， 解得 ； 【小问2详解】 解：∵是方程的根， ∴， 即； ∵和是方程的两个根， ∴； ∴． 20. 如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用． （1）先证明，再证明，再结合线段的和差可得答案； （2）连接，设的半径是r，可得，证明，再结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，且过圆心O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 在中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 为庆祝年江西城市足球联赛（赣超）赣州队夺得冠军，某校宣传小组精心设计了一幅宣传图案，以绿茵场上的边界线为灵感，融入一横一竖两条宽度相等的彩条，既体现足球运动的秩序之美，又展现地方文化的活力．请结合数学知识，完成以下问题： （1）若图案设计为矩形（如图1），长，宽，彩条所占面积恰好为图案总面积的．设横、竖彩条的宽度均为，请列出关于的方程_____． （2）在（1）的基础上，为增强视觉动感，宣传小组将彩条形状改为平行四边形（如图2，方向与原矩形一致），图案外轮廓保持不变，横竖彩条宽度仍相等，求此时彩条的宽度． （3）为进一步突出“层次与进取”的主题，宣传小组将图案外轮廓优化为等腰梯形，下底，上底，高．横彩条位于中央两腰中点的连线处，象征团结协作；竖彩条贯穿上下底之间，体现奋发向上．若彩条宽度仍为，且彩条总面积小于图案面积的（横竖彩条面积不为0），求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用二次函数解一元二次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形，彩条所占面积=横彩条面积+竖彩条面积-中间重叠面积，根据此面积为图案总面积的列方程即可； （2）彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变，解出方程保留符合实际意义的解即可； （3）因为横彩条位于中央两腰中点的连线处，所以横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为，则横彩条面积，竖彩条面积，总彩条面积皆可表示，根据彩条总面积小于图案面积的列不等式，利用二次函数图象解不等式求得结果． 【小问1详解】 解：由题意得： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：彩条形状改为平行四边形，面积计算方式不变， （舍去） 答：此时彩条的宽度为； 【小问3详解】 解：梯形面积：， 梯形的中位线长为， ∵横彩条位于中央两腰中点的连线处， ∴横彩条梯形的中位线长与大梯形中位线重合为， 则横彩条梯形的面积， ∵竖彩条面积， 彩条重叠部分面积为， ∴彩条总面积： ， ∵彩条总面积小于图案面积的， ∴ 令， ， 二次函数开口向上， ∴若， 则或 （舍去）， ∴取值范围为． 六、解答题（本大题12分） 23. 【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数的图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目定义直接写出解析式； （2）①根据题目定义写出解析式②由垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，可知关于抛物线对称轴对称，则，由知直线在P点下方且在抛物线顶点上方，据此可求出取值范围，则题目所求可得； （3）因为抛物线顶点在第一象限角平分线上，故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标，讨论a取不同值时抛物线与四边形的图形的交点个数，从而确定满足题意的a 的取值范围，则b的取值范围可求． 【详解】解：（1）根据定义：“倍方函数”为． 代入，，得： ． 故答案为：； （2）①∵函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和， ∴； ②令，得， ∴， 令，得， 解得， ∵与坐标系横轴右侧交点为， ∴， 设解析式为，代入，， ， 解得， ∴解析式为， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴直线在抛物线顶点上方， ∵顶点坐标为， 当，时代入， ， 此时 ∵与直线交于点，且， ∴直线在P点下方， 当时，代入，得， ∴此时， ∴， ∵垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点， ∴关于抛物线对称轴对称， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意，函数解析式为， 且其顶点在第一象限角平分线上， 故抛物线解析式也可设为，即顶点坐标， ∵直线与线段交点为， 故当时，如图，抛物线与四边形的图形有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 当抛物线过时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 将代入，得， 解得（舍） 故当时，抛物线与四边形的图形又只有3个交点， 当时，如图，不满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 综上所述，当时，如图满足抛物线与四边形的图形有4个交点， 即， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州经开区2025—2026学年第一学期 九年级数学期中测试卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年春节期间，人工智能AI温情相伴，智能语音助手化身为贴心伙伴，播放喜庆的春节歌谣，讲述有趣的年俗故事．下列软件图标是中心对称图形的是（ ） A B. C.   D. 2. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ） A. 把△ABC向右平移6格 B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 5. 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．赣州郁孤台旅游休闲街区2023年国庆假期接待游客116万人次，2025年国庆假期接待游客184万人次．设该景区国庆假期游客人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在一元二次方程中，其中一次项系数是_____． 8. 若二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是_____． 9. 如图，内接于，若，则______． 10. 若方程的解为，则二次函数的对称轴为_____． 11. 阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为的正方形的四个边上向外作边长为和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为______． 12. 某用于监测东江源水质的传感器，其输出信号（电压）与污染物浓度满足函数．当水质刚好达到临界达标值时，传感器图象与轴有且只有一个交点，此时的值为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． （1）若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； （2）若，求的长． 15. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是它的一个外角，OP⊥BC交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺按下列要求分别画图．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中，画出△ABC的角平分线AF； (2)在图②中，画出△ABC的外角∠BAD的角平分线AG. 16. 某小型飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）满足，其中、是常数，由监测仪器记录获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间 0 2 4 6 8 ．．． 滑行距离 0 54 96 126 144 ．．． （1）请根据上述数据，求该函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： （2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，和的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的，并直接写出点坐标_____； （2）绕点旋转得到（点的对应点分别为点），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程两个根为，求的值． 20. 如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，求半径的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 22. 为庆祝年江西城市足球联赛（赣超）赣州队夺得冠军，某校宣传小组精心设计了一幅宣传图案，以绿茵场上的边界线为灵感，融入一横一竖两条宽度相等的彩条，既体现足球运动的秩序之美，又展现地方文化的活力．请结合数学知识，完成以下问题： （1）若图案设计为矩形（如图1），长，宽，彩条所占面积恰好为图案总面积．设横、竖彩条的宽度均为，请列出关于的方程_____． （2）在（1）的基础上，为增强视觉动感，宣传小组将彩条形状改为平行四边形（如图2，方向与原矩形一致），图案外轮廓保持不变，横竖彩条宽度仍相等，求此时彩条的宽度． （3）为进一步突出“层次与进取”主题，宣传小组将图案外轮廓优化为等腰梯形，下底，上底，高．横彩条位于中央两腰中点的连线处，象征团结协作；竖彩条贯穿上下底之间，体现奋发向上．若彩条宽度仍为，且彩条总面积小于图案面积的（横竖彩条面积不为0），求的取值范围． 六、解答题（本大题12分） 23. 【学习研究】定义：若变量、满足（是正整数常数），则称是的“方函数”．此时若变量满足（是整数常数），则称是的“倍方函数”．例如：的“1方函数”为的“2倍1方函数”为． 【初步思考】 （1）写出自变量的“2倍2方函数”是_____． 【尝试应用】 （2）已知函数是的“2倍2方函数”、“倍1方函数”与“”的和，该函数与轴交于点，与坐标系横轴右侧交点为，垂直于坐标系纵轴的直线与函数的图象交于两点，与直线交于点． ①请写出的表达式： ②若，请结合函数图象，求的取值范围． 【拓展提高】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，函数是的“倍2方函数”、“倍1方函数”与“（是常数）”的和．且其顶点在第一象限角平分线上，函数与四边形的图形有4个交点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $