广东省潮州市金山中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二级数学科第一次阶段考试卷 (考试时间：120分钟) 一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过点M(1,)且斜率为-1的直线方程是() A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y+2=0 D.x+y-2=0 【解析】因为直线经过点M(1,)且斜率为-1，所以直线方程为y-1=-1×(x-1),即x+y-2=0.故选：D. 2.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,则AN=() B A.a+6+ B. 2 0,6e -a+-b+ -a+6+c 2 D. 2 【详解】W-0N-01-o+0C)-01=a+5+故选：C 2 3.已知直线1的方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是u=（-1,2,-1),则1与a的位置关系是() A.I⊥a B.1// C.1与a相交但不垂直 D.l//a或lca 【详解】因为a.u=-3+4-1=0,所以a⊥u,所以l/ax或1cw.故选：D. 4.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1),过点C的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围是() A.（-2,3) B.（-2,0)U(0,3) c.（-∞，-2[3，+o) D.(-0,-2]U(3,+∞) 4 【解析】如图，过点C的直线1与线段AB有公共点，则直线I的斜率k≤kC或k之kC,而 3 A、1F k4c=-2,kc=3,于是直线1的斜率k≤-2或k≥3，所以直线1斜率k的取值范围是 -2-1123x -1米C (-o0,-2]U[3,+o0),故选：C 5.在正方体ABCD-AB,CD,中，E是AD的中点，则CE与平面ABE所成角的余弦值为() 1 A.05 B.2V30 15 15 C.I D. 15 5.【详解】以D为原点，分别以DA,DC.DD为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则4(2,0,2)，E(1,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),所以4B=(0,2,-2),AE=（-1,0,-2)CE=1,-2,0), 设平面ABE的法向量为万=(x,y,z), ZA D n.AB=2y-2z=0 所以 令z=1,所以方=(-21,1)， A n·4E=-x-2z=0 设CE与平面ABE所成角为O, D: A a.CE 4 所以sinO=cosi,CE 2W30 5×V615 故选：B CE 6.在正四棱锥- 中， ==4,为棱 的中点，则异面直线， 所成角的余弦值为() A号 6号 c.9 0.号 【详解】如图，为的中点，=一 =克-，且= ∠ =∠ =60°，由于==4，=V2=4V2,故2+2=2，则 =90°，1=11=11=4， =吃-)(-)=支2- D A D 16-0-4×4×3+4×4×2=8,1|=2V3,1=42,c0s<,>= 产=告散异面直线，所成角的余弦值为做选：D。 6 7.如图，把画有函数f()=2sin(@r+p)(@>0,7<p<)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A、B两 点之间的空间距离为26，则〔)=) A.-2B.-V3 c.-1 D.5 2 7C【g折1数话数)=问的周期为T-2g由/@)=1有np2没<9<元所以0 5元，在折叠后 6 =2√ 6解出1=80-子 6 6 8正方体 1111的棱长为4，为棱1中点，为正方形1111内（舍边界)的动点，若1， 则动点的轨迹长度为() A.2 B.2V2 C.2 D. D 【详解】如图建立空间直角坐标系，设(，，4)，则(4,0,0)，(0,4,2)， F。、B A 则=(-4,4,2)， =(,，-4,2). 因为1，所以·=-4+4(-4)+2×2=0， D 所以一+3=0，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. B 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为(0,3,4)，(1,4,4)， 所以动点的轨迹长度为√(0-1)2+(3-4)2+(4-4)2=√2故选：A 二、多选题：大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对 得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9.下列说法正确的有（) A.设a,五，c是空间向量，若a与i共线，b与c共线，则a与c共线 B.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB/CD C.零向量与任何向量都共线 D.两个单位向量一定是相等向量 【详解】对于A,若b为零向量时，则无法得到a与c共线，A错误， 对于B,由AB+CD=O可得AB=-CD,故AB∥CD,B正确， 对于C,零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D,单位向量的模长相等，但是方向不一定相同，故D错误，故选：BC 10.在空间直角坐标系中，向量=(2，-1，)，=(-4,2,4)，下列结论正确的是（) A.若/，则=2 B.若上，则=号 C.若(，)为钝角，则<号 D.若在上的投影向量为号，则=4 3 【详解】因为向量=(2，-1，)，=(-4,2,4)， 对于A选项，若∥，则子=子=子解得=-2，A错： 对于B选项，若上，则·=-8-2+4=4-10=0，解得=B对： 对于C选项，若(，)为钝角，则·=-8-2+4=4-10<0且≠-2， 解得<且≠-2，C错：对于D选项，若在上的投影向量为， 即o(.T小5T7=0”，则”=名解得=4，D对故选：0 11.菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE翻折至△·处（如图2）， 连接’，”，下列说法中正确的有() D E B B 夕 图2 图1 A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面’与平面·所成角逐渐减小 B.若F为·中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点F到平面·的距离恒为V3 C.若′1，则三棱锥'-的外接球半径为V5 D.若'上，点F为'的中点，则F到直线BC的距离为受 【详解】A:因为1,1，且∩=，所以⊥平面’，又"c平面’，则平面’⊥平 面’，则所成角始终为90°，故A错误 B::1平面’，则D到·面距离为=V42-2z=2√3，则F到·距离为V3, 故B正确 C:因为·上，1且BC与DE相交，所以⊥平面，又⊥平面， y 则以E为原点，以EB,ED, 分别为x,y,z轴建立坐标系， D 设球心坐标为(x,y,z),E(0,0,0),B(2,0,0),‘(0,0,2),D(0,2V3,0), (2+2+2=2 2+2+(-22=2,=1 ++232++E6，放面 ((-2)2+2+2=2 4 D因为82,00.C4:25.0.F03.1.所以=2,25,0.==（号）==2-3，-. 11=V3+4+1-=22,·=-+1=-分所以=P-(,2=8-=受0正确 故选：BCD 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分 12.直线=在倾斜角为135°，且过点PV5,则a= 【详解】由题意可知k=tanl35°=-1，则y=-x,由直线过点P,则得a=-√3.故答案为：-√3. 18.若函数)是定义在R上的奇函数，且满是/x+利=，当xe[0时，)-2sn,则 【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=-f(-x), 又清足/+)=f),可得)的最小正周期为，所以+利=--，则函数)关于点0对称，即 分=0，当xe0》时，f=2sin,所以/=f4- =(胃引-2如子.5微答案为：5. 3· 14.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=PA.若BC边上有且只有一个点Q,使得 PQ⊥QD,此时面APD与面PDQ所成角的余弦值为 14.【详解】：PA⊥平面ABCD,DQC平面ABCD,∴PA⊥DQ, 又PQ⊥DQ,PA∩PQ=P,PO,PAC平面PAQ,∴.DQ⊥平面PAQ,又AQC平面PAQ,.D0⊥AQ: 设PA=AB=2,AD=t(t>0),BQ=m(0≤m≤t), Ag2=4+m2,D02=4+(t-m),AD2=2, .4+m2+4+(t-m)=t2，即m2-tm+4=0, :关于m的方程有且仅有一个[0，小范国内的解，对称轴为m=5△=-16=0，解得：1=4，m=2, 以A为坐标原点，AD,AB,AP正方向为x,y,2轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则P(0,0,2),D(4,0,0),Q(2,2,0),∴.PD=(4,0,-2),D0=(-2,2,0), :y轴⊥平面PAD,∴.平面PAD的一个法向量m=(01,0): 设平面PDQ的法向量万=(x,y,z), D0万=-2x+2y-0令x=l,解得：y=1,2=2,n=化1,2列， PD.n=4x-2z=0 5 m_1√6 小eosm.训-同闭66 由图形可知：二面角A-PD-Q为锐二面角，：二面角A-PD-Q的余弦值为y6 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，16、17每题15分，18、19题每题17分，共77分. 15.已知直线m的一个方向向量为=(3，√5)，直线1的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍. (1)求直线1的斜率 (2)求过点P3,4),直线1的点斜式方程 【详解】(1)：直线m的一个方向向量为=(3,5)， ·直线m的斜率为 ,则直线m的倾斜角为30°，则直线1的倾斜角为60°，即直线1的斜率为tan60°=5， 3 (2)由(1)知：直线1的斜率为√5. 直线1过点P3,-4),..直线1的点斜式方程为y-(-4)=√3(x-3) 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点. D A (1)求证：AF⊥CE (2)求点A到平面C,EF的距离， 【小问1详解】在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，分别以BC,BA,BB,为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则E(0,1,0),F(（1,0,0),4(0,2,2),C(2,0,2),AF=(1,-2,-2),CE=(-2,1,-2), 所以AF.CE=1×(-2)+(-2)×1+(-2)2=0,即有AF⊥CE,所以AF⊥CE. 【小问2详解】由(1)知，A(0,2,0),则 D EF=(（1,-1,0),FC=(1,0,2),AE=(0,-1,0), n.EF=x-y=0 设n=(x,y,z)是平面C,EF的法向量，则 -FC=x+2z=0'令 z=-1,得n=（2,2,-1), 6 所以点A到平面CEF的距离d=A正n_ 2 2 |n√4+4+13 17.已知向量a,,c是空间中不共面的三个向量，OA=d-2b+c,OB=pd+b+qc,OC=2a+b-2元. (1)若AB=mAC,m∈R,求P,9的值； (2)若0，A,B,C四点共面，求3p+5g的值. 【详解】(1)由题可得：AB=OB-OA=pa+b+qc-a-2b+c)=(p-1)a+3b+(g-1)c, AC=0C-0A=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+36-3c,因为AB=mAC,所以(p-1)a+36+(g-1)c=m(a+36-3c, p-1=m, m=1, 即{3=3m,解得{p=2,所以p,9的值分别为2，-2； 9-1=-3m, (9=-2, (2)因为O,A,B,C四点共面，所以存在九，4∈R,使得OB=1OA+uOC, [p=2+24, 即pa+b+gc=(a-2b+c)+u(2a+b-2c)=(2+2u)a+(u-22)b+(2-2)c,于是有1=-22， 9=元-24， 所以3p+5q=3(2+2u)+5(2-2m=82-4μ=82-4(1+2元)=-4，即3p+5q的值为-4. 18.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=7,A=60°. (I)若2c-b=2,求sinC; 2)考若6C边上的高h上23，求△ABC的周长。 【详解】(1)由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA 得49=b2+c2-bc,联立2c-b=2,解得c=-3(舍)或c=5, snsinC,海s 由正弦定理得a=c, sin60SinC解得sinc-55 5 14 (2)由题得a1BC的面积S,x-2ah= 1 bc=68, 7 4 .bc=24.由余弦定理得49=b2+c2-bc, .b2+c2=73,∴.(b+c)2=73+48=121,.b+c=11,.∴△ABC的周长为a+b+c=18. 9.在△ABC中，B=了，AB=2BC=4,点D、E分别为边AC、AB的中点，将△AED沿DE折起，使得平面AED 平面BCDE. E D (1)求证：DC⊥AE: (2)在平面ACD内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD?若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由. 【详解】(1)在△ABC中，点D、E分别为边AC、AB的中点， :DE∥9C且B-号E1ED又：平面AED1平面BCDE,平面4EDn平面BCDE=ED,4Ec平面AD, AE⊥平面BCDE.又·DCc平面BCDE,.DC⊥AE. (2)由(1)知，AE⊥ED,AE⊥EB,EB⊥ED. 以点E为原点，以EB、ED、EA所在直线为八z轴，建立空间直角坐标系E-z, 则E(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(01,0)、A(0,0,2). EA=(0,0,2)、AB=(2,0,-2)、AD=(0,1,-2,设m=(x,y,2)为平面ABD的一个法向 量，则 。-2. E头 假设在平面ACD内存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD.连接AM. B 若AM∥DC,则设AM=uDC=(2,4,0).设平面AEM的一个法向量为 i.EA=0,2,a+b=0 n=(a,b,c）.由 n.AM=012c=0 ，取a=1,则万=(1，-2,0). :平面ABD的法向量m=(1,2,1).由m·n≠0知，此情况不成立. 若AM与DC不共线，设AM∩CD=N,连接EN. 设DN=元DC=(2,L,0)=(2元，，0)，则EN=ED+D=(2,1+l,0). 当E.BD=(2元，元+10(2，L0)0,即元=5时，BD1EN 又：AE⊥BD,∴.BD⊥平面AEN,即平面ABD⊥平面AEN,也即平面AEM⊥平面ABD, 所以在平面ACD内存在点M,当M点在直线AN(V点在直线CD上且DN=DC上时， 平面AEM⊥平面ABD.2025-2026学年度第一学期高二级数学科第一次阶段考试卷 (考试时间：120分钟) 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.经过点M(1,1)且斜率为-1的直线方程是（) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y+2=0 D.x+y-2=0 2.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,则AN=() ⊙ A.a+6+ B. ny 2 abve 11 -a+-b+二c -a+-b+c C. 22 D. '2 3.已知直线1的方向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量是u=（-1,2,-1),则1与a的位置关系 是() A.1⊥& B.1// C.1与a相交但不垂直 D.l//a或lca 4.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1),过点C的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的 取值范围是() A.（-2,3) B.（-2,0)U(0,3) c.（-o,-2[3,+o) D.(-∞，-2]U(3,+∞) 5.在正方体ABCD-ABCD,中，E是AD的中点，则CE与平面ABE所成角的正弦值为() 1 A.105 2W30 7 B. D. 8 15 15 C.5 15 6.在正四棱锥- 中， = =4,为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 () A.? 8.9 c.9 D. 6 7.如图，把画有函数f(x,)=2sin(ox+p)(@>0,无<p<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角， 2 芳小、8两点之向的空间距离为26，则()=t) A.-2 B.-V5 c.-1 D.5 8正方体 一1111的棱长为4，为棱1中点，为正方形1111内（舍边界）的动点， 若上，则动点的轨迹长度为() A.V2 B.2√2 C.2 D 二、多选题：大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求 的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9.下列说法正确的有() A.设a,b,c是空间向量，若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB//CD C.零向量与任何向量都共线 D.两个单位向量一定是相等向量 10.在空间直角坐标系中，向量=(2，-1，)，=(-4,2,4)，下列结论正确的是() A.若/，则=2 B.若上，则=月 C.若(，)为钝角，则< D.若在上的投影向量为后，则=4 11.菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E为AB的中点（如图1），将△ADE沿直线DE翻折至△' 处（如图2），连接·，’，下列说法中正确的有() D A B E B 图2 图1 A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面·与平面·所成角逐渐减小 B.若F为·中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点F到平面·的距离恒为V3 C.若′1，则三棱锥‘-的外接球半径为V5 D.若′上，点F为’的中点，则F到直线BC的距离为团 2 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分 12.直线y=c倾斜角为135，且过点P(V5,则a 1B.若函数是定义在R上的奇函数，且满足r+利=f,当xe0}时，f)=2sn, 13π 则f 3 14.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=PA.若BC边上有且只有一 个点Q,使得P?⊥QD,此时面APD与面PDQ所成角的余弦值为() A.3 B.V30 C.v6 D.② 3 6 6 6 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，16、17每题15分，18、19题每题17分，共77分. 15.已知直线m的一个方向向量为v=(3,√5)，直线1的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍. (1)求直线1的斜率， (2)求过点P(3,-4),直线1的点斜式方程 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点. D B E ⊙ (1)求证：AF⊥CE: (2)求点A到平面C,EF的距离. 17.已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量，OA=a-2b+c,OB=pa+b+gc,OC=2a+b-2元. (I)若AB=mAC,m∈R,求P,9的值： (2)若O,A,B,C四点共面，求3p+5q的值. 18.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=7,A=60°. (1)若2c-b=2,求sinC; 2)若BC边上的高=12V5,求AABC的周长. 7 19.在△BC中，B-号B=2BC=4,点DE分别为边AC、AB的中点，将△D沿DE折起， 使得平面AED⊥平面BCDE. B (1)求证：DC⊥AE: (2)在平面ACD内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD？若存在，指出点M的位置；若不存 在，说明理由