精品解析：福建省福州市福九联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025—2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高二数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再根据直线斜率与方向向量的关系即可确定. 【详解】直线可化为，该直线的斜率为， 则直线的一个方向向量可以表示为. 故选：. 2. 两平行直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算即可得解. 【详解】直线化为：，于是得， 所以两平行直线与的距离为. 故选：B 3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：. 故选：D. 4. 已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共面向量定理可得. 【详解】因为，，所以，不共线， 因为，，三向量共面，则存在实数，使得， 即， 即，解得. 故选：D 5. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 6. 已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件,利用点差法,列式计算即得. 【详解】设以为中点的弦端点, 则, 由,得, 即, 所以直线的斜率. 故选:C 7. 在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为求以点为圆心，以1为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解. 【详解】与点距离为1的直线可看作以为圆心，为半径的圆的切线，  同理与点距离为的直线可看作以B为圆心，2为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线，  又， 故两圆外离，所以公切线有4条，  故选：D 8. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　）． A. 任意向量，满足 B. 若三个非零空间向量满足，则有 C. 若直线l一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若空间向量，则在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的相关知识逐个选项分析即可. 【详解】对于选项，向量的数量积不满足结合律，是一个数，是与共线的向量， 是一个数，是与共线的向量，与不一定相等，故错误. 对于选项，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，例如：在正方体中，从同一顶点出发的三条棱两两垂直，但三条棱并不平行，故错误. 对于选项，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， ，直线l的一个方向向量与平面的一个法向量共线， 直线l垂直于平面，即，故正确. 对于选项，空间向量， 则在上的投影向量为，故正确. 故选： 10. 已知圆，直线．则（    ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 直线与圆相交得到的最短弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，进而分析定点；对于B，分析可知，求圆心到直线的距离即可；对于C：分析可知点在圆内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：可知当圆心与点连线垂直时弦长最短，进而求弦长. 【详解】对于A，因为直线，可得， 令，解得，所以直线恒过点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离， 当时，直线， 可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C，因为直线恒过点，设为点， 可得， 所以点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，所以C正确； 对于D，当圆心与点连线垂直时弦长最短，此时弦长为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ） A. 若是的中点，则平面 B. 若是的中点，则平面 C. 的最大值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，根据是的中点，取中点，通过证明四边形是平行四边形即可证明；对选项B，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可；对选项C，根据可知，与重合时，最大；对选项D，设出，坐标，则可知坐标，故，，由可知，代入数量积的坐标运算可转化为的取值范围，利用三角换元即可求解. 【详解】是的中点，，，，∴是的中点. 连接交于点如图所示. ，∴四边形是平行四边形，. 又平面，平面，平面，故A正确； 以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点， 那么，，，， 而平面的一个法向量.， 不是平面的法向量，故B错误； 当与重合时，最大，为，故C正确； 设，，则， ，，， ，， 设，，， 故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系、求线段长度最小值及数量积最小值的方法，解题关键是建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数问题，考查学生转化能力、数形结合能力和计算能力，属于压轴题. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标平面对称点特征可求对称点的坐标. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为， 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从而可得，，得出答案. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，， 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形 所以, 由椭圆的定义可得，所以 所以的周长为： 故答案为：14 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可. 【详解】显然平面的一个法向量可以为, 易知平面的法向量为，平面的法向量为， 且直线l的方向向量为，故，，令， 解得，，故，设直线l与平面所成角为， 则. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系结合直线的斜截式方程整理运算；（2）设直线的点斜式方程，结合题意运算求解. 【小问1详解】 ∵直线的斜率且，则直线的斜率为， 又∵在轴上的截距为，即过点，所以直线方程：，即， 联立方程得：，解得， 故交点为. 【小问2详解】 依据题意可知：直线的斜率存在，设直线：且，与两坐标轴的交点为， 则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为，解得， 故方程为：，即. 16. 如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． （1）用表示； （2）求； （3）求的长． 【答案】（1） （2）-9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量加法的三角形法则，可将用基底表示； （2）借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得； （3）用基底表示，根据，并结合正四面体的性质，可以求得的长. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，由（1）知， 所以 . 【小问3详解】 . 17. 已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程，列方程组求解即可； （2）由可得出弦长为2，由弦长公式求直线即可，注意讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆C经过和，且圆心在直线上， 所以， 解得： ， 所以圆C的方程为：． 【小问2详解】 ，且=弦长， ①当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． ②当l斜率存在时，设l的方程为，即， 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 所以，解得， 所以直线l的方程为，即． 综上，l的方程为或． 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点位于线段靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【小问1详解】 证明：，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. 【小问2详解】 解：由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 【答案】（1） （2）(ⅰ)；(ⅱ)1 【解析】 【分析】（1）设，再根据直线和直线的斜率乘积为，化简求解即可； （2）(ⅰ)（方法一）设直线的方程为（），联立椭圆方程，得出韦达定理，可得，根据直线与椭圆的相交，则可得，进而可得的取值范围；（方法二）设的方程为，再同方法一求解. (ⅱ)（方法一）直线的方程为，直线的方程为，令得，结合韦达定理可得，再代入化简求解即可；（方法二）求解可得，即的值为1；（方法三）根据椭圆的方程，结合直线，的斜率，再将两斜率做除法，结合韦达定理化简即可. 【小问1详解】 设，则直线的斜率， 直线的斜率， 因为直线和直线的斜率乘积为， 所以， 整理方程为． 【小问2详解】 (ⅰ) 方法一： 依题意，设直线的方程为（）． 由得， 设，则，即， ， ． 因为，所以， 所以的取值范围为． 方法二 ： 依题意，直线的斜率不为0，设的方程为． 由得， 设，则，解得， ， ． 因为，所以， 所以的取值范围为． (ⅱ) 方法一： 直线的方程为，直线的方程为， 令得，即． 所以， 因为， 所以，即， 所以， 即的值为1． 方法二： 直线方程为，直线的方程为， 令得，， 所以 ． 所以，即的值为1． 方法三： 因为，所以，即， 所以直线的斜率， 同理可得的斜率， 所以， 所以 ． 所以，即的值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高二数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量为（　　）． A. B. C. D. 2. 两平行直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A. 3 B. C. 4 D. 5. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点弦所在直线的斜率为（） A. B. 2 C. D. 7. 在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（　　）． A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　）． A. 任意向量，满足 B. 若三个非零空间向量满足，则有 C. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若空间向量，则在上的投影向量为 10. 已知圆，直线．则（    ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有两个交点 D. 直线与圆相交得到的最短弦长为 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ） A. 若是的中点，则平面 B. 若是的中点，则平面 C. 的最大值是 D. 的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是__________． 13. 已知椭圆左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________． 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为_________，直线l与平面所成角的正弦值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且． （1）求直线和交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程． 16. 如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． （1）用表示； （2）求； （3）求长． 17. 已知圆经过和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程． 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $