专题02 角 13大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学上学期

专题02 角 13大高频考点概览 考点01 角的概念及表示方法 考点02 角度制换算 考点03 角度的四则运算 考点04 角的大小比较 考点05 余角和补角 考点06 方向角 考点07 钟面角 考点08 三角板的角度计算 考点09 角平分线的有关计算 考点10 几何图形中角度计算 考点11 动角问题 考点12 新定义问题 考点13 作图题 地 城 考点01 角的概念及表示方法 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的表示方法，解题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法； 根据角的表示方法，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．顶点O处有一个角，能同时用，，表示，故本选项符合题意； B．顶点O处有四个角，和表示同一个角，不能用表示，故本选项不符合题意； C．顶点O处有三个角，不能用表示，故本选项不符合题意；   D．顶点O处有两个角，不能用表示，和表示得不是同一个角，无，故本选项不符合题意；． 故选：A． 2．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（    ） A．不可以用表示 B．这条射线记作射线 C．与是同一个角 D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线和角的表示方法，根据射线和角的表示方法即可判断求解，掌握射线和角的表示方法是解题的关键． 【详解】解：、不可以用表示，该选项正确，不合题意； 、这条射线记作射线，该选项错误，符合题意； 、与是同一个角，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 3．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末)下列说法正确的是（   ） A．一点确定一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．若，则为的中点 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】本题考查直线，角，线段中点的概念以及线段的性质，解题的关键是准确理解并掌握这些基本的几何概念和性质． 依次分析每个选项，根据直线，角，线段中点的定义以及线段性质来判断对错． 【详解】A、经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，一点无法确定一条直线，该选项错误； B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，缺少“公共端点”这个条件，该选项错误； C、当A，B，C三点不在同一条直线上时，即使，B也不是的中点，该选项错误； D、两点之间，线段最短，这是线段的基本性质，该选项正确． 故选：D． 4．(23-24七上·辽宁沈阳辽中区·期末)下列结论正确的是（　　） A．角是由两条线段组成的图形 B．两点之间直线最短 C．经过，两点只能画一条直线 D．过六边形的每一个顶点能画六条对角线 【答案】C 【分析】本题考查的是角的定义，线段的性质，两点确定一条直线，多边形的对角线，根据以上知识逐一分析判断即可，熟记基本概念与性质是解本题的关键． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故A不符合题意； 两点之间线段最短，故B不符合题意； 经过，两点只能画一条直线，描述正确，故C符合题意； 过六边形的每一个顶点能画三条对角线，故D不符合题意； 故选C 5．(23-24七上·辽宁盘锦盘山县·期末)下列图形中所标识的角，能同时用，，三种方法表示的是（    ）． A．     B．   C．   D．     【答案】D 【分析】本题主要考查了角的表示，掌握角的表示方法是解题的关键． 根据角的表示逐项判断即可． 【详解】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故A选项错误； B、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故B选项错误； C、以O为顶点的角不止一个，不能用表示，故C选项错误； D、能用，，三种方法表示同一个角，故D选项正确．. 故选D． 6．(23-24七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法即可得出结果． 熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故不符合题意； B、也可以用表示，说法错误，故符合题意； C、，说法正确，故不符合题意； D、图中有三个角，，说法正确，故不符合题意； 故选B． 7．(23-24七上·辽宁沈阳辽中区·期末)如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的分类，熟记定义是解本题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，射线平分， ∴， ∴是钝角，是锐角，是直角，不是平角； 故选：D． 地 城 考点02 角度制换算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)将转化为度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度分秒之间的转换， 根据进率为60，将 “度”化为“分”，再将“分”化成“秒”，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期末)下列说法正确的是（    ） A．角的度量中， B．射线的长度为 C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线 【答案】C 【分析】根据角的单位与角度制、射线与直线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、角的度量中，，则此项说法错误，不符题意； B、射线没有长度，则此项说法错误，不符题意； C、经过两点可以画并且只能画一条直线，则此项说法正确，符合题意； D、直线无法延长，则此项说法错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的单位与角度制、射线与直线，熟练掌握角的单位与角度制、以及相关概念是解题关键． 3．(23-24七上·辽宁葫芦岛连山区·期末)用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．利用度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末) °． 【答案】 【分析】本题考查了角度制，熟练掌握换算关系是解题的关键． 先将分转化为度，再将转化后的度数与原来的度数相加即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．(23-24七上·辽宁铁岭银州区第五中学·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度，分，秒之间的转化，根据度，分，秒之间的换算关系，进行计算即可． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 6．(23-24七上·辽宁葫芦岛龙港区实验中学·期末) 度 分 秒． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算，先把化为，再把化为，从而可得答案. 【详解】解： ； 故答案为：，，. 地 城 考点03 角度的四则运算 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末) ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及角的单位的换算，掌握角的度、分、秒的进制是60是解题的关键．根据角的度、分、秒的进制是60进行换算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 2．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末) 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，注意掌握角度之间的换算是60进制，即：，，是解题的关键． 根据角度的计算法则即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 3．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期末)把一个平角7等分，每一份的度数是 ．（精确到分） 【答案】25°43′ 【分析】根据度分秒的除法，可得答案． 【详解】180°÷7≈25°43′， 故答案为：25°43′． 【点睛】本题考查了度分秒的换算．解题的关键是掌握度分秒的换算方法，能够利用度分秒的除法运算是解题关键． 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查有理数的混合运算，度分秒的换算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用度分秒之间的进率计算即可； （2）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及角度的计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把减法统一成加法，再按加法法则计算即可； （2）先算乘方的意义和乘法分配律计算，再算乘法和绝对值，后算加减； （3）从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 地 城 考点04 角的大小比较 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的大小比较，利用角的大小进行比较即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵C点是内部任一点， ∴与的大小无法确定，必大于， 故选：D． 2．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 3．(24-25七上·辽宁丹东·期末)下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】绝对值的非负性判断①②；有理数的乘法法则，绝对值的意义判断③；将转化为度，分，秒的形式，比较大小，判断④． 【详解】解：∵， ∴代数式的最小值是；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：一定是非正数；故②正确； 若，则：或， ∴或；故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，角的大小比较，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4．(23-24七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】将转化为度分的形式，再与比较大小．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 6．(23-24七上·辽宁丹东凤城·期末)如图所示的网格是正方形网格， ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了角度大小的比较，解题的关键是熟练掌握网格特点，得出，． 【详解】解：根据网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 地 城 考点05 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)若锐角的补角是，则锐角的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角．根据余角和补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵锐角的补角是， ∴， ∴锐角α的余角， 故选：B． 2．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)若，则的余角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义：“若两个角的和为，那么这两个角互余”，角的单位与角制度．根据余角的定义得到的余角为，然后把代入计算即可． 【详解】 的余角为：，而， 的余角为：， 故选：A． 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)下列说法不正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．互余两角度数的和等于 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本平面图形的性质应用，根据基本平面图的性质判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，原说法错误，故本选项符合题意； B、两点确定一条直线，原说法正确，故本选项不符合题意； C、互余两角度数的和等于，原说法正确，故本选项不符合题意； D、同角的补角相等，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，角的和差．先根据互为余角的定义求出的度数，再分两种情况讨论：当射线在内部时；当射线在外部时；分别计算求解，即可解题． 【详解】解：因为，与互余， 所以， 当射线在内部时， 则， 当射线在外部时， 则， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 5．(24-25七上·辽宁大连·期末)若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要余角的概念和计算，根据余角的概念“和为的两个角，互为余角”即可求解． 【详解】解：的余角． 故选：． 6．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选C． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)已知，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的概念，角度的运算，根据“如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角”，即可列式计算． 【详解】解：的补角的度数是． 故答案为：． 8．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)已知，则的余角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义和角度的计算，解题的关键是掌握余角的概念以及度分之间的换算． 根据余角的定义，用减去已知角的度数，再进行度分的运算得出结果． 【详解】因为互为余角的两个角的和为，已知，则的余角为． 由于，那么，所以 ． 故答案为： 9．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)若，则的余角 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角与度、分、秒的换算，熟练的掌握余角的定义与度、分、秒的单位换算是解题的关键． 直接利用余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． 10．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)一个角的补角是，这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角的定义直接计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：这个角的度数为， 故答案为：． 11．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，根据互余的两个角的和是计算即可． 【详解】解：若， 则的余角是， 故答案为：． 三、解答题 12．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)如图，点，，在同一条直线上，，平分．从点出发画射线，使得． (1)求的度数； (2)直接写出图中哪些角互为余角． 【答案】(1) (2)与，与，与 【分析】（1）由邻补角求出，再由角平分线定义得到，最后由互余定义求解即可得到答案； （2）根据题中条件，结合图形，数形结合，由互余定义即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， ， ； （2）解： ， ， 与互为余角； ，， ， 与互为余角； 平分， ， 与互为余角． 【点睛】本题考查求角度，涉及平角定义、邻补角定义、角平分线定义、互余定义等知识，数形结合，准确表示出相关角的和差倍分关系是解决问题的关键． 13．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 【答案】(1) (2)平分，证明见解析 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据，即可求出的度数； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解、的度数，再利用（1）中的度数可求的的度数，由即可证明． 【详解】（1）解：∵点为直线上一点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解：由（1）得， ∵与互余， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 14．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)已知，在内部，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若OE平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部作的余角和的余角，试探究，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的计算，余角的定义等知识． （1）根据角的和差计算即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，进而得到，再计算出，即可得到； （3）先根据余角的定义得到，，再计算，根据，即可得到． 【详解】（1）解：因为，，， 所以； （2）解：因为OE平分，所以， 所以． 又因为， 所以； （3）解：由题意得，， 所以 ， 又因为， 所以． 地 城 考点06 方向角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁铁岭第六中学·期末)如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算和方位角的知识，掌握以上知识是解题的关键； 根据方位角的知识，进行作答，即可求解 【详解】解：在正北，正东和正西的方向上分别标上字母、和，如图： ， ∵A地在灯塔O的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， 即地在灯塔的南偏东方向上； 故选：B； 2．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，的方向是北偏东，为北偏东，若平分，则的方向是（    ） A．北偏西 B．西北方向 C．西偏北 D．东北方向 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质得到的度数，最后结合的方向求出的方向．本题主要考查了方位角以及角平分线的定义，熟练掌握方位角的表示方法和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的方向是北偏东，为北偏东， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∵的方向是北偏东， ∴的方向是北偏西，即西北方向． 故选：B． 3．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（      ）    A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查方向角的定义．由题中所给条件，利用互余定义求解出即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    是北偏东方向的一条射线， ， 若射线与射线所夹的角是， ， ，即的方向角是北偏西， 故选：A． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了方向角，关键是掌握方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图，    ∵在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船在南偏东的方向， ∴， ∴， 故答案是：． 5．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，某市有三个中学A，B，O．中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，方向角，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，点A在点O北偏东方向上，点B在点O北偏西方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的运算．先根据题意得出，，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵点A在点O北偏东方向上，点B在点O北偏西方向上， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 7．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)三个海上观测站的位置如图所示，在同一直线上，在灯塔的北偏西方向上，在灯塔的正北方向上，则的度数是 ． 【答案】145 【分析】本题主要考查了方位角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据平角的定义结合方位角的描述计算求解即可． 【详解】解：∵在灯塔的北偏西方向上，在灯塔的正北方向上， ∴， ∵在同一直线上， ∴， 故答案为：145． 8．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的度数为 ． 【答案】/141度 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数． 利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：如图： ∵A在北偏西， ∴， ∴， ∵B在南偏东， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，为北偏东的方向，为南偏东的方向，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了方向角，正确理解方位角的定义是解题关键． 根据方位角的定义可得，然后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵为北偏东的方向，为南偏东的方向， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是 ．    【答案】/105度 【分析】根据方向角的定义即可作出判断． 【详解】解：如图，    由题意，得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边． 三、解答题 11．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)①南偏东；②见解析； (2)见解析 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）①根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； ②根据互为补角的定义进行解答即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ∵，， ∴， ∴射线的方向为南偏东， 故答案为：南偏东； ②，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即. ， ． 12．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向． (2)求的度数． (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题考查方向角的概念以及角度的计算和角平分线的性质，解题的关键是理解方向角的含义，能正确根据已知条件进行角度的运算． （1）已知射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，可得出和的度数．通过两角相加求出的度数，再结合，计算出的度数； （2）已知的度数和，可算出的度数．因为射线是的反向延长线，根据平角的性质，用减去的度数，就能得出的度数； （3）已知射线平分，根据角平分线的性质，可求出的度数．再结合，通过两角相加得出的度数． 【详解】（1）解：射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，， ， ， ， ， 射线的方向为北偏东． （2）解： ，， ， 又射线是的反向延长线， ， ． （3）解： ，平分， ， ， ． 地 城 考点07 钟面角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键． 根据分针每分钟转了，时针每分钟转了即可求解； 【详解】解：分针每分钟转了， 时针每小时转了， 时针每分钟转了， 图中显示的时刻为，当经过分钟后时间为， 此时时针所形成的角度为：， 分针所形成的角度为：， 则分针与时针所形成的角度为：， 故选：D 2．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)时钟显示的是午后两点半时，时针和分针所夹的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，掌握每份的度数乘以时针与分针相距的份数是解题关键． 根据钟面平均分成12份，可得每份是，进而可以得出时针所走的份数，然后根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解： ， ∴时钟显示的是午后两点半时，时针和分针所夹的角为． 故选：A 3．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列说法错误的是（  ） A．绝对值最小的有理数是0 B．n边形（）从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个n边形分成了个三角形 C．北京时间上午9点30分，时针与分针的夹角为 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“经过两点有且只有一条直线” 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线，绝对值，直线的性质，钟面角，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．利用多边形对角线的性质，绝对值的定义，直线的性质，钟面角的计算方法逐项判断即可． 【详解】解：绝对值最小的有理数是0，正确，则A不符合题意； n边形（）从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个n边形分成了个三角形，正确，则B不符合题意； 北京时间上午9点30分，时针与分针的夹角为，原说法错误，则C符合题意； 用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“经过两点有且只有一条直线”，正确，则D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)当时间为3点40分时，钟表上的时针与分针所成角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，40分时分针指向数字8，求出此时分针与数字12的夹角（大于180度的角），再求出时针此时与数字12的夹角，二者相减即可得到答案． 【详解】解：， ∴时间为3点40分时，钟表上的时针与分针所成角的度数是 ， 故答案为：． 5．(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期末)8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 【答案】 【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上8点30分时，时针和分针之间相差个大格，用，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是， ∴8点30分时，时针和分针所夹的角是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为． 6．(23-24七上·辽宁鞍山·期末)如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是 ． 【答案】/60度 【分析】根据钟面分成个大格，每格的度数为即可解答． 【详解】解：∵钟面分成个大格，每格的度数为， ∴钟表上点整时，时针与分针之间是个大格，所成的角是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键． 三、解答题 7．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 8．(23-24七上·辽宁沈阳和平区·期末)钟面上的数学 【基础知识】 钟表上，时针每小时转动的角度是． （1）时针每分钟转动的角度是，等于多少分？等于多少秒？ 【问题初探】 （2）在某一天的5点到6点之间（包括5点整和6点整），假设这一时刻是5点分． ①求时针和分针重合时的值； ②求用含有的代数式表示时针与分针的夹角． 【类比分析】 （3）小明17点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是当天17点多钟，且时针和分针的夹角还是，求小明做作业用了多少分钟． 【学以致用】 （4）在某一天5点15分到5点16分之间，当秒针是时针和分针的角平分线时，请求出此时的时间． 【答案】（1）分，秒；（2），或；（3）分；（4）5点15分秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角以及列代数式表示式. （1）根据分秒的转化进率求解即可． （2）①根据题意，列出关于的一元一次方程即可求解． ②分两种情况，当分针没有超过时针时和当分针超过了时针时求解即可． （3）设小明开始写作业的时间是17点分， 设小明写完作业的时间是17点分，分别计算出a，b的值，然后相减即可． （4）设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为5点15分秒，列出关于的一元一次方程解题即可． 【详解】（1）分，秒； （2）① 解得：； ②当分针没有超过时针时， 夹角为 当分针超过了时针时， 夹角为 综上所述，时针和分针的夹角为或 （3）设小明开始写作业的时间是17点分， 根据题意得：， 解得：， 设小明写完作业的时间是17点分， 根据题意得：， 解得：， 完成作业的时间为分； （4）设当秒针是时针和分针的角平分线时时间为5点15分秒， 根据题意得：， 解得：， 故此刻的时间是：5点15分秒． 地 城 考点08 三角板的角度计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)利用三角板工具画角很方便，但是只能画出一些特殊的角，下列角度不能用一副三角板（不再用其他工具）画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与三角板有关的角度的计算，结合一副三角板中的角度有、、、计算即可得解． 【详解】解：∵一副三角板中的角度有、、、， ∴，，， 故不能得到， 故选：D． 2．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由图形可得两角互余，不合题意；B选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；C选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；D选项，由图形得出两角的关系，即可做出判断． 【详解】解：A、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意； B、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°﹣45°＝45°，符合题意； C、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意； D、由图形得：90°﹣∠β＝60°﹣∠α，即∠α+30°＝∠β，不合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质. 3．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用与的度数求出，再结合的度数，通过角的和差关系求出． 【详解】， ， ， ． 故选：B． 4．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误； B、∠α与∠β不互余，故本选项错误； C、∠α与∠β互余，故本选项正确； D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 5．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题； 根据三角尺的度数结合角的和差运算逐项判断即可． 【详解】解：A.，故能用三角尺画出，不符合题意； B.，故能用三角尺画出，不符合题意； C.不能用三角尺画出，符合题意； D.能用三角尺画出，不符合题意； 故选：C． 6．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 7．(24-25七·辽宁沈阳·期末)将一副三角板如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点，此时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角的计算，解题的关键是根据两个角之间的数量关系来解答．根据，，即可推出，再根据即可求出的度数，便能求出的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，根据图形正确列式并进行度分秒的计算是解题的关键． 根据先求出的度数，然后根据即可求出的大小． 【详解】解：由题意可得： ， ， 故选：． 9．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，利用三角板中的角度和差关系先求出，进而求出即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，其中一块三角板的锐角顶点与另一块三角板的直角顶点重合，且都在直尺边上的点处，若平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差以及角平分线的定义，由题意得，，则，根据角平分线的定义可得，最后用角度和差即可求解，熟练掌握角平分线的定义及角的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．(24-25七上·辽宁本溪·期末)如图小明将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若与垂直，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形内角和定理及外角性质是正确解决本题的关键． 由与垂直可求得，再根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)将一副三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，若，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据三角板的各个角的度数，以及角平分线的意义，利用平角以及角的和与差求出答案． 【详解】解：设三角板绕点P沿顺时针方向旋转的角度为， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 故答案为：15． 【点睛】考查角平分线的意义，平角以及三角板的各个特殊锐角的关系等知识，把握各个角之间的关系是得出答案的前提． 三、解答题 14．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时_______； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图3，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角的和差即可求解； （2）利用角平分线的定义得到，再利用角的和差即可解答； （3）设，则有，利用列出方程求出的值，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：． （2）解：由题意得：，， 是的平分线， ， ． （3）解：设， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， ． 地 城 考点09 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、两角互余等知识点，先利用角平分线的定义求出的度数，再利用角的和差及互余关系求出度数． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴ ． 故选：C． 2．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 3．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)如图，，射线在外，若平分，平分，则 ． 【答案】111 【分析】本题考查了角平分线的定义以及有关角的计算．先根据周角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出，，最后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：111． 5．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 【答案】/77度 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，进而求出，再由平角的定义求出，则由角平分线的定义可得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵是直角，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 6．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，点在直线上，平分，射线在内部，，设，则 （用含的代数式表示）。 【答案】/ 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 根据角平分线的定义和平角的定义，可以用含的代数式表示. 【详解】， ， ， ， 平分， ， 故答案为：. 7．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】直接利用角平分线的定义，余角与补角的定义逐个结论分析验证即可． 【详解】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即∠COE与∠AOE互补，故②正确； 若OC平分∠BOD，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴∠BOE的余角可表示为，故④正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及余角与补角，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键． 8．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)如图，已知，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，若是的平分线，则①；② ；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故答案为：③④． 三、解答题 10．(24-25七上·辽宁锦州·期末)【问题情境】 如图1，，在内部作射线（不与重合），射线，分别平分和． 【特例感知】 （1）若，，求的度数； 【猜想验证】 （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）小张同学由此受到启发，对问题进行了深入思考，提出了如下问题： 如图2，，在内部作（不与重合），射线，分别平分和．若，求的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． （1）先求得，再利用角平分线的定义计算即可求解； （2）利用角平分线的定义计算即可求解； （3）利用角平分线的定义求得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为射线和射线分别平分和， 所以，． 所以； （2）解：猜想． 因为射线和射线分别平分和， 所以，． 所以； （3）解：因为射线和射线分别平分和， 所以，， 所以， 所以． 11．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)（1）如图1，线段，，，请用尺规按要求作图：延长线段到点，使，反向延长线段到点，使．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若为的中点，求线段的长． （3）如图2，线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． ①当线段在线段上运动时，试判断线段的长是否发生变化？如果不变，请求出线段的长；如果变化，请说明理由． ②我们发现角的很多规律和线段一样．如图3，在内部转动，射线，分别平分和，若，．求的度数． ③请你猜想在图3中，和三个角有怎样的数量关系，并直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①线段的长度不变，；②③ 【分析】（1）根据题意用尺规按要求作线段，即可求解； （2）根据（1）可得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解； （3）①已知，需求．由E，F分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； ②由，分别平分和，得，，进而解决此题． ③根据②的方法，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， ∵，，， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴； （3）①解：不变，理由如下： ∵，分别是，的中点， ∴，． ∴． ∴， 又∵，， ∴． ②解：∵，分别平分和， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ③由②得：． ∵， ∴． ∴ 【点睛】本题考查了作线段，线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，熟练掌握线段的中点，角的平分线的定义是解题的关键． 12．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期末)已知：点在直线上，过点在直线上方作射线，，，且． (1)如图1，当平分时，请判断是否平分？并说明理由； (2)将绕点顺时针旋转， ①如图2，当平分时，判断与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由； ②如图3，当在的内部，且时，判断与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由； ③如图4，当与射线重合时，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①，理由见解析；②，理由见解析；③的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义、代数式的应用，熟练掌握角平分线的定义，学会通过列代数式找出数量关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，利用平角的定义和得到，通过等量代换即可得出结论； （2）①根据角平分线的定义得到，设，利用角的和差表示出、，即可得出数量关系；②设，利用角的和差表示出、，即可得出数量关系；③根据角平分线的定义得到，，再利用角的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 平分， ， ， ，， ， ， 平分． （2）解：①，理由如下： 平分， ， 设，则， ，， ； ②，理由如下： 设， ，， ； ③由题意得，， 平分，平分， ，， ， ， 的度数为． 13．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)点O是直线上的点，，射线是的平分线． (1)位置如图1时，用等式与的数量关系，并说明理由； (2)位置如图2时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出你得到的结论，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】（1）由题意知，，设，则，，可得，，进而可得与的关系； （2）同（1）分别用含的代数式表示出，，然后通过加法运算求二者的关系即可； 【详解】（1）解：，理由如下： ∵射线是的平分线， ∴， 设，则，， ∴，， ∴； （2）解：不成立，，理由如下： ∵射线是的平分线， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，与余角、补角有关的计算等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 14．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由 ，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 15．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)已知与共顶点O，点A，O，C在一条直线上，，为的平分线，为的平分线． (1)填空：______． (2)如图1，当重合时，求的度数． (3)如图2，当时，若，求的度数． (4)如图3，当时，与之间有怎样的数量关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和与差的计算． （1）利用平角的定义即可求解； （2）利用角平分线的定义即可求解； （3）先求得， ，，再利用角平分线的定义结合平角的定义即可求解； （4）设，则，，，同（3）的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，O，C在一条直线上， ∴， 故答案为：； （2）解：当重合时， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ； （4）解：．理由如下， 设，则， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ． 16．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）①；；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；②结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得 ，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，根据图形用表示出和，根据列式求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； ②； 故答案为：； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，∴，， ∵平分，平分， ∴     ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 17．(24-25七上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)[问题初探] 数学活动课上，李老师将一副三角尺按图1所示位置摆放．分别作出，的平分线，．然后提出问题：求的度数．                  图1                      图2                      图3                 图4 (1)①“智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，和仍然是，的平分线，和在同一直线上．分别计算出图2，图3中的度数，发现 的度数均为 　 　． ②探究完图2，图3所示的特殊位置问题后，“智慧小组”的同学猜想出图1中的度数应该与图2，图3中 的度数相同．他们经过合作交流后发现，在图2，图3中 和的度数都已知或能求出具体的度数，但图1中，和求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数．如果设，则可以用含的式子表示和，然后利用角的和与差，就能求出的度数．请你根据“智慧小组”的思路，求出图1中的度数． [类比分析] (2)受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出，的平分线，．他们认为利用同样方法也能求出的度数．请你求出的度数． [学以致用] (3)如图5，已知点在线段上，．点在线段上，点在线段延长线上，且，若，求的值． 图5 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，角的和差，两点间的距离．正确地识别图形是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义和直角三角形的性质即可得到结论； ②设，得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）设，根据角的和差得到，，据角平分线的定义即可得到结论； （3）设，，得到，设，求得，解方程得到，于是得到结论． 【详解】（1）①如图2，， 和是，的平分线， ，， ； 如图3，， 和是，的平分线， ，， ； 故答案为：30； ②设， ， 和是，的平分线， ，， ； （2）设， ，， ，的平分线为，， ，， ； （3）， 设，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点10 几何图形中角度计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁丹东·期末)已知，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面内角的运算，根据射线OC的位置不同，分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论，一是在内部，二是在外部，利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论， ①当在内部时，如图1， ∵， ∴； ②当在外部时，如图2， ∵， ∴， 综上可知，为或． 故选C． 2．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，根据余角的性质，角平分线的定义，对五个结论逐一进行判断即可． 【详解】①∵， ∴， ∴， 故正确； ⑤∵,,， ∴， ∴的平分线与的平分线是同一条射线 故正确； 故选B. 4．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)已知，是可绕点旋转的动射线，当时，则的度数是(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了角度的和差计算，分当在的内部和外部两种情况，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：当在的内部时，； 当在的外部时，， 所以的度数为或． 故选：C． 5．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 由，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，长方形纸片，为边的中点将纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，若，则∠（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠的性质，角平分线的性质，根据图示，折叠可得，再根据平角的性质即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，则，，三个角的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角度之间的计算，根据正方形的性质得到角度之间的关系，做加减运算即可找到关系． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 则． 故答案为：． 8．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是采用分类讨论的数学思想． 先根据比值求出的度数，再分情况求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 9．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，然后根据长方形的性质及角的运算可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则 度． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题 11．(24-25七上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知：直线于点O，如图①．射线在直线上方，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点A、B、D； ②以点D为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点E和点F（点E和点F分别在直线左侧和右侧）； ③作射线和． (1)如图②，当射线在内部时， ①若，则 °； ②求的度数； (2)当时，设的度数为x，求x的值． 【答案】(1)①20；② (2)或 【分析】本题考查作图﹣基本作图，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①由作图可知，再根据可得结论； ②证明即可； （2）分两种情况，根据，构建方程求解． 【详解】（1）解：①由作图可知， ∵， ∴， ∴． ②由作图可知， ∴； （2）解：由作图可知， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当射线在内部时，同法可得； 综上，x的值为或. 12．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 13．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据求出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数． （2）先根据表示出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据平角的定义即可求出的度数 （3）设，将和用含有的式子表示出来，即可得到和的关系． 本题主要考查角的计算，角平分线的计算，角的和差，解题的关键是根据题目当中所给的信息建立各个角之间的关系． 【详解】（1）∵，， ∴． 平分， ， ． ， ． 故答案为：， （2）∵，， ． 平分， ， ． （3）设， ∵， ．                          平分， ， ， ， ， ． 14．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解； （2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解； （3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到，． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 15．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的判定，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握角的和差运算． （1）先求出的度数，再求出的度数即可得出结论； （2）假设，利用，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴是的角平分线； （2）解：假设，则，根据题意得， , 即， 解得， ∴的度数为． 16．(24-25七上·辽宁大连·期末)如图，点A、O、B在同一条直线上，为直角，且在直线的上方，将绕点O旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线． (1)当时，求的度数﹔ (2)若恰好将分成了的两个角，求此时的度数． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形并且运用好有关性质准确计算角的和差倍分是解题的关键． （1）利用平角的定义求得，利用角平分线的性质求得，再利用余角的性质即可求得结果； （2）分：①；②；两种情况讨论，利用平角的定义和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴； （2）∵恰好将分成了的两个角， ∴有两种情况：①；②； ①如答图1，当时， 设， 则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②如答图2，当时， 设， 则， ∵ ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述或． 17．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）． 【知识储备】 我们在第四章《基本平面图形》中学习了角的平分线，用折纸的方法作角平分线． 如图1，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【问题情境】 动手折叠一张正方形纸片，点E在边上，点F，G分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图2，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是______； （2）如图3，若点落在上，点落在上，则的度数是______； 【问题再探】 （3）若，则的度数是______；（用含的代数式表示） 【问题深探】 （4）若连接，，，且射线，射线，射线都与正方形的边相交．射线，射线，射线，这三条射线中的一条射线是其余两条射线所组成角的角平分线．请画出图形并求出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）或（4）或或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，正方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． (1)根据折叠可得，即可求解； (2)根据折叠可得，进而即可求解； (3)分两种情况：先表示出的度数，再根据 和进行求解即可； (4)分别将射线，射线，射线作为角平分线进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得:，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， ， 由(3)①知，， 当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， ， 由(3)②知，， 如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， 由(3)①知，， 如图，当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， 由(3)②知，， 如图，当射线为角平分线时，当与不重叠时， ，， ， ， 由(3)①知，， 如图，当射线为角平分线时，当与重叠时， ，， ， ， 由(3)②知，， 综上所述：的度数为或或． 18．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)（1）如图1，已知，求的度数． （2）如图2，已知，射线在内部，射线在所在平面上，由三条射线得到三个角，分别为，，．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍． ①当，且射线在内部时，求的度数； ②当且射线在外部时，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．（本题中所研究的角都是小于等于的角） 【答案】（1）；（2）①或；②或或或 【分析】本题是有关角的计算，考查了角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． （1）根据，，即可求解； （2）①分类讨论，当或时，当时，分别按照角度的和差计算求解； ②分类讨论，按照在左侧和在下方，根据题意，分别按照角度的和差计算求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）①如图： 当或时， 此时平分， ∴， ∴； 当时， 此时， ∴， ∵，， ∴， 综上所述：的度数为或； ②当在左侧，如图： 当， ∴， ∴； 当， ∴， ∴； 当， ∴； 当在下方时，如图， 此时只能是， ∴， ∴， 综上所述：的度数为：或或或． 地 城 考点11 动角问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图1，射线上有A，B两点，，．一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点A按顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停；接着，射线开始绕点B按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为/秒（）． (1)的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °； (2)当射线与所在直线第一次重合（从开始旋转后算起）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，请求出当t为多少秒时，所在直线与所在直线之间的夹角为？（在数学中，两条直线相交所形成的最小正角称为这两条直线的夹角．） 【答案】(1)48， (2)点P是的中点；理由见解析 (3)t的值为：14、22、24、34 【分析】本题考查了线段的和差和角的和差，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据线段的和差和角的和差求解； （2）先计算出射线与所在直线第一次重合的时间，再根据线段的中点的定义求解； （3）先算出所在直线与所在直线之间的夹角为时所需要的时间，再算出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点P到达点B时所需要的时间为：， 此时旋转的角度为：， ∴， 故答案为：48，； （2）解：点P是的中点； 理由：当（从开始旋转后算起）时所需要的时间为：， 此时， ∴， ∴点P是的中点； （3）解：设射线旋转的时间为， 当旋转、、、时，所在直线与所在直线之间的夹角为， ∴ 或或或， ∴x的值为：2、10、12、22， ∴t的值为：14、22、24、34． 2．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的． 【问题初探】 （1）如图，射线在内部，，求的度数． 【操作探究】 （2）如图，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转：其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）①，② 【分析】本题主要考查角度的和差运算，一元一次方程的应用，角平分线得性质，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题的关键． （1）根据，进行求解即可． （2）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可； （3）根据不同时间，运动的位置的不同，利用角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵射线在内部，，， ∴， 当和第一次重合时： ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴，则， 当和重合时，，即，解得， 当到达时，即，此时， 当和第二次重合时： 由题意得，， ∴， ∵， ∴，解得， 当和停止运动时，，即， 以这几个截点展开进行分类讨论： 当时： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得． 综上所述，为或或或． （3）①∵以点每秒旋转的速度逆时针旋转，， ∴当到达时，即，此时， 当时： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 当时： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述，． ②当时： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 4．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 5．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板按如图1所示的方式摆放，边与在同一条直线上（点与点重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为 ． (1)当为何值时，与互余？ (2)当为何值时，平分？ 【答案】(1)当或时，与互余 (2)当时，平分 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义， （1）根据当与互余时，，分类讨论，当在的外部时，当在的内部时，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； 【详解】（1）解：当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为． ∴即， ∵ ∴当与互余时， 当在的外部时，， ∴ 解得： 当在的内部时， ∴ 解得： 综上所述：或时，与互余 （2）解：如图， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当时，平分． 地 城 考点12 新定义问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)【问题探究】 在数学的几何世界里，我们常常会遇到一些具有特殊关系的图形元素．其中，在同一条直线上，有一个公共端点的两条线段被定义为“共端点线段”． 例如：如图1，和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”． （1）当两个“共端点线段”的长度分别为6和4时，它们非共端点的两个点间的线段的长度为____________； 【类比迁移】 （2）类比上述过程，在同一平面内，把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．已知和是一组“共边角” ①若，则的度数为___________； ②如图2，若是和的角平分线，求的度数（结果用和表示），请画出图形并完成解答过程； 【综合运用】 （3）如图3，已知，射线按顺时针方向以秒的速度旋转至，按顺时针方向以/秒的速度旋转至，设旋转时间为，且为的角平分线，为的角平分线，当时，直接写出的值． 【答案】（1）2或10；（2）①或；②或，见解析；（3）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的和差计算，角的和差计算，找到相等关系和理解分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）①根据角的和差求解即可； ②分类讨论，根据角的和差求解即可； （3）先求出与重合时和与重合时需要得时间，分类讨论，根据角的和差求解． 【详解】解：（1）根据题意：线段的长度为或， 故答案为：2或10． （2）①根据题意：的度数为或， 故答案为：80或35． ②当在内部时，如图2： 是和的角平分线， ，， ； 当在外部时，如备用图： 是和的角平分线， ，， ； 综上，的度数为或． （3）当与重合时，， 解得：， 当与重合时，， 解得：， 当时，，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， 当时，， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，如备用图： ，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， ∴， 解得：， 的值为5或20． 2．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4)在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 【答案】(1)点表示的数是2； (2)的值为或； (3)①；②10； (4)，，， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，新定义的问题，掌握角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据“倍距点”的定义，设点表示的数为，列方程求解即可； （2）在点运动的过程中，点表示的数为．分情况讨论，①当点在点，点之间时，②当点在点右侧时，列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义和“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； （4）根据“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点在点，点之间，点是点的“倍距点”，， 解得， 点表示的数是2； （2）解：在点运动的过程中，点表示的数为． ①当点在点，点之间时， 点是点的“倍距点”， ， 解得； ②当点在点右侧时， 点是点的“倍距点”， ， 解得． 综上所述，的值为或． （3）解：①，平分， ， 射线是射线的“倍角线”， ， ， ②射线是射线的“倍角线”， ， ， ， ， 的值为10； （4）解：如图1，是射线的“倍角线”时， ，则，此时和重合， ， ；    如图2，当是射线的“倍角线”时，， ， ， ；    如图3，当是射线的“倍角线”时，， ， ；    如图4，当是射线的“倍角线”时，， ， ．    答：的值为，，，． 3．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①，②或24 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到，再利用角度的和差关系求出的度数即可； （3）①根据新定义结合角的和差关系推出，再根据，进行求解即可； ②根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴射线不是或的完美倍分线； 故答案为：不是； （2）∵射线是的完美倍分线，， ∴， ∴； （3）①由题意，得：， 当重合时，，， ∴当时，在的上方， ∴， ∵在内部，且射线是的完美倍分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点的运动时间为：秒； 当时，，则：， 解得：； 当时，，则：， 解得：； 综上：的值为或24． 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 【答案】（1）或；（2）的度数不会随的变化而变化，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用等知识点，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据动轴分线的定义求解即可； （2）根据是平角，以及动轴分线定义，得出，从而得出，即可求解． （3）根据为的动轴分线，分为①当时和②当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的动轴分线， 则或， 则，或， 故答案为：或； （2）解：的度数不会随的变化而变化． 理由如下：∵是平角， ， ∵分别是和的动轴分线，且， ， ， ， ， ∴的度数不会随的变化而变化． （3）解：为的动轴分线， ①当时，． 即， 解得：符合题意； ②当时，． 即， 解得：，符合题意； 综上所述，当或时，为的动轴分线． 5．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 6．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 7．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不会发生变化，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可； ②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1）解： ，为的分位线，且； ，， ， ； 故答案为：； （2）解：① ，分别为与的分位线，（，） ，， ， ， ，， ， ， ； ②不变； ，分别为与的分位线，（，）， ，， ； 若，的度数不会改变； （3）解：根据题意作图，如图所示， 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设， 则，， ∵点、、在同一条直线上， ， ， 解得； ∴； 的度数为或． 地 城 考点13 作图题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)已知，是的角平分线． (1)在图中以为边作（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)结合所作图形求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)的度数为或． 【分析】（）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （）根据作图的两种情况，由角平分线的定义和角度和差即可求解； 本题考查了尺规作图——一个角等于已知角，角平分线的定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，当在下方时， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，的长度为半径画弧，交弧于点； 连接， ∴即为所求； 如图，当在上方时， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，的长度为半径画弧，交弧于点； 连接， 按照上面步骤作出， ∴即为所求； （2）如图，当在下方时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在上方时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； 综上可知：的度数为或． 2．(24-25七上·辽宁锦州·期末)如图，平面上有三个点．请利用尺规，按下列要求作图．（不写作法和结论，保留作图痕迹） (1)作射线，线段； (2)在的上方作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，作一个角等于已知角等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据射线，线段的定义画出图形； （2）根据作一个角等于已知角的方法作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 3．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)如图，平面内有三点，，，请阅读下列语句并选择合适的画图工具按要求画图．          (1)画直线； (2)画射线； (3)连接； (4)尺规作图：在射线上作线段，使得；（保留作图痕迹） (5)按照上北下南、左西右东的规定，画出北偏西方向的射线； (6)连接，度量的度数，并直接写出你度量的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 (6)见解析， 【分析】本题主要考查了画射线，画线段，量角器量角度，熟知射线和线段的画法是解题的关键． （1）根据直线的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）根据线段连接作图即可； （4）根据线段的尺规作图方法作图即可； （5）根据上北下南、左西右东的规定，用量角器量出对应的角度即可． （6）连接，然后度量的度数即可； 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： （2）根据题意，作图如下： （3）根据题意，作图如下： （4）解：根据题意，线段即为所作，作图如下： （5）解：根据题意，射线即为所作，作图如下： （6）解：根据题意，作图如下： 经过测量可得； 4．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)． 【分析】本题考查的是方位角的画法，解题的关键是熟知方向角的描述方法， （1）据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置． （2）运用量角器测量即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：作，，两射线相交于P点，则点P即为所求． （2）解：使用量角器，将量角器的中心与点重合，0刻度线与重合，读出所对应的刻度，测量可得． 5．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，平面上有四个点． (1)根据下列语句画图： ①画射线； ②画直线与线段相交于点； (2)在图中以为顶点的角中． ①请写出的所有补角； ②若，直接写出它的余角的度数． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)①的补角为  ② 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，邻补角的含义，余角的含义； （1）①根据射线的含义画图即可；②根据直线，线段的含义画图即可； （2）①根据邻补角的定义可得答案；②根据余角的含义可得答案． 【详解】（1）解：①如图，射线即为所求， ②直线与线段相交于点如图所示： ； （2）解：①的补角为； ②∵， ∴的余角为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角 13大高频考点概览 考点01 角的概念及表示方法 考点02 角度制换算 考点03 角度的四则运算 考点04 角的大小比较 考点05 余角和补角 考点06 方向角 考点07 钟面角 考点08 三角板的角度计算 考点09 角平分线的有关计算 考点10 几何图形中角度计算 考点11 动角问题 考点12 新定义问题 考点13 作图题 地 城 考点01 角的概念及表示方法 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)下列图形中，能用，，表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（    ） A．不可以用表示 B．这条射线记作射线 C．与是同一个角 D． 3．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末)下列说法正确的是（   ） A．一点确定一条直线 B．两条射线组成的图形叫角 C．若，则为的中点 D．两点之间线段最短 4．(23-24七上·辽宁沈阳辽中区·期末)下列结论正确的是（　　） A．角是由两条线段组成的图形 B．两点之间直线最短 C．经过，两点只能画一条直线 D．过六边形的每一个顶点能画六条对角线 5．(23-24七上·辽宁盘锦盘山县·期末)下列图形中所标识的角，能同时用，，三种方法表示的是（    ）． A．     B．   C．   D．     6．(23-24七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角，， 7．(23-24七上·辽宁沈阳辽中区·期末)如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 地 城 考点02 角度制换算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁辽阳·期末)将转化为度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期末)下列说法正确的是（    ） A．角的度量中， B．射线的长度为 C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线 3．(23-24七上·辽宁葫芦岛连山区·期末)用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末) °． 5．(23-24七上·辽宁铁岭银州区第五中学·期末)计算： ． 6．(23-24七上·辽宁葫芦岛龙港区实验中学·期末) 度 分 秒． 地 城 考点03 角度的四则运算 一、填空题 1．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末) ． 2．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末) 3．(24-25七上·辽宁大连甘井子区·期末)把一个平角7等分，每一份的度数是 ．（精确到分） 二、解答题 4．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)计算： (1)； (2)． 5．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)计算： (1)； (2)； (3)． 地 城 考点04 角的大小比较 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)在小于平角的的内部取一点，并做射线，则一定有（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁丹东·期末)下列说法正确的个数有（   ） ①代数式的最小值是；②若，则一定是非正数；③若，则式子的化简结果为2；④若，，则 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．(23-24七上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期末)如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 6．(23-24七上·辽宁丹东凤城·期末)如图所示的网格是正方形网格， ．（填“”“”或“”） 地 城 考点05 余角和补角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)若锐角的补角是，则锐角的余角是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)若，则的余角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)下列说法不正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．互余两角度数的和等于 D．同角的补角相等 4．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，射线的端点O在直线上，，点D在平面内，与互余，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 5．(24-25七上·辽宁大连·期末)若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)已知，则的补角的度数是 ． 8．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)已知，则的余角的度数是 ． 9．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)若，则的余角 ． 10．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)一个角的补角是，这个角的度数为 ． 11．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)若，则的余角为 ． 三、解答题 12．(24-25七上·辽宁大连中山区·期末)如图，点，，在同一条直线上，，平分．从点出发画射线，使得． (1)求的度数； (2)直接写出图中哪些角互为余角． 13．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，点为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若射线在直线上方，且与互余，求证：平分． 14．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)已知，在内部，且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若OE平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部作的余角和的余角，试探究，和之间的数量关系． 地 城 考点06 方向角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁铁岭第六中学·期末)如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 2．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，的方向是北偏东，为北偏东，若平分，则的方向是（    ） A．北偏西 B．西北方向 C．西偏北 D．东北方向 3．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（      ）    A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么 ．    5．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，某市有三个中学A，B，O．中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 6．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，点A在点O北偏东方向上，点B在点O北偏西方向上，则的度数是 ． 7．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)三个海上观测站的位置如图所示，在同一直线上，在灯塔的北偏西方向上，在灯塔的正北方向上，则的度数是 ． 8．(24-25七上·辽宁抚顺东洲区·期末)如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的度数为 ． 9．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，为北偏东的方向，为南偏东的方向，则 ． 10．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是 ．    三、解答题 11．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 12．(24-25七上·辽宁沈阳法库县·期末)如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向． (2)求的度数． (3)若射线平分，求的度数． 地 城 考点07 钟面角 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)时钟显示的是午后两点半时，时针和分针所夹的角为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)下列说法错误的是（  ） A．绝对值最小的有理数是0 B．n边形（）从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出条对角线，这些对角线把这个n边形分成了个三角形 C．北京时间上午9点30分，时针与分针的夹角为 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“经过两点有且只有一条直线” 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁阜新实验中学·期末)当时间为3点40分时，钟表上的时针与分针所成角的度数是 ． 5．(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期末)8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为 度． 6．(23-24七上·辽宁鞍山·期末)如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是 ． 三、解答题 7．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    8．(23-24七上·辽宁沈阳和平区·期末)钟面上的数学 【基础知识】 钟表上，时针每小时转动的角度是． （1）时针每分钟转动的角度是，等于多少分？等于多少秒？ 【问题初探】 （2）在某一天的5点到6点之间（包括5点整和6点整），假设这一时刻是5点分． ①求时针和分针重合时的值； ②求用含有的代数式表示时针与分针的夹角． 【类比分析】 （3）小明17点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是当天17点多钟，且时针和分针的夹角还是，求小明做作业用了多少分钟． 【学以致用】 （4）在某一天5点15分到5点16分之间，当秒针是时针和分针的角平分线时，请求出此时的时间． 地 城 考点08 三角板的角度计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁铁岭铁岭县·期末)利用三角板工具画角很方便，但是只能画出一些特殊的角，下列角度不能用一副三角板（不再用其他工具）画出的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图，用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(24-25七·辽宁沈阳·期末)将一副三角板如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点，此时，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)如图，将一个三角板的角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上，其中一块三角板的锐角顶点与另一块三角板的直角顶点重合，且都在直尺边上的点处，若平分，且，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．(24-25七上·辽宁本溪·期末)如图小明将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若与垂直，则的度数为 ． 12．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)将一副三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，若，则 ．    13．(24-25七上·辽宁丹东凤城·期末)将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．    三、解答题 14．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．    (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时_______； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图3，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 地 城 考点09 角平分线的有关计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 二、填空题 4．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期末)如图，，射线在外，若平分，平分，则 ． 5．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 6．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)如图，点在直线上，平分，射线在内部，，设，则 （用含的代数式表示）。 7．(24-25七上·辽宁抚顺新宾县·期末)如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是 ．（只填序号） 8．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)如图，已知，平分，且，则 ． 9．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图，若是的平分线，则①；② ；③；④．正确的是 ．(请填写序号) 三、解答题 10．(24-25七上·辽宁锦州·期末)【问题情境】 如图1，，在内部作射线（不与重合），射线，分别平分和． 【特例感知】 （1）若，，求的度数； 【猜想验证】 （2）猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）小张同学由此受到启发，对问题进行了深入思考，提出了如下问题： 如图2，，在内部作（不与重合），射线，分别平分和．若，求的度数（用含，的代数式表示）． 11．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)（1）如图1，线段，，，请用尺规按要求作图：延长线段到点，使，反向延长线段到点，使．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若为的中点，求线段的长． （3）如图2，线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． ①当线段在线段上运动时，试判断线段的长是否发生变化？如果不变，请求出线段的长；如果变化，请说明理由． ②我们发现角的很多规律和线段一样．如图3，在内部转动，射线，分别平分和，若，．求的度数． ③请你猜想在图3中，和三个角有怎样的数量关系，并直接写出结论． 12．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期末)已知：点在直线上，过点在直线上方作射线，，，且． (1)如图1，当平分时，请判断是否平分？并说明理由； (2)将绕点顺时针旋转， ①如图2，当平分时，判断与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由； ②如图3，当在的内部，且时，判断与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由； ③如图4，当与射线重合时，若平分，平分，求的度数． 13．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)点O是直线上的点，，射线是的平分线． (1)位置如图1时，用等式与的数量关系，并说明理由； (2)位置如图2时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出你得到的结论，并说明理由． 14．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 15．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)已知与共顶点O，点A，O，C在一条直线上，，为的平分线，为的平分线． (1)填空：______． (2)如图1，当重合时，求的度数． (3)如图2，当时，若，求的度数． (4)如图3，当时，与之间有怎样的数量关系，并加以说明． 16．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 17．(24-25七上·辽宁营口大石桥第二初级中学·期末)[问题初探] 数学活动课上，李老师将一副三角尺按图1所示位置摆放．分别作出，的平分线，．然后提出问题：求的度数．                  图1                      图2                      图3                 图4 (1)①“智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，和仍然是，的平分线，和在同一直线上．分别计算出图2，图3中的度数，发现 的度数均为 　 　． ②探究完图2，图3所示的特殊位置问题后，“智慧小组”的同学猜想出图1中的度数应该与图2，图3中 的度数相同．他们经过合作交流后发现，在图2，图3中 和的度数都已知或能求出具体的度数，但图1中，和求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数．如果设，则可以用含的式子表示和，然后利用角的和与差，就能求出的度数．请你根据“智慧小组”的思路，求出图1中的度数． [类比分析] (2)受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出，的平分线，．他们认为利用同样方法也能求出的度数．请你求出的度数． [学以致用] (3)如图5，已知点在线段上，．点在线段上，点在线段延长线上，且，若，求的值． 图5 地 城 考点10 几何图形中角度计算 一、单选题 1．(24-25七上·辽宁丹东·期末)已知，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)如图所示，，都是以O为顶点的直角，下列结论：①；②；③；④若平分，则平分；⑤与的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 4．(24-25七上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)已知，是可绕点旋转的动射线，当时，则的度数是(　　) A． B． C．或 D．或 5．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)如图，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25七上·辽宁大连西岗区·期末)如图，长方形纸片，为边的中点将纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，若，则∠（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25七上·辽宁沈阳铁西区·期末)如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，则，，三个角的数量关系为 ． 8．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)已知，则的度数为 ． 9．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是 ． 10．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则 度． 三、解答题 11．(24-25七上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知：直线于点O，如图①．射线在直线上方，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点A、B、D； ②以点D为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点E和点F（点E和点F分别在直线左侧和右侧）； ③作射线和． (1)如图②，当射线在内部时， ①若，则 °； ②求的度数； (2)当时，设的度数为x，求x的值． 12．(24-25七上·辽宁抚顺新抚区·期末)已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 13．(24-25七上·辽宁沈阳·期末)已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 14．(24-25七上·辽宁营口盖州·期末)点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 15．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区第一初级中学·期末)如图，． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若，求的度数． 16．(24-25七上·辽宁大连·期末)如图，点A、O、B在同一条直线上，为直角，且在直线的上方，将绕点O旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线． (1)当时，求的度数﹔ (2)若恰好将分成了的两个角，求此时的度数． 17．(24-25七上·辽宁沈阳和平区·期末)折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）． 【知识储备】 我们在第四章《基本平面图形》中学习了角的平分线，用折纸的方法作角平分线． 如图1，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【问题情境】 动手折叠一张正方形纸片，点E在边上，点F，G分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图2，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是______； （2）如图3，若点落在上，点落在上，则的度数是______； 【问题再探】 （3）若，则的度数是______；（用含的代数式表示） 【问题深探】 （4）若连接，，，且射线，射线，射线都与正方形的边相交．射线，射线，射线，这三条射线中的一条射线是其余两条射线所组成角的角平分线．请画出图形并求出的度数（用含的代数式表示）． 18．(24-25七上·辽宁沈阳浑南区·期末)（1）如图1，已知，求的度数． （2）如图2，已知，射线在内部，射线在所在平面上，由三条射线得到三个角，分别为，，．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍． ①当，且射线在内部时，求的度数； ②当且射线在外部时，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．（本题中所研究的角都是小于等于的角） 地 城 考点11 动角问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁沈阳沈河区·期末)如图1，射线上有A，B两点，，．一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点A按顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停；接着，射线开始绕点B按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为/秒（）． (1)的长等于 ；当点P到达点B时，等于 °； (2)当射线与所在直线第一次重合（从开始旋转后算起）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，请求出当t为多少秒时，所在直线与所在直线之间的夹角为？（在数学中，两条直线相交所形成的最小正角称为这两条直线的夹角．） 2．(24-25七上·辽宁大连甘井子区第八十中学·期末)综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的． 【问题初探】 （1）如图，射线在内部，，求的度数． 【操作探究】 （2）如图，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转：其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 3．(24-25七上·辽宁沈阳沈北新区·期末)已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 4．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 5．(24-25七上·辽宁盘锦大洼区·期末)在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板按如图1所示的方式摆放，边与在同一条直线上（点与点重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时，停止运动．设三角板的运动时间为 ． (1)当为何值时，与互余？ (2)当为何值时，平分？ 地 城 考点12 新定义问题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁大连金州区·期末)【问题探究】 在数学的几何世界里，我们常常会遇到一些具有特殊关系的图形元素．其中，在同一条直线上，有一个公共端点的两条线段被定义为“共端点线段”． 例如：如图1，和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”． （1）当两个“共端点线段”的长度分别为6和4时，它们非共端点的两个点间的线段的长度为____________； 【类比迁移】 （2）类比上述过程，在同一平面内，把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．已知和是一组“共边角” ①若，则的度数为___________； ②如图2，若是和的角平分线，求的度数（结果用和表示），请画出图形并完成解答过程； 【综合运用】 （3）如图3，已知，射线按顺时针方向以秒的速度旋转至，按顺时针方向以/秒的速度旋转至，设旋转时间为，且为的角平分线，为的角平分线，当时，直接写出的值． 2．(24-25七上·辽宁大连高新技术产业园区·期末)已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4)在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 3．(24-25七上·辽宁沈阳于洪区·期末)从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 4．(24-25七上·辽宁葫芦岛·期末)【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 5．(24-25七上·辽宁大连沙河口区·期末)数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 6．(24-25七上·辽宁灯塔五里镇里仁中学·期末)定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 7．(24-25七上·辽宁铁岭·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 地 城 考点13 作图题 一、解答题 1．(24-25七上·辽宁朝阳建平县·期末)已知，是的角平分线． (1)在图中以为边作（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)结合所作图形求的度数． 2．(24-25七上·辽宁锦州·期末)如图，平面上有三个点．请利用尺规，按下列要求作图．（不写作法和结论，保留作图痕迹） (1)作射线，线段； (2)在的上方作，使得． 3．(24-25七上·辽宁抚顺顺城区·期末)如图，平面内有三点，，，请阅读下列语句并选择合适的画图工具按要求画图．          (1)画直线； (2)画射线； (3)连接； (4)尺规作图：在射线上作线段，使得；（保留作图痕迹） (5)按照上北下南、左西右东的规定，画出北偏西方向的射线； (6)连接，度量的度数，并直接写出你度量的结果． 4．(24-25七上·辽宁鞍山·期末)如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． (1)在图中确定船的位置； (2)请通过测量确定的度数． 5．(24-25七上·辽宁抚顺抚顺县·期末)如图，平面上有四个点． (1)根据下列语句画图： ①画射线； ②画直线与线段相交于点； (2)在图中以为顶点的角中． ①请写出的所有补角； ②若，直接写出它的余角的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $