专题04 一次函数的实际应用 9大高频考点（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题04 一次函数的实际应用 9大高频考点概览 考点01 行程问题 考点02 最大利润问题 考点03 方案问题 考点04 新情境问题 考点05 分段计价问题 考点06 跨学科问题 考点07 利润不变问题 考点08 工程问题 考点09 其他问题 地 城 考点01 行程问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)已知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两地出发相向而行,甲, 乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示, 则两人在甲出发后相遇所需的时间是（） A．1.2h B．1.5h C．1.6h D．1.8h 【答案】C 【分析】先根据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式，再联立求出交点坐标即可得出答案． 【详解】设甲的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故甲的s与t的函数关系式为 设乙的s与t的函数关系式为 由图象可知，点、在的图象上 则，解得 故乙的s与t的函数关系式为 联立，解得 即两人在甲出发后相遇所需的时间为 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，依据图象求出甲、乙两人的s与t的函数关系式是解题关键． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙刚开始的速度为，则，得， 则设经过，乙追上甲， ， 解得，，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时时，离目的地还有（    ）千米． A．22 B．32 C．238 D．228 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，当时，设，利用待定系数法求出函数解析式为，当时，求出的值，即可得解． 【详解】解：当时，设， 将和代入解析式得， 解得：， 当时，， 当时，（千米）， 距离目的地还有：（千米）， 故选：A． 二、填空题 4．(24-25八上·辽宁阜新太平区·期末)甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开汽车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到B地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为 小时． 【答案】/ 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是从函数图象获取准确信息正确列式子．根据速度＝路程÷时间，可求甲骑自行车的速度为千米/小时，根据乙出发小时追上甲的等量关系，根据追及路程列方程求解，再把两个时间相加即可求解． 【详解】解：（千米/小时）， （千米/小时）， （小时）． 答：乙从A地到B地所用的时间为小时． 故答案为：． 5．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有 ．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分），故正确； 设乙速度为：米/分， 由题意得：， 解得：， 乙的速度为米/分， 乙走完全程的时间（分），故正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分），故错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）,甲离终点还需要走：（分钟），故正确； 正确的结论有， 故答案为：． 6．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分； ；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程速度时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求与解析式可判断②，先求出点货车的时间，用轿车修车分钟段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点的坐标可判断③；求出轿车速度 米分，到时轿车追上货车两车相遇，列方程，解得 可判断④． 【详解】解：由图象可知，当时，轿车开始出发；当时，轿车开始发生故障，则分钟，即货车出发分钟时，轿车追上了货车， 设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分，根据题意， 得：， 解得：， 货车的速度为米分，轿车故障前的速度是米分，故①正确； ， 设解析式：过点与点，代入坐标得 解得 解析式： 点表示货车追上轿车，从到表示货车追及的距离是，货车所用速度为， 追及时间为分钟 点 段表示货车用 分钟行走的路程， 点的横坐标为分，纵坐标米， ，故③正确； 设解析式为，代入坐标得 解得 解析式为 与解析式中的相同， ，故②正确； 点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为： 米分， 到时轿车追上货车两车相遇， ， 解得 ， 即图中的值是；故④正确， 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 7．(24-25八上·辽宁锦州·期末)某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同），已知大巴车的速度是观光车速度的3倍，现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往地游览.其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地，乙旅游团则在甲旅游团出发后选择乘坐大巴车，且比甲旅游团提前半小时到达地，甲，乙两个旅游团距地的路程与甲旅游团所用的时间之间的关系如图所示． (1)求大巴车的速度； (2)求大巴车距地的路程与之间的函数关系式； (3)求图中点的坐标，并说明点的实际意义． 【答案】(1)大巴车的速度 (2)大巴车距地的路程与的函数关系式为 (3)图中点的坐标为，点的实际意义是当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车距离地18km或当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车相遇或当甲旅游团乘观光车出发时，大巴车追上观光车 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解答本题的关键在于明确题意，利用一次函数的性质以及数形结合的思想求解． （1）根据图象结合路程、速度、时间的关系求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求观光车中途停靠后，距地的路程与的函数关系式为，再联立求点，再写出实际意义． 【详解】（1）解：根据图象可知，观光车的速度 则大巴车的速度； （2）解：设大巴车距地的路程与的函数关系式为， 由于图象经过点，所以， 解得， 所以大巴车距地的路程与的函数关系式为， （3）解：设观光车中途停靠后，距地的路程与的函数关系式为， 由于图象经过点，所以， 解得， 所以观光车中途停靠以后，距地的路程与时间的函数关系式为， 联立方程组，解得， 所以，点的坐标为， 点的实际意义是当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车距离地18km， 或当甲旅游团乘观光车出发时，观光车与大巴车相遇， 或当甲旅游团乘观光车出发时，大巴车追上观光车． 8．(24-25八上·辽宁丹东·期末)小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)小明的平均速度是_________千米/小时； (2)求线段的函数表达式； (3)当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 【答案】(1)9.6 (2) (3)8千米 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据小明的总路程为24千米，总时间为2.5小时，进而可得出平均速度； （2）设直线解析式为，把和分别代入得出，令，解得：，得出点C的坐标为，设直线解析式为，把和分别代入求解即可得出答案； （3）把和联立得，求解进而可得出答案． 【详解】（1）解：小明的平均速度是千米/小时， 故答案为：9.6； （2）解：设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， 所以， 令，， 解得：， 所以点C的坐标为， 设直线解析式为， 把和分别代入得， 解得：， ； （3）把和联立得 ， 解得：， ， 答：当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有8千米． 9．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时， ， 时， ， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 10．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：目的地距离学校千米， 小车出发去目的地的行驶速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当时，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 行驶时间为或或， 故答案为：或或 11．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)甲车提速后的速度是 ，乙车的速度是 ，点C的坐标是 ； (2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？ 【答案】(1)，， (2)与的函数关系式 (3)甲车到达市时乙车已返回市小时． 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，理解图示，掌握一次函数与行程问题的运用是解题的关键． （1）根据函数图象可得甲车的原速度为千米/小时，则提速后的速度为千米/小时；根据题意可得乙车所来回行使的路程为千米，除维修时间外，行驶时间为小时，根据路程时间速度得出乙车的速度，由此可得，乙车从点返回的时间为小时，则点的横坐标为； （2）根据点的坐标以及与轴的交点求出函数解析式； （3）分别求出甲车和乙车在修好后行使的时间，然后进行计算． 【详解】（1）解：根据图示，甲车行驶小时到达地的速度为：（千米/小时）， ∴甲车提速后的速度是千米/小时， 根据图示，分钟小时，乙车去的时间，回来的时间和为：（小时），乙行驶的路程为：（千米）， ∴乙车的速度是千米/小时， ∴乙从点返回的时间为：（小时）， ∴点对应的横坐标为：， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． （2）解：由题意，点的坐标为，且过， ∴ 设乙车返回时，与的关系式为：， ∴， ∴解得：， ∴乙车返回时，与的关系式为： ． （3）解：由题意，修好车后，小时， 小时， ∴小时， 答：甲车到达市时，乙车已返回市小时． 12．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线和线段分别表示小明和观光车离开景区入口的距离与小明步行时间之间的关系．根据图象解决下列问题： (1)观光车的行驶速度为 　　，点D的坐标为 　　； (2)求线段对应的函数表达式； (3)当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 【答案】(1)300， (2) (3)当观光车到达观景点时，小明距观景点还有 【分析】本题考查一次函数的应用、函数的图象． （1）根据速度路程时间求出观光车的行驶速度，再由时间路程速度求出观光车从景区入口到达观景点所用的时间，从而求出点D的坐标； （2）利用待定系数法解答并写出自变量x的取值范围即可； （3）将代入线段对应的函数表达式，求出对应y的值，即小明已走的路程，再根据“景区入口与观景点的距离当观光车到达观景点时小明已走的路程”列式计算即可． 【详解】（1）解：观光车的行驶速度为， ， ， ∴点D的坐标为， 故答案为：300，； （2）解：设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； （3）解：当时，， ． 答：当观光车到达观景点时，小明距观景点还有． 13．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：    (1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）； (2)根据图象，求出甲的函数表达式； (3)求何时甲乙相遇？ (4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米． 【答案】(1)乙 (2)甲的表达式为： (3)甲乙在12分钟时相遇 (4)5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米 【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点； （2）甲的函数图象是正比例函数，直线经过点，可求出解析式； （3）当时，甲乙两人相遇，求得乙的路程与时间的函数关系式，再求得两个函数图象的交点坐标即可； （4）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以：甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点， 故答案为：乙； （2）解：设甲跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点， ，解得：， 甲的函数解析式为：； （3）解：设甲乙相遇后（即），乙跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式为：，经过点，，联立方程可得： ，解得， 乙的函数解析式为：， 再联立方程：，解得， 甲乙在12分钟时相遇； （4）解：设此时起跑了分钟， 根据题意得，或或或， 解得：或或或， 5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求得甲乙两人的路程与时间的函数关系式是解题的关键． 14．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)小王骑自行车从A地出发前往B地，同时小李步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示小王、小李两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF相交于点M． (1)求线段OP对应的y甲与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； (2)求y乙与x的函数关系式以及A，B两地之间的距离； (3)直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距3km． 【答案】(1)y甲=18x (2)y乙=﹣6x+12，12km (3)小时或小时 【分析】（1）设线段OP对应的函数解析式为y甲=k1x，由图象可知9=0.5k，得k1=18，由此可知线段OP对应的函数解析式；      （2）设与x的函数关系式是y乙=k2x+n，有图象可知代入（0.5,9）（2,0）两点后求出解析式，当时间为0时，小李与A地的距离为A，B两地的距离； （3）先计算出小李与小王的速度，根据相遇前相距3km，与相遇后相距3km两种情况分别分类计算即可． 【详解】（1）解：设线段OP对应的函数解析式为y甲=k1x， ∴9=0.5k，解得k1=18，                                             ∴线段OP对应函数解析式为y甲=18x； （2）解：∵经过点（0.5，9），（2，0） 设y乙与x的函数关系式是y乙=k2x+n， ∴，解得， 即y乙与x的函数关系式是y乙=﹣6x+12， 当x=0时，y乙=12， ∴A、B两地的距离是12km； （3）解： ， 相遇前相距3km：， 相遇后相距3km： 经过小时或小时时，甲、乙两人相距3km． 【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，求一次函数的解析式，行程问题，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 15．(24-25八上·辽宁丹东东港·期末)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示： (1)A、B两城之间距离是多少千米？ (2)求乙车出发多长时间追上甲车？ (3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米． 【答案】(1)300千米 (2)1.5小时 (3)甲车出发2小时或3小时或小时或小时，两车相距20千米 【分析】（1）根据图象即可得出结论． （2）先求出甲乙两人的速度，再列出方程即可解决问题． （3）根据或，列出方程即可解决． 【详解】（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米． （2）设乙车出发x小时追上甲车． 由图象可知，甲的速度千米/小时． 乙的速度千米/小时． 由题意 解得x＝1.5小时． （3）设，则解得， ∴， 设，则，解得， ∴， ∵两车相距20千米， ∴或或或， 即或或或 解得t＝7或8或或， ∵7－5＝2，8－5＝3，， ∴甲车出发2小时或3小时或小时或小时，两车相距20千米． 【点睛】该题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解答该题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程，属于中考常考题型． 地 城 考点02 最大利润问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 (2)购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得： ， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为2， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）． 答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价； (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)A图书标价27元，B图书标价25元 (2)购进A图书40本，B图书160本，利润最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数是解此题的关键． （1）设图书标价x元，图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进图书a本，图书本，利润为w元．根据题意得出关于的关系式，根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设图书标价x元，图书标价y元． 由题意得：， 解得， 答：图书标价27元，图书标价25元； （2）解：设购进图书a本，图书本，利润为w元． 则 随a的增大而减小， ， 当时，w最大值为（元），（本）， 答：购进图书40本，图书160本，利润最大． 3．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期末)五和超市购进、两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表： 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） 25 35 35 50 （1）若该超市花了6500元进货，求购进、两种饮料各多少箱？ （2）设购进种饮料箱（），200箱饮料全部卖完可获利润元，求与的函数关系式，并求购进种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱；（2）求购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）设购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱，根据两种饮料的成本乘以数量等于6500元，列出二元一次方程即可解决问题； （2）根据利润等于销售价减去成本再乘以销量，列出与的函数关系式，进而根据一次函数的性质求得最大值 【详解】（1）设购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱，根据题意得 解得 答：购进A种饮料箱，则购进B种饮料箱 （2）设购进种饮料箱（），200箱饮料全部卖完可获利润元， 则 随的增大而减小， 又 时，可获得最大利润，最大利润是（元） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出关系式和方程组是解题的关键． 4．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期末)为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划购进A，B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆，其中A型电动自行车不少于10辆，A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据“利润型电动自行车的总利润型电动自行车的总利润”写出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围即可； （2）根据（1）求得的一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与x之间的函数关系式为； （2）解：， 随x的减小而增大， ， 当时，y值最大，， （辆）； 答：购进A型电动自行车10辆、B型电动自行车20辆才能获得最大利润，此时最大利润是13000元． 5．(24-25八上·辽宁沈阳皇姑区·期末)我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如下表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 15 20 乙种商品 25 35 设甲种商品购进件，售完此两种商品总利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入1500元，则最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)550元 【分析】本题考查了销售问题的数量关系的运用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答时运用销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． （1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：与的函数关系式为； （2）解：∵该商场计划最多投入1500元， ∴， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为元， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 6．(24-25八上·辽宁沈阳雨田实验中学·期末)某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元） 售价（元） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完两种水果获利w（元）与销售甲种水果的数量的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量不超过的情况下，平台每天获利能否达到2500元？ 【答案】(1)的值为8，的值为12； (2)，不能获利2500元，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）根据“购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润每千克的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，可求出的最大值，再将其与2500元比较后，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：． 答：的值为8，的值为12； （2）根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最大值，最大值， ， 平台每天售完水果不能获利2500元． 7．(23-24八上·辽宁丹东·期末)丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示： A B 进价(元/台) 1200 1300 售价(元/台) 1500 1700 (1)若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，则该商场购进A，B两种空调各多少台？ (2)若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台(且m为整数)，当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？ 【答案】(1)该该商场购进种空调10台，种空调10台； (2)当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该商场购进种空调台，种空调台，利用总价单价数量，结合“该商场购进两种空调共需资金25000元，盈利7000元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元，利用总利润每台的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该商场购进种空调台，种空调台， 根据题意得：， 解得：． 答：该该商场购进种空调10台，种空调10台； （2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值． 答：当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元． 8．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二中学·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； (2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； (3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论； （3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； （2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则， ， ，n均为正整数， 或或， 共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； （3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元， 根据题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w最大，最大值为22000， 此时， 购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式． 地 城 考点03 方案问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（　　）    A．甲种消费卡为元/次 B． C．点的坐标为 D．洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算 【答案】D 【分析】由图象，利用待定系数法分别求甲和乙的解析式为，、，进而可判断A、B的正误，根据，解得，则点的坐标为，进而可判断C的正误，将分别代入，甲和乙的解析式，求出各自的，然后比较大小，进而可判断D的正误． 【详解】解：设甲对应的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， ∴甲对应的函数解析式为； ∴甲种消费卡为元次，故选项A不符合题意； 设乙对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， ∴乙对应的函数解析式为，故选项B不符合题意； 令， 解得， 即点的坐标为，故选项C不符合题意； 当时，甲可消费：次，乙可消费的次数为：次， ∵， ∴洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择乙种消费卡划算，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)某商店销售一台型电脑销售利润为100元，销售一台型电脑的销售利润为150元． (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问型电脑和型电脑各售出多少台？（列方程组解应用题） (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，当销售总利润要达到13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑． 【答案】(1)售出A型电脑13台，售出B型电脑5台 (2) (3)25台A型电脑、75台B型电脑 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用． （1）分别设售出A型电脑的台数和售出B型电脑的台数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“销售总利润销售一台A型电脑销售利润售出A型电脑的台数销售一台B型电脑的销售利润售出B型电脑的台数”写出W关于m的函数表达式即可； （3）将代入W关于m的函数表达式，求出对应m的值及 的值即可． 【详解】（1）解：设售出A型电脑x台，售出B型电脑y台， 根据题意，得， 解得， 答：售出A型电脑13台，售出B型电脑5台； （2）解：根据题意，得， ∴W关于m的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， （台）． 答：该商店应采购25台A型电脑、75台B型电脑． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 4．(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ （2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞0）支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱． 【答案】（1）每个笔记本14元，每支钢笔15元；（2）；（3）当买超过10件但少于15件商品时，买笔记本省钱；当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；当买奖品超过15件时，买钢笔省钱． 【分析】（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元，然后根据等量关系：买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；买3个笔记本和1支钢笔，则需57元，列二元一次方程组，解答即可；（2）根据y=10支钢笔的钱数+超出部分的钱数，列出关系式即可；（3）分三种情况讨论. 【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元， ，解得， 答：每个笔记本14元，每支钢笔15元； （2）； （3）当时，x<15， 当时，x=15， 当时，x>15， 综上，当时，买笔记本省钱；当时，买笔记本和钢笔一样；当时，买钢笔省钱. 考点：1.二元一次方程组的应用；2.一次函数的应用. 5．(24-25八上·辽宁铁岭·期末)【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元； 套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 (1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式． (2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ (3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【答案】(1)，． (2)当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． (3)根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式． （1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可． （2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可． （3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，． （2）解：因为两种套餐费用相同，有，解得， 所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． （3）解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时， 有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱． 小刚父亲：当时，有，解得， 小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟， 选套餐不省钱． 小刚母亲：当时，有，解得， 小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟， 选套餐省钱． 综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 地 城 考点04 新情境问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳沈河区·期末)【问题情境】某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于，水壶不加热；若水温降至，水壶开始再加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作． 【实验探索】数学小组对壶中水量a（单位：L），水温T（单位：℃）与加热时间t（单位：分钟）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．对以下实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T就是加热时间t的一次函数． 表1  从开始加热至，不同水量与加热时间对照表 a（单位：L） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t（单位：分钟） 4.5 8 11.5 m 18.5 22 表2  1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 t（单位：分钟） 0 3 6 n 10 12 14 16 18 20 22 24 26 … T（单位：℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 … (1)表1中m的值为________，表2中n的值为________； (2)根据表2，求出1L水煮沸模式下T关于t函数表达式，并写出自变量t的取值范围； (3)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在图中补全水温与时间（6～26分钟）的函数图象； ②当时， ________； (4)假设温度降低过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入温度为的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他________（填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】(1)， (2)1L水煮沸模式下T关于t函数表达式为，自变量的取值范围为； (3)① 见解析；②； (4)不能． 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在加热模式下，从开始加热至，水量每增加，时间就增加分钟，得到，在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）利用待定系数法求出函数表达式并写出自变的取值范围即可； （4）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【详解】（1）解：在加热模式下，从开始加热至，水量每增加，时间就增加分钟， ∴， 在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， ， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． 故答案为：， （2）设1L水煮沸模式下T关于t函数表达式为， 当时，，当时，， ∴， 解得， ∴1L水煮沸模式下T关于t函数表达式为，自变量的取值范围为； （3）解：①补全水温与时间的函数图象如图所示： ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； （4）解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 2．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期末)【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表、表发现都是一次函数模型请结合表、表的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1），；（2）电动汽车在服务区充电分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， ∴行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为， 充电分钟后，增加的电量为， ∴充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电分钟． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【答案】(1)； (2)第分钟后会开始拥堵 (3)举措有效，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为人，当时，则，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； （2）解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 4．(23-24八上·辽宁锦州·期末)某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图1所示． (1)求y与x之间的关系式，并说明点A的实际意义； (2)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法1：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法2：运营成本不变，只提高票价． 如果分别按照上述两种方法运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系发生了变化，你认为在图2和图3中，哪个图象反映了按方法1运营的函数关系？请说明理由； (3)两种解决办法的具体措施如下： 方法1：票价不变，将运营成本降低到万元： 方法2：运营成本不变，只提高票价，使每万人收支差额提高到万元． 请求出两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量． 【答案】(1)，A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元； (2)图3按方法1运营的函数关系． (3)两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为6万人． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可，根据A的坐标含义可得A表示的实际意义； （2）由图2中运营成本没有改变，图3的运用成本减少，从而可得答案； （3）先分别求解两种情况下的函数解析式，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， ∴， 解得：， ∴设y与x之间的关系式为， A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元； （2）∵图2中运营成本没有改变，图3的运用成本减少， ∴图3按方法1运营的函数关系． （3）∵方法1：票价不变，将运营成本降低到万元： ∴函数关系式为：， ∵方法2：运营成本不变，只提高票价，使每万人收支差额提高到万元． ∴函数关系式为：， 当时， 解得：， ∴两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为6万人． 5．(24-25八上·辽宁大连中山区·期末)人教版八年级下册数学教材第105页数学活动2问题如下： 水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，数学小组进行了以下的试验与研究： 如图1，在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 10 25 40 55 70 … (1)请根据表中信息在图2坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数（选填“正比例”或“一次”或“反比例”）； (2)根据以上判断，求w关于t的函数关系式； (3)估算这个水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量． 【答案】(1)一次，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，再根据图象特征判断函数类型即可； （2）用待定系数法求解即可； （3）将24小时的分钟数作为x的值代入w关于t的函数关系式，求出对应w的值即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的一次函数． 故答案为：一次． （2）设， 由题意得， 解得． ． （3）分钟， ． ， 水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量为． 地 城 考点05 分段计价问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学·期末)某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时．按原价售出；超过2千克时，超过的部分打8折．设某人在本次超市端午节活动期间购买糯米数量为千克，付款金额为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据促销方案，付款金额等于2千克的费用加上超出部分的费用，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故答案为： 2．(24-25八上·辽宁大连高新园区·期末)从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得，从而可以判断得解．解题时要能读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 二、解答题 4．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期末)某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (3)根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）依据题意，当时，由题意代入计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）进行分析即可作图； （3）依据题意，由（2）的图象进行判断可以得解． 【详解】（1）由题意得，． （2）由题意，结合（1）当时，；当时，，进而作图如下． （3）由题意，当时，选择A套餐更合适；当时，选择B套餐更合适． 故答案为：，． 5．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期末)某市出租车车费收取标准如下：3千米以内含（3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费元． (1)写出应收费（元）与出租车行驶路线（千米）之间的关系式（其中） (2)小明乘出租车行驶5千米，应付多少元？ (3)小颖付车费元，那么出租车行驶了多少千米？ 【答案】(1) (2)元 (3)8千米 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键， （1）根据题意列出时的关系式，化简即可得到答案； （2）将代入（1）中的表达式中即可得到答案； （3）将代入（1）中的表达式中即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， （2）解：∵， 当时，， 答：应付元； （3）解：∵， 当时，， 解得：， 答：出租车行驶了8千米． 6．(24-25八上·辽宁抚顺望花区·期末)某地摊经营者以10元/双的价格购进一批棉袜子，销售一段时间后，剩下的部分打八折出售，已知该批袜子打折销售后全部卖完，销售总额（元）与销售量（双）之间的函数关系图象如图所示．    (1)打折销售前，每双袜子的单价是______元； (2)打折销售后，求销售总额（元）与销售量（双）之间的函数表达式，并写出自变的取值范围； (3)求这批袜子销售完后获得的利润． 【答案】(1)20 (2) (3)520元 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）根据图象可知，打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元，列式计算即可； （2）设表达式为，根据折扣价等于售价乘以折扣，求出的值，将代入解析式，求解即可． （3）利用总销售额减去总成本进行求解即可． 从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知：打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元， ∴每双袜子的单价是元； 故答案为：20； （2）由图象可知，打折销售后，销售总额（元）与销售量（双）之间是一次函数的关系， 设， ∵打八折出售， ∴， ∴，把代入，得：， ∴， 当时，， ∴的取值范围为：； （3）由（2）可知，总销售额为1120元，共卖出60双袜子， ∴总利润为元． 地 城 考点06 跨学科问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得： ，解得：， ∴该函数解析式为； 故选C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的实际应用，熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键． 2．(23-24八上·辽宁大连庄河·期末)如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（    ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A．2.5cm B．4cm C．5.5cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁大连金普新区·期末)在物理实验室中，小明和小华在探究“匀加速直线运动中速度和时间的关系”时，通过实验获得下面的一组数据（忽略相关阻力），其中x表示物体的运动时间（），y表示对应时间点的运动速度 （）．小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现y与x满足我们学过的一次函数关系，且． 运动时间x（） 0 1 2 3 4 运动速度y（） 1 4 7 10 13 (1)画出函数图象，并求出y与x之间的函数关系式； (2)若重新实验时，在相同的运动时间时，运动速度均比上表中增加了，则重新实验时，该物体的运动速度在多少秒时能够达到？ 【答案】(1)画图见解析， (2)秒 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）按题意在平面直角坐标系中描出各点即可，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出新的函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，描点画图如下： 设， 则， 解得， ∴解析式为； （2）解：∵在相同的运动时间下，运动速度均比上表中增加了， ∴， 当时，，解得， ∴该物体的运动速度在秒时能够达到． 地 城 考点07 利润不变问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期末)年月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心成功发射．通过此次里程碑式的成功，神舟十八号不仅展现了中国航天技术的高水平，还凸显了中国在全球航天领域的竞争力．为纪念“神舟十八号”成功，某超市从厂家购进两种型号的“航天模型”，两次购进模型的情况如表： 进货批次 型模型（个） 型模型（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号航天模型的进价； (2)第三次进货用元购进这两种航天模型，如果每销售出一个型航天模型可获利元，售出一个型航天模型可获利元，超市决定每售出一个型航天模型就捐出元．若两种型号的航天模型在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； (2)捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 【分析】（）设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元，根据题意列出方程组，然后解方程即可； （）设总利润为元，购进种航天模型个，由题意得，捐款后所得的利润始终不变即可求出的值及利润； 本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元， ， 解得：， 答：种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； （2）解：设总利润为元，购进种航天模型个， 依题意，得： ， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴，解得：， ∴， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期末)新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口置和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口置和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该经销商准备用12800元同时购进甲、乙两种型号的口罩，共有哪几种进货方案？ (3)该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，其中甲型口罩a箱，若销售一箱甲型口罩，利润率为35%，乙型口罩的售价为每箱1200元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m的值． 【答案】(1)每箱甲型口罩的进价为1000元，每箱乙型口罩的进价为800元 (2)该经销商共有3种进货方案，方案1：购进4箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案2：购进8箱甲型口罩，6箱乙型口罩；方案3：购进12箱甲型口罩，1箱乙型口罩． (3)50 【分析】（1）设每箱甲型口罩的进价为x元，每箱乙型口罩的进价为y元，利用总价=单价×数量，结合“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购进b箱甲型口罩，c箱乙型口罩，利用总价=单价×数量，即可得出关于b，c的二元一次方程，结合b，c均为正整数，即可得出各进货方案； （3）由购进甲型口罩a箱，可得出购进乙型口罩（20-a）箱，设所购进的口罩全部售出后经销商获得的利润为w元，利用总利润=每箱的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于a的函数关系式，由w不随a的变化而变化，可得出m-50=0，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设每箱甲型口罩的进价为x元，每箱乙型口罩的进价为y元， 由题意得：， 解得， ∴每箱甲型口罩的进价为1000元，每箱乙型口罩的进价为800元． 答：每箱甲型口罩的进价为1000元，每箱乙型口罩的进价为800元． （2）解：设可以购进b箱甲型口罩，c箱乙型口罩， 依题意得：1000b+800c=12800， ∴， 又∵b，c均为正整数， ∴或或， ∴该经销商共有3种进货方案， 方案1：购进4箱甲型口罩，11箱乙型口罩； 方案2：购进8箱甲型口罩，6箱乙型口罩； 方案3：购进12箱甲型口罩，1箱乙型口罩． （3）解：∵购进两种口罩共20箱，其中甲型口罩a箱， ∴购进乙型口罩（20-a）箱． 设所购进的口罩全部售出后经销商获得的利润为w元，则w=1000×35%a+（1200-800-m）（20-a）=（m-50）a+8000-20m， ∵w不随a的变化而变化， ∴m-50=0， ∴m=50． 答：m的值为50． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 地 城 考点08 工程问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁大连庄河·期末)工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： (1)直接写出a的值，______； (2)求与t的函数关系式及t的取值范围； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 【答案】(1)280 (2) (3)6小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括从函数图象中获取信息，一次函数解析式的求解，由图象上的点求解出甲和乙的工作效率并由待定系数法求解一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先求解出调试前设备工作效率，再由调试后工作效率不变即可求解a的值； （2）根据乙的函数图象可知，是t的一次函数，设出一次函数解析式，将点和代入解析式即可求解； （3）先计算出乙的工作效率，设甲组加工时间为m小时，再根据甲乙合作零件的总数为320个列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：甲组调试前的工作效率为（个/时）， 因为调试后工作效率不变， ∴当时，个， ∴， 故答案为：280； （2）解：设， 将和代入解析式得： ，解得， ∴； （3）解：乙组的工作效率为（个/时）， 设甲组加工时间为m小时， ∵， 根据题意列方程，得：． 解得：． 答：甲组加工6小时，甲、乙两组加工零件总数为320个． 地 城 考点09 其他问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁大连金普新区·期末)用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，结合长方形对边相等即可得与之间的函数关系式． 【详解】解：由已知可得，， ∴， 故选：D． 2．(23-24八上·辽宁阜新彰武县·期末)已知腰围的长度“cm”与裤子的尺寸“英寸”之间存在一种换算关系如下： 腰围/cm 67.5 77.5 82.5 尺码/英寸 25 29 31 小聪量了一下自己所穿裤子的腰围是70cm，那么他的裤子尺码是( ) A．30英寸 B．28英寸 C．27英寸 D．26英寸 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键；依题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为， ∴， 解得：， ∴， ∴当腰围为70cm，即时，则有， ∴； 故选D． 二、填空题 3．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期末)一个弹簧不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y(单位：cm)关于所挂重物x(单位：kg)的函数关系式为 (不需要写出自变量取值范围) 【答案】y=3x+10 【分析】根据题意可知，弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+10．代入求解． 【详解】弹簧总长y(单位：cm)关于所挂重物x(单位：kg)的函数关系式为y=3x+10， 故答案为y=3x+10 【点睛】此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程 4．(24-25八下·辽宁盘锦大洼区第二中学·期末)如图，反映了某产品的销售收入（元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该产品的销售成本（元）与销售量（吨）之间的关系，当销售量超过 吨时，生产该产品才能盈利． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即的函数图象应高于的函数图象，看在交点的哪侧即可． 【详解】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用， 在交点的右侧，相同的值的值，那么表示开始赢利． ∴当时，． 答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25八上·辽宁抚顺东洲区·期末)北国商城新开一家儿童游乐场，为吸引大量儿童前 来游玩，该游乐场儿童进场标准价为m 元/次，也可以缴纳一定费用成为会员，会员执行会员价格，如图是两种消费金额（y）和游玩次数（x）之间的函数图像，根据图像回答下列问题： (1)求m的值 ； (2)求办理会员后消费金额和游玩次数的函数关系式，并求出每次游玩的会员价格； (3)根据以上结论，结合游玩次数制定一个合理的消费方案． 【答案】(1) (2)，20元/次 (3)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的实际运用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出函数解析式，注意作图时要分段处理，此处易错． （1）根据点的实际意义即可求解； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据图象和题意即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示游玩5次，花费300元， ∴； （2）解：根据会员价函数图像可知，图像过点和， 设函数表达式为， 由题意可得  解得：， ∴办理会员后消费金额和游玩次数的函数关系式为：， 根据函数关系式可知：每次游玩的会员价格为20元/次． （3）解：当游玩次数小于5次时，不办理会员，正常付费更实惠； 当游玩次数等于5次时，两种消费一样，任意选择； 当游玩次数大于5次时，办理会员，价格更实惠． 6．(23-24八上·辽宁阜新彰武县·期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌10分钟后，每分钟收费______； (2)求出品牌的函数关系式； (3)求两种收费相差1.4元时，的值． 【答案】(1)元 (2) (3)8或34 【分析】（1）由图象可知，第10至20分钟，品牌收费元，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）根据题意和图象可知：两种收费相差1.4元时分两种情况，列出相应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，品牌10分钟后，每分钟收费： （元）， 故答案为：元； （2）解：设品牌的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 品牌的函数关系式为； （3）解：由图可知，两种收费相差1.4元时，可能在分钟内或分钟以后， 在分钟内时，， 解得； 在分钟以后时，， 解得； 因此x的值为8或34． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是从图象中获取信息，求出相关直线的函数解析式． 7．(23-24八上·辽宁沈阳新民·期末)城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为． (1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式； (2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用． 【答案】(1)，； (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】（）根据题意即可得出之间的函数关系式； （）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式为， ∵，随的增大而增大， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元． 8．(24-25八上·辽宁盘锦兴隆台区·期末)某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：    (1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　元；甲复印社每张收费是 元； (2)求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式； (3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； (4)如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？ 【答案】(1)18； (2) (3)150页 (4)选择乙复印社 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费； （2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得； （3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）将代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可知， 乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； 甲复印社每张收费是（元）． （2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为， 把和代入解析式得： ， 解得：， ∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为； （3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为， 令， 解得，， 答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同； （4）当时， 甲复印社的费用为：（元）， 乙复印社的费用为：（元）， ∵， ∴当时，选择乙复印社． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一次函数的实际应用 ☆9大高频考点概览 考点01行程问题 考点02最大利润问题 考点03方案问题 考点04新情境问题 考点05分段计价问题 考点06跨学科问题 考点07利润不变问题 考点08工程问题 考点09其他问题 考点01 行程问题 一、单选题 1.(24-25八上辽宁沈阳皇姑区·期末)己知A、B两地相距12km,甲、乙两人沿同一条公路分别从A、B两 地出发相向而行，甲，乙两人离B地的路程sk)与时间th)的函数关系图象如图所示，则两人在甲出发后相 遇所需的时间是() c(h) A.1.2h B.1.5h c.1.6h D.1.8h 2.(2425八上·辽宁沈阳·期末)甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地.甲车先出发匀速驶向B地， 40mi后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全， 速度减少了50km/h,结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的 1/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 函数图象如图所示，则下列说法：①a=4.5;②甲的速度是60km/h;③乙出发80mi追上甲；④乙刚到 达货站时，甲距B地180km,其中正确的有() ◆y/km 460 4a 7/h A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25八上·辽宁沈阳法库县期末)“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某月的地， 下面是她们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象，她们出发2.3小时时，离目 的地还有(）千米。 y/千米 260 150 1.52.5x不时 A.22 B.32 C.238 D.228 二、填空题 4.(24-25八上·辽宁阜新太平区期末)甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开汽车，两人均 在同一路线上匀速行驶，乙到B地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离y(千米)与甲行驶的时间x(小 时)之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为小时. y(千米) 30 x(小时) 5.(24-25八上·辽宁丹东凤城期末)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 米，先到终点的人原地休息，己知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出 发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟； ③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还需要走6分钟，其中正确的结论有·（填序号） 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 米 240 04 16 7分 6.(2425八上·辽宁沈阳期末)货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿 车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进， 在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y(米)与货车出发的时间x (分钟)之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法①货车的速度为1500米/分②0AⅡCD;③ 点D的坐标为(65,27500，④图中a的值是.其中正确的是 y(米) D 2500 010 45 ax(分钟) 三、解答题 7,(24-25八上·辽宁锦州期末)某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴 车两种游览方式（行驶路线相同），已知大巴车的速度是观光车速度的3倍，现有甲、乙两个旅游团，均 准备从A地出发前往B地游览其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度 前往B地，乙旅游团则在甲旅游团出发后选择乘坐大巴车，且比甲旅游团提前半小时到达B地，甲，乙两个 旅游团距A地的路程y(km)与甲旅游团所用的时间x(h)之间的关系如图所示. y/km 12- 00.5 (1)求大巴车的速度； (2)求大巴车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)求图中点P的坐标，并说明点P的实际意义， 3/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八上·辽宁丹东·期末)小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆.如图折 线OAB和线段CD分别表示小明和小颖离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间函数关系 的图象，根据图中提供的信息，解答下列问题： /千米 24---------- D 小颖 小明 A 2 2.5 x/小时 ()小明的平均速度是 千米/小时； (②)求线段AB的函数表达式； (3)当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？ 9.(24-25八上·辽宁沈阳期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行， 匀速驶向各自的目的地乙地和甲地.行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下 帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶.两车之间的距离y(k)和货车行驶时间x(h)之间 的函数图象如图①所示. y/km As/km 320R 320 240H 160 80 40----- 28D 5/h 012345x 3 ① ② (1)货车的速度为 km/h,轿车的速度为 km/h: (2)求线段DE表达式： (3)在图②中，画出货车离乙地的距离s(km)和行驶时间x(h)之间的函数图象。 10.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学期末)某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安 排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客 车在目的地等候，如图是两车距学校的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象， 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/km C 120 B 5 x/h (①)目的地距离学校 km,小轿车出发去目的地的行驶速度是 km/h. (2)当两车行驶3h后在途中相遇，求点P的坐标； (3)在第(2)题的条件下，大客车与小轿车相距20km如时，行驶时间x为 h 11.(24-25八上·辽宁沈阳期末)已知A、B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M 地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过 20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图所示，是两车距A市的路程 y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的函数图象. /千米 260---- D 材小时 (1)甲车提速后的速度是_，乙车的速度是_，点C的坐标是_： (2)求乙车返回时y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)求甲车到达B市时乙车己返回A市多长时间？ 12.(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期末)小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后 继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点，如图折线OABC和线段DE分 别表示小明和观光车离开景区入口的距离y(m)与小明步行时间x(min)之间的关系.根据图象解决下列问题 个y/m 3000 1800 A B 1200 0 8 D 1923 31 x/min (1)观光车的行驶速度为 m/min, 点D的坐标为： (2)求线段BC对应的函数表达式： 5/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 13.(24-25八上·辽宁沈阳·期末)甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y(米) 与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： y(米) 5000 (终点) 2000 10 1620x(分) (1)】 先到达终点（填“甲”或“乙”）； (②)根据图象，求出甲的函数表达式； (3)求何时甲乙相遇？ (4)根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米、 14.(24-25八上·辽宁丹东凤城期末)小王骑自行车从A地出发前往B地，同时小李步行从B地出发前往A 地，如图的折线OPQ和线段EF,分别表示小王、小李两人与A地的距离yy与他们所行时间x() 之间的函数关系，且OP与EF相交于点M ◆y(km) 0 M 0.5 2 x(h) (I)求线段OP对应的y与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）； (2)求yz与x的函数关系式以及A,B两地之间的距离； (3)直接写出经过多少小时，甲、乙两人相距3am. 15.(2425八上·辽宁丹东东港·期末)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距 离y与t的对应关系如图所示： 6/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/km 300 甲 5:006:009:0010:007 (I)A、B两城之间距离是多少千米？ (2)求乙车出发多长时间追上甲车？ (3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米， 考点02 最大利润问题 “、 解答题 1.(24-25八上辽宁沈阳沈河区·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们 喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B 型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元， (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销 售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆， 才能获得最大利润？最大利润是多少？ 2.(24-25八上·辽宁沈阳·期末)某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计 划 (1)“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图 书多花120元，请求出A、B图书的标价： (2)“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A、B两种图书 进价分别为20元、18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使 利润最大，最大是多少？ 3.(24-25八上辽宁丹东凤城期末)五和超市购进A、B两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表 饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱） A 25 35 B 35 50 7/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若该超市花了6500元进货，求购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)设购进A种饮料a箱(50≤a≤100)，200箱饮料全部卖完可获利润W元，求W与a的函数关系式，并 求购进A种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 4.(24-25八上辽宁沈阳法库县期末)为了缓解环境污染的问题，某地禁止燃油助力车上路，于是电动自行 车的市场需求量日渐增多，某商店计划购进A,B两种型号的电动自行车（两种型号都要购进）共30辆， 其中A型电动自行车不少于10辆，A,B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分 别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车x辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利 润y元. (1)求出y与x之间的函数关系式. (②)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 5,(24-25八上辽宁沈阳皇姑区·期末)我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如下表 所示： 进价（元/件〉 售价（元/件） 甲种商品 15 20 乙种商品 25 35 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元， (I)求y与x的函数关系式： (2)若该商场计划最多投入1500元，则最大利润是多少元？ 6.(24-25八上·辽宁沈阳雨田实验中学.期末)某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水 果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/kg) 售价（元/kg) 甲 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果5kg和乙种水果10kg需要160元；购进甲种水果12kg和乙种水果5kg需要156元.求x,y 的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完1000kg两种水果获利w（元)与销售甲种 水果的数量m(kg)的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量mkg不超过200kg的情况下，平台每天获利 8/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 能否达到2500元？ 7.(23-24八上辽宁丹东·期末)丹东市某商场销售A,B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示： A B 进价（元/台） 1200 1300 售价（元/台） 1500 1700 (1)若该商场用25000元购买A,B两种空调，全部销售完后可获利7000元，则该商场购进A,B两种空调 各多少台？ (2)若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台(4≤m≤10且m为整数)，当把购进的两种 空调全部售出，求为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？ 8.(24-25八上·辽宁盘锦大注区第二中学·期末)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐 成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B 型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元. (1)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (②)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮 助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在(2)的购 买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 考点03 方案问题 一、 单选题 1.(24-25八上·辽宁铁岭期末)随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所 需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息判断，下列说法错误的是() /元 甲 300 B 100 20文7次 A,甲种消费卡为20元/次 B.yz=10x+100 9/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.点B的坐标为(10,200) D.洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算 二、解答题 2.(24-25八上·辽宁沈阳和平区期末)某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售 利润为150元， (1)若上周该商店共销售电脑18台，获得的总利润为2050元，请问A型电脑和B型电脑各售出多少台？（列 方程组解应用题) (②)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑m台，这100台电脑的销售总利润为W元， 求W关于m的函数表达式； (3)在(2)的条件下，当销售总利润要达到13750元，该商店要如何采购两种型号的电脑。 3.24-25八上·辽宁沈阳第一八四中学期末)某校为落实西宁市教育局“教育信息化2.0行动计划”，搭建数字 化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元：购买3台 电子白板和4台平板电脑共需11万元. ()求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共100台，其中电子白板不超过24台，某商家给出了 两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买1台电子白板，送1台平板电脑.若购 买电子白板a台和平板电脑所需的费用为w(万元)，请根据两种优惠方案分别写出w关于α的函数表达式， 并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱， 4.(24-25八上·辽宁朝阳建平县·期末)为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学 买奖品，要求每人一件.小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择，如果买4个笔记本 和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元. (1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？ (2)售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠， 若买x(x>0)支钢笔需要花y元，请你求出y与x的函数关系式； (3)在(2)的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱. 5.(24-25八上·辽宁铁岭·期末)【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择， 套餐A:按月收取租费15元，此外每分钟的费用是0.1元： 套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.15元 10/23