精品解析：山东省济南第一中学2025-2026学年高三上学期期中学情检测数学试题

济南一中2023级高三上学期期中学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A. B. C. 50 D. 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位得到的图象 11. 已知函数，.（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，是增函数 C. 当时，直线与曲线相切 D. 当时，只有一个极值点，且 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设实数，函数为奇函数，则______________. 13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________. 14. 设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设为正常数，若对定义域内的任意实数都有成立，求实数的取值范围. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2023级高三上学期期中学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解不等式得集合和，再利用集合的交集运算即可求解 【详解】或， ∴. 故选：A. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，结合已知命题求出其否定，进而判断选项． 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 全称量词命题的否定为，故D正确． 故选：D． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 5. 设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 6. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A. B. C. 50 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，判断函数是周期为的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值. 【详解】由函数为定义在的奇函数，得，. 由，得，即 所以， 故函数是周期为的周期函数. 因为，所以，， ， 所以， 所以. 故选：D. 8. 若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式恒成立，且， 分离参数得，所以，即， 设，得，，设，，则. ，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以. 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 直线是曲线的一条对称轴 D. 将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，在上单调递增，B对； 对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错； 对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，D对. 故选：BD. 11. 已知函数，.（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，是增函数 C. 当时，直线与曲线相切 D. 当时，只有一个极值点，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，，求导，借助零点存在性定理求出单调性，并求出，据此判断A B；当时，，求导，将代入得斜率，又因为，代点斜式求出切线方程，继而判断C；结合导函数的单调性及零点存在性定理判断D. 【详解】当时，，则，在上为增函数，且，所以在上存在唯一的零点m，则，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而没有零点，故A正确，B错误. 当时，，则，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，所以C正确. 因为在上为增函数，且所以只有一个极值点，且，所以D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设实数，函数为奇函数，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 13. 如图，函数 的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式. 【详解】由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则， 即. 故答案为：. 14. 设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设为正常数，若对定义域内的任意实数都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，确定减区间； （2）令，定义域是，求导函数，由导函数确定单调性得最小值，然后解相应不等式可得参数范围． 【详解】解：（1）因为， 解，得；解，得. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，定义域是. ， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减：在上单调递增， 故函数的最小值是，解得. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式逆用以及商数关系化简运算即可求解； （2）由平方后结合基本不等式得，进一步结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则， 故， 因为，，， 所以，又，所以． 【小问2详解】 因为BC边的中线长为2，所以，两侧平方可得， 即，解得，当且仅当时取等号， 所以，可得， 所以a的最小值为． 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 19. 已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 【答案】（1）， （2）证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $