专题05 圆与函数、几何综合 6大高频考点（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题05 圆与函数、几何综合 6大高频考点概览 考点01 圆与内接四边形 考点02 圆与正多边形 考点03 圆与三角形 考点04 圆与四边形 考点05 圆与函数 考点06 圆与最值问题 地 城 考点01 圆与内接四边形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 2、 填空题 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若的度数为，则的度数为 ． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为 3、 解答题 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数．    9．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，点E、F分别是弦AD、DC上的点． （1）若∠ABE=∠CBF，BE=BF．求证：BD是⊙O的直径． （2）若，∠D=2∠EBF=90°，AE=ED=2．求DF的长． 地 城 考点02 圆与正多边形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）    A．1 B．3 C． D． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ） A．2mm B． C． D．4mm 2、 填空题 14．（24-25九年级上·福建厦门·期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 地 城 考点03 圆与三角形 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． (1)求证：是的切线； (2)当点在上什么位置时，？求出此时的值． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)写出与的关系：________； (2)求证：是的切线． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，点是的边上的点，，点是上的点，与边，分别相交于点，，点在边上且. (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长. 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)若，设的面积为， 的面积为，，求的值． (3)求证：． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，等腰内接于，，点D为劣弧上一点，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求四边形的面积． 地 城 考点04 圆与四边形 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末））如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 地 城 考点05 圆与函数 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则 ．    2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 地 城 考点06 圆与最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段的中点，连接，．则线段的最大值是 ． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆与函数、几何综合 6大高频考点概览 考点01 圆与内接四边形 考点02 圆与正多边形 考点03 圆与三角形 考点04 圆与四边形 考点05 圆与函数 考点06 圆与最值问题 地 城 考点01 圆与内接四边形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质； 先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形对角的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补以及圆周角定理逐项判断即可． 【详解】解：根据图形发现：，故A、B项错误； ∵四边形内接于， ∴，故项正确； ∵，， ∴，故D项错误． 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念得到，得到． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 则与一定相等的是， 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 2、 填空题 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，邻补角的性质，同角的补角相等，先通过圆周角定理得，又四边形是圆内接四边形， 则，再由邻补角得，最后根据同角的补角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为 【答案】56 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， ， ， ． 故答案为：56． 3、 解答题 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．根据题意可知四边形是的内接四边形，推出，结合，可求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：四边形的四个顶点都在上， ， ， ， ， ． 9．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【详解】 （1）证明：连结OA． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD．    ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA． ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA．   ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE．         ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F． ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形． ∴OF＝AE＝4cm． 又∵OF⊥CD， ∴DF＝CD＝3cm． 在Rt△ODF中，OD＝＝5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，点E、F分别是弦AD、DC上的点． （1）若∠ABE=∠CBF，BE=BF．求证：BD是⊙O的直径． （2）若，∠D=2∠EBF=90°，AE=ED=2．求DF的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）． 【详解】试题分析：（1）首先证明△ABE≌△BCF，得到∠A=∠C，再根据圆内接四边形的性质，得到∠A+∠C=180°，由圆周角定理即可得到结论； （2）首先证出四边形ABCD是正方形，如图2，延长DA到G，使AG=CF，推出△ABG≌△CBF，△GBE≌△FBE，根据勾股定理列方程即可得到结论． 试题解析：（1）证明：∵， ∴AB=BC， 在△ABE与△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF， ∴∠A=∠C， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠A=∠C=90°， ∴BD是⊙O的直径； （2）解：∵，， ∴，AB=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠D=90°，∠D+∠B=180°， ∴∠B=90°， ∴∠A=∠B=∠D=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD， ∵AE=ED=2， ∴AD=CD=4， 如图2，延长DA到G，使AG=CF， 在△ABG与△CBF中， ， ∴△ABG≌△CBF， ∴BG=BF，∠1=∠2， ∵∠EBF=45°， ∴∠2+∠ABE=45°， ∴∠1+∠ABE=45°， ∴∠GBE=∠EBF， 在△GBE与△FBE中， ， ∴△GBE≌△FBE， ∴GE=EF， 设DF=x，则AG=CF=4-x， ∴EF=GE=4-x+2=6-x， 在Rt△EFD中，EF2=DE2+DF2， ∴（6-x）2=22+x2 ∴x=， ∴DF=． 地 城 考点02 圆与正多边形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）    A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C，      ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，正五边形内接于，连接，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，再根据圆的性质得，从而得到，根据正多边形的性质可得的度数，根据圆周角定理得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：如图，连接， 则有， ∴， 根据正多边形的性质可得：， ∴， 根据圆周角定理可得：， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的有关性质． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ） A．2mm B． C． D．4mm 【答案】D 【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案． 【详解】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 2、 填空题 14．（24-25九年级上·福建厦门·期末）正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，掌握圆心角的计算，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意作图可得，，则有，是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆， 如图所示，，， ∴正六边形每条边所对的圆心角的度数为， ∴是等边三角形， ∴， ∴该正六边形的周长是， 故答案为：6 ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正六边形的中心角为：． 故答案为：． 地 城 考点03 圆与三角形 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． (1)求证：是的切线； (2)当点在上什么位置时，？求出此时的值． 【答案】(1)详见解析 (2)点为中点时，， 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰（等边）三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握圆与三角形的综合知识的运用是解题的关键． （1）连接，得到，则，结合题意得到，即，再根据切线的定义即可求解； （2）根据题意得到为等腰三角形，由等腰三角形的性质得到为的中点，则，所以若，则，此时为中点，设，则，，四边形是平行四边形，则有，，可证为等边三角形，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的半径， 是的切线； （2）解：， 为等腰三角形， ， 为的中点， ， 若，则，此时为中点， 设，则， ， ， ， 由（1）得：， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F； (1)写出与的关系：________； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角，圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角，得到，再结合平行线的性质求解即可； （2）连接，由圆的切线的性质，得到，根据平行线的性质和等边对等角的性质，得出，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 内接于，是直径， ，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， 为切线， ． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又为的半径， 为的切线． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，点是的边上的点，，点是上的点，与边，分别相交于点，，点在边上且. (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线，圆周角定理，三角函数，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）连接，，由，可推出，根据，得到，推出，结合，即可求解； （2）根据题意可求出，设的半径为，则，在中，，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）在，，，， ， 设的半径为，则， 在中，， ， ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)若，设的面积为， 的面积为，，求的值． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得出，进而得出，即可求证； （2）根据相似三角形的性质得出，推出，根据，得出，解得，通过证明，得出，结合三角形的面积公式，即可解答； （3）通过证明，推出，进而得出，根据，得出，则，即可求证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 过点A作于点G，过点C作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，等腰内接于，，点D为劣弧上一点，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据，则可判断为等边三角形； （2）过点B作的延长线于点E，证明，根据，可得，所以，，然后根据，即可解决问题． 【详解】（1）证明： 在中，，且 ∴ 又∵， ∴为等边三角形 （2）如图，过点B作的延长线于点E， ∴ 由（1）得为等边三角形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是灵活运用所学知识． 地 城 考点04 圆与四边形 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末））如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ． 【答案】 【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可． 【详解】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则， 内切于菱形ABCD， 平分 同理得 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 【答案】AOBC是菱形，理由见解析. 【分析】连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可． 【详解】AOBC是菱形，理由如下： 连接OC， ∵C是 的中点 ∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°， ∵CO=BO（⊙O的半径）， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， 同理△OCA是等边三角形， ∴OA=AC， 又∵OA=OB， ∴OA=AC=BC=BO， ∴AOBC是菱形． 【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离 (2)； (3) 【分析】（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，进而根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出的值，进而得出的半径，再根据中位线的性质得出的值，进而得出的值，即可判断与直线的位置关系； （2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，根据中点的性质得出，再根据勾股定理解得的值，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理解得的值，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，求解即可得出答案； （3）过作，交的延长线于点，连接，证明，再根据全等三角形的性质得出，根据线段之间的数量关系得出，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 地 城 考点05 圆与函数 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，直角边在轴上，其内切圆的圆心坐标为，抛物线的顶点为，则 ．    【答案】 【分析】先求出内切圆半径为1，再设，，则，，由直角三角形性质，得，即，根据切线长定理得，，则，化简得，由勾股定理，得，化简得，把①代入②解得：，则，从而求得，再由抛物线的顶点为，而抛物线的顶点为，则，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，其内切圆的圆心坐标为， ∴，，， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴，即， ，化简得， 由勾股定理，得， 化简得， 把①代入②解得：（负值不符合题意，已舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形内切圆，切线长性质，勾股定理，直角三角形性质，二次函数图象性质，求出点坐标是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 地 城 考点06 圆与最值问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接， ∵ ， ∴． ∵为的中点， ∴ ． 又∵点与点关于对称， ∴ ， ∴． 又∵ ， 根据勾股定理得，即的最小值为． 故选：B. 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，为上的一动点，点关于的对称点为，当最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质以及圆的性质，解题的关键是利用轴对称性质确定点的运动轨迹，再根据几何关系求出最小时点的坐标． 根据轴对称性质确定点的轨迹，再结合几何知识求出最小时点的坐标． 【详解】解：因为四边形是正方形，，所以， 因为点关于的对称点为，所以， 即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 要求最小，如图，根据点到圆上一点的距离，当在连线上时，最小， ， ， 过作交于，又， ， ， ， 点的坐标， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，F是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段的中点，连接，．则线段的最大值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，并根据点与圆的位置关系确定当BF为最大时点F的位置是解决问题的关键. 先求出点点，则，由此可证为的中位线，则，要使为最大，只需为最大即可，连接，的延长线交于点，根据点于圆的位置关系可知：点与上各点距离中，为最大，即当点与点重合时，为最大，最大值为然后在中由勾股定理求出 进而得，据此可得的最大值. 【详解】对于 当时, 得: 解得： ， ∴点，点， ， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ， 要使为最大，只需为最大即可，连接，的延长线交于点，如图所示: 根据点于圆的位置关系可知：点与上各点距离中，为最大， 即当点与点重合时，为最大，最大值为， ∵点， ， 在 中，由勾股定理得：， ∵的半径为， ， ， ∴的最大值为. 故答案为: ． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键． 由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ， ， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设的中点为， 为的直径， 如图，在的延长线上取，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，连接， ，即， 的最小值为； 故答案为： ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $