专题04 圆及其性质 5大高频考点（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题04 圆及其性质 5大高频考点概览 考点01 利用圆的性质求角度 考点02 利用圆的性质求线段长 考点03 扇形弧长与面积 考点04 相切的性质及证明 考点05 与圆有关的尺规作图 地 城 考点01 利用圆的性质求角度 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的直径，是上的一点．若，则（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，弦，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 2、 填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ． 7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点是的中点，以为圆心，长为半径作弧，交，于点，，连接，，设，，则与满足的数量关系是 ． 3、 解答题 9．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作交的延长线于点D，点E在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 11．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 地 城 考点02 利用圆的性质求线段长 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）看似简单的数学公式背后蕴含着深刻的设计智慧．跑道弯道设计既要保证运动员比赛时的安全性，又要确保不同跑道之间的距离差异最小化，从而公平地反映每位参赛者的实力．高小新同学对厦门高新田径场第一道跑道的弯道进行了测试．如图，他测得该跑道在拐弯处的弦，弓形的高度，则对应弯道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是直径，是弦，点E在弦上．是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是 ． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为上两点，于点，且，则的长是 ．    7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点E、D，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的半径． 10．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． 11．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，是的直径，弦交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 地 城 考点03 扇形弧长与面积 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）将一个以10为半径的半圆，围成一个圆锥，则该圆锥的高是（    ） A．5 B． C． D．10 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在扇形纸片中，，、点是半径上的点、沿直线折叠得到，点的对应点落在上，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）    6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正方形的边长为6，它的中心为O，的半径为2，于O，点E，F分别在上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是直径延长线上一点，过点作的切线，切点为，连结，若，的半径为，求的长.   8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，是的外接圆，，直径交于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 地 城 考点04 相切的性质及证明 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和，均相切，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25九年级上·福建三泉州·期末）如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点 E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 8．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接．    (1)当，时，求的长． (2)求证：是的切线． 地 城 考点05 与圆有关的尺规作图 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，． (1)在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在正方形中，是边上的点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规在图中求作，使得与均相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相切于点，连接，若，求的半径． 4．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． (1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，请按以下要求完成本题： (1)请作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）： (2)若在中，的直径交于E，求的度数． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆及其性质 5大高频考点概览 考点01 利用圆的性质求角度 考点02 利用圆的性质求线段长 考点03 扇形弧长与面积 考点04 相切的性质及证明 考点05 与圆有关的尺规作图 地 城 考点01 利用圆的性质求角度 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的直径，是上的一点．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，=， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同圆中，同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：内接于圆，点在上，连接，． ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于． 由是的直径，得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，弦，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理与平行线的性质． 根据平行线的性质可求出，进而根据圆周角定理可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 2、 填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据垂径定理，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵过点O 作交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键；因此此题可根据“圆内接四边形的对角互补”进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，且， ∴； 故选． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点是的中点，以为圆心，长为半径作弧，交，于点，，连接，，设，，则与满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，能根据题意用和分别表示出是解题的关键．根据题意，得出，进而可以用表示出，再用表示出即可解决问题． 【详解】解：， ． ，， ，， ，， ， ． 又，， ， ． 即． 故答案为：． 3、 解答题 9．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作交的延长线于点D，点E在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角得到，则,由题意可知 ，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，据此即可证明； （2）先在直角三角形中，利用内角和得出，则，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）由条件可知， ， ． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． (1)若，求的度数； (2)若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 地 城 考点02 利用圆的性质求线段长 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得，掌握知识点的应用及能根据题意添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故选：． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）看似简单的数学公式背后蕴含着深刻的设计智慧．跑道弯道设计既要保证运动员比赛时的安全性，又要确保不同跑道之间的距离差异最小化，从而公平地反映每位参赛者的实力．高小新同学对厦门高新田径场第一道跑道的弯道进行了测试．如图，他测得该跑道在拐弯处的弦，弓形的高度，则对应弯道所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．设圆弧圆心为O，连接，，根据垂径定理，勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，设圆弧圆心为O，连接，， ∵是弓形的高， ∴，， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴对应弯道所在圆的半径为长为36m 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是直径，是弦，点E在弦上．是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的中位线定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆周角定理可得，根据平行四边形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，，最后证出点共线，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴点共线， ∴， 即的半径是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，求出，在中利用勾股定理求出，再由垂径定理求出即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长． 【详解】解：∵是半径，是的弦，且于点， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 故答案为：16． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为上两点，于点，且，则的长是 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点E、D，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据相等的圆心角所对的弧相等证明即可； （2）先由等腰三角形三线合一的性质得出长度，再由勾股定理得出长度，再利用求解即可． 【详解】（1）∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∴． 9．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理. （1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解； （2）根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵为的直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点E是弦的中点， ∴ 设半径为， 在中，由勾股定理得， 解得． 10．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，延长交于E，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为r，根据勾股定理列方程得到，从而得出结果． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设的半径为r， ，， ， 在中，， 解得： ． 11．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，是的直径，弦交于点E，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是的直径，得出，再根据圆周角定理得出，即可求解． （2）连接，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，从而得出，等角对等边得出．设，则，．在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵． ∴． （2）解：连接， ∵，是的直径， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则，． 在中，， ∴． 解得：（负值舍去）． ∴． 地 城 考点03 扇形弧长与面积 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）将一个以10为半径的半圆，围成一个圆锥，则该圆锥的高是（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：设圆锥底面的半径是r，则，解得：． 则圆锥的高是：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在扇形纸片中，，、点是半径上的点、沿直线折叠得到，点的对应点落在上，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据折叠的性质得出，，则是等边三角形，，根据得出是等腰直角三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴，， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，则 ∵，   ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，求扇形面积，证明是等边三角形，是解题的关键． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，是解题的关键．连接，过点作垂直于，易得阴影部分的面积等于的面积，勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接，过点作垂直于，    ∵菱形的边长为6，， ∴，， ∴均为等边三角形，且面积相等均等于菱形面积的一半， ∴， ∴， 由题意，得：弓形，弓形， ∴弓形弓形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正方形的边长为6，它的中心为O，的半径为2，于O，点E，F分别在上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求扇形面积，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点是直径延长线上一点，过点作的切线，切点为，连结，若，的半径为，求的长.   【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角，弧长公式，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，继而得到，求出，根据弧长公式计算即可得到答案． 【详解】连接， 切于点， ， ， ， ， ， ∴， ， 的长 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【分析】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得． 【详解】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角形内角和定理、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质即可解题． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，是的外接圆，，直径交于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易证，即得出，再根据等边对等角即可证，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）结合（1）可求出，再根据圆周角定理可求出，即易证为等边三角形，得出，，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接．    ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 10．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得弧的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【详解】（1）相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． 地 城 考点04 相切的性质及证明 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，圆心在上，与相切，为切点．则的（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∴， ∴， ∵与相切，为切点， ∴, ∴． 故选C． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，D为边的中点，以上一点O为圆心的和，均相切，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积．注意运用切线的性质来进行计算或论证，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 首先过点O作于点E，于点F根据切线的性质，可知、是的半径；然后由三角形的面积间的关系，列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可． 【详解】解：过点O作于点E，于点F， 、是的切线， 点E、F是切点， 、是的半径； ， 在中， ，，， 根据勾股定理，得， D是边的中点， ， 又， ， 即， 解之得： 故选：A 3．（24-25九年级上·福建三泉州·期末）如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得出，从而可求出，再根据圆周角定理即可求出． 【详解】解：如图，连接．    ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，结合，可得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：42． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °． 【答案】32 【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可． 【详解】解：连接OA， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， ∴∠O=90°-∠P， ∵∠P=26°， ∴∠O=64°， ∴∠C=∠O=32°． 故答案为：32． 【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接，利用垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质证明，可以得到要使最小，则的直径要最小，过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，则的直径要最小， 过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确确定最小值时的情形是解题的关键． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点 E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接．利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）设，则，， ，根据勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的证明和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，连接． 设，则，， ， 由， 根据勾股定理，得， 解得，（舍去）， 故， 故的半径为3． 8．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，是的直径，点，在半圆上，，，垂足为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，交于，证明四边形是矩形，得出，即； （2）在中，勾股定理求得，在矩形中，，，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，，交于， 则． 又， 垂直平分， ． 是直径， ， ． ， ． 四边形是矩形 ，即． 是的切线 （2）解：在中，， 由（）得垂直平分， 又， ， ， ． 在矩形中，，， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，以菱形的边为直径作交于点，连接，是上的一点，且，连接．    (1)当，时，求的长． (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴ （2）证明：连接，如图所示：      ∵是直径， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法． 地 城 考点05 与圆有关的尺规作图 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，． (1)在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相切，见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，垂直平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线， （1）利用垂直平分线的性质即可判断； （2）连接，证明出即可． 【详解】（1）如图即为所求． 作的垂直平分线交延长线于点，以点为圆心，为半径作圆． （2）直线与相切． 证明：如图所示，连接． 在中，， ． ． 经过点，， ． ． ，即． 点在上， 直线与相切． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查作图一复杂作图，过圆外一点作切线，圆周角定理等知识. （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据切线的性质以及圆周角定理解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示直线，就是所求作的切线， （2）解：∵，是的切线 ∴， ∴， ∴ 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在正方形中，是边上的点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规在图中求作，使得与均相切；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设与相切于点，连接，若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质及切线性质定理是解题的关键． （1）作的平分线与的交点即为点，以为圆心，的长为半径作即可； （2）根据切线的性质定理及正方形的性质求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，设的半径为 ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∵平分，，， ∴ ∴， 解得，即的半径为． 4．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C． (1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)设是等腰三角形，底边cm，腰cm，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据，的垂直平分线来确定圆心． （2）本题可通过构建直角三角形来求解．连接交于．先求出的值，然后在直角三角形中，用半径表示出，，然后根据勾股定理求出半径的值． 【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． （2）连接交于，连接． ， ，（cm）， 在中，（cm）， 设的半径为cm，在中， ，即， ， ． 所以所求圆的半径为cm． 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知，请按以下要求完成本题： (1)请作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）： (2)若在中，的直径交于E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作三角形两边的垂直平分线的交点为外心，再以外心到顶点的距离为半径作圆； （2）连接，再根据圆周角定理和三角形的外角定理求解． 【详解】（1）如图所示为所求作的的外接圆； （2）连接． 是的直径， 又 又 ， 故的度数为． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的外接圆，圆周角定理和三角形外角的性质是解题的关键． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：垂直且平分， ， ． ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键， （1）在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 过点 作于， 交优弧于点， 交于， 则 ，，， 设， 则， ， 在中，， ∴， ， 解得， ∴拱门的圆弧半径为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $