专题06 二次根式篇 2026学年九年级数学中考第一轮复习(全国通用版)

专题06 二次根式考点一：二次根式定义与有意义的条件 1、二次根式的定义： 形如的式子叫做二次根式。 2二次根式有意义的条件： 二次根式的被开方数大于等于0。即中，。 （例题讲解） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． （练习题） 2．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 3．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 4．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 6．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 7．如果，那么的值是 ． 8．当=－1时，二次根式的值是 ． 9．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． （例题讲解）考点二：二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质： ①二次根式的双重非负性： 二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。即。 二次根式的被开方数是一个非负数，恒大于等于0。即中，。 几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 初中三大非负数：、、。 若，则。 ② ③ 10．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． （练习题） 11．下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 12．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 13．如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 14．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 15．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 16．计算： ； ． 17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 18．比较大小： ， ． 19．已知函数，则该函数的最小值是 ． 20．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 考点三：二次根式的运算与化简 1、同类二次根式： 被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。 2、最简二次根式： 最简二次根式满足的条件： ①被开方数不含开方开的尽的数或式子。 ②被开方数不含分母。 ③分母里面不含根号。 三点同时满足，缺一不可。 3、二次根式的加减运算： （类比同类项的加减运算） 4、二次根式的乘除运算： ①乘法运算：。推广：。 ②乘法逆运算：。 ③除法运算：。推广：。 ④除法逆运算：。 5、二次根式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 6、二次根式的分母有理化： 在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。 ①。 ② （例题讲解） 21．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． （练习题） 22．小华的作业本上完成了四道题：①；②；③；④，她做对的题有（ ）道 A．3 B．2 C．1 D．0 23．计算的值是（ ） A． B． C． D． 24．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 25．数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为 ． 26．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 27．已知，则 ． 28．已知：，，，， ，其中为正整数，则（） ；（）的值是 ． 29．计算 (1)； (2)． 30．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：___________； (2)观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； (3)计算：（提示：）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式考点一：二次根式定义与有意义的条件 1、二次根式的定义： 形如的式子叫做二次根式。 2二次根式有意义的条件： 二次根式的被开方数大于等于0。即中，。 （例题讲解） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、不含根号，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选C． （练习题） 2．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 3．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 4．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 5．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 6．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 7．如果，那么的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件推出，进而得到，再进行乘方运算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2025 8．当=－1时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【详解】试题分析：根据二次根式的特点，把x=-1直接代入即可得到==3. 9．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． （例题讲解）考点二：二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质： ①二次根式的双重非负性： 二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。即。 二次根式的被开方数是一个非负数，恒大于等于0。即中，。 几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0。 初中三大非负数：、、。 若，则。 ② ③ 10．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． （练习题） 11．下列从左到右的变形不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 12．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、整式的加减混合运算．根据的取值范围可判断得出，，根据二次根式的性质即可化简原式，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 13．如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，连接， 则， ， ， ， 故选：A． 14．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 16．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用运算法则运算求解即可． 【详解】解：； 故答案为：；． 17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 18．比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，利用二次根式的性质化简，再进行比较即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：，． 19．已知函数，则该函数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设．则原函数可以化为．根据二次函数的最值即可求出结果． 【详解】解：设，则， ， 当，即时，，该函数取最小值． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值．解题关键是根据将原函数转化为二次函数求解． 20．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 考点三：二次根式的运算与化简 1、同类二次根式： 被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。 2、最简二次根式： 最简二次根式满足的条件： ①被开方数不含开方开的尽的数或式子。 ②被开方数不含分母。 ③分母里面不含根号。 三点同时满足，缺一不可。 3、二次根式的加减运算： （类比同类项的加减运算） 4、二次根式的乘除运算： ①乘法运算：。推广：。 ②乘法逆运算：。 ③除法运算：。推广：。 ④除法逆运算：。 5、二次根式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 6、二次根式的分母有理化： 在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。 ①。 ② （例题讲解） 21．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算；选项A和B涉及加减法，需同类根式才能合并；选项C和D涉及乘除法，需遵循二次根式运算法则，仅选项C计算正确． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误． 故选：C． （练习题） 22．小华的作业本上完成了四道题：①；②；③；④，她做对的题有（ ）道 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的性质和减法运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【详解】解：∵ ① （∵ ），∴ 正确； ∵ ② ，∴ 正确； ∵ ③ 由可得，那么，∴ 正确； ∵ ④ ，∴ 错误； ∴ 做对的题有①②和③，共3道， 故选：A． 23．计算的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题关键．运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ； 故选D． 24．如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键． 把代入程序计算即可得到输出结果． 【详解】解：若输入的值为， ， 故选：C． 25．数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为 ． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的应用与长方形、正方形的面积计算，熟练掌握二次根式是解题关键． 先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积． 【详解】一个面积为的正方形纸片， 边长为：， 原长方形的长为：，宽为：， 原长方形纸片的面积为：． 故答案为 ． 26．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 27．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．由已知条件得到，则根据二次根式的性质化简得原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 28．已知：，，，， ，其中为正整数，则（） ；（）的值是 ． 【答案】 【分析】（）根据求出的值，再根据算术平方根求解即可； （）根据的值可得，即得到，再代入算式计算即可求解； 本题考查了算术式平方根的定义，二次根式的化简求值，由已知等式找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 29．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】本题考查的知识点是二次根式的四则混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据二次根式的四则混合运算法则即可得解； （2）根据二次根式的四则混合运算法则即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 30．阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：___________； (2)观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $