5.3一元一次方程的应用（第2课时）（教学课件）数学北师大版2024七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，以“盈不足”问题为核心。通过回顾列方程解应用题步骤，结合《九章算术》经典问题导入，新知探究用问题链与表格梳理数量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合数学文化与模型观念，以《九章算术》问题贯穿，通过表格分析法培养抽象能力。例题、拓展题及中考真题分层设计，小结强调等量关系挖掘，助力学生形成结构化思维，教师可直接使用，提升教学效率。

第五章 一元一次方程 第2课时 5.3一元一次方程的应用 学 习 目 标 1 2 3 经过“盈不足”问题的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力; 体会方程的两边就是同一个量或相等的量的不同表达，选择某个量，用不同的表达式去表示它，就可得到相应的方程。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念; 体会一元一次方程的应用价值。 知识回顾 列方程解应用题的一般步骤： 审：分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系。 找：找等量关系（列方程的关键）； 设：设未知数，一般是求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； 列：把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； 解：求出未知数的值； 验：看方程的解是否正确以及是否符合题意； 答：写出答案（包括单位）。 新知导入 《九章算术》“盈不足”章第一题： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? 题目大意： 分物问题 有结余 不够分 盈不足 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 议一议 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? （1）问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量： 第一次每人出的钱数、剩余的钱数， 第二次每人出的钱数、不足的钱数。 问题中的未知量有： 人数，第一次出钱总数， 物价，第二次出钱总数， 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 议一议 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? （2）已知量和未知量它们之间有怎样的等量关系？ 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? 等量关系 第一次每人出的钱数×人数=第一次出钱总数 第二次每人出的钱数×人数=第二次出钱总数 第一次出钱总数-剩余的钱数=物价 第二次出钱总数+不足的钱数=物价 问题涉及三要素： 每人出的钱数、人数、总钱数 物价是变化过程中的不变量 不变量 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 议一议 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? （3）设人数为 x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数     出钱总数   物价     x x 8x 7x 8x －3 7x＋ 4 第一次出钱总数－剩余的钱数=物价 第二次出钱总数＋不足的钱数=物价 利用表格分折数量关系更加清晰明了,是一种有效方法。 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 议一议 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数     出钱总数   物价     x x 8x 7x 8x －3 7x＋ 4 （4）根据等量关系，你能列出怎样的方程? 解：设人数为x，由题意得 　 解这个方程，得 ：x ＝7 ∴物价（钱） 物价不变 答：人数为7，物价为53钱. 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 议一议 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何? 几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少? （5）如果设物价为y 钱，你能列出怎样的方程？ 有关量 每人出8钱 每人出7钱 物价 出钱总数 人数 y y 人数不变 第一次每人出的钱数×人数=第一次出钱总数 第二次每人出的钱数×人数=第二次出钱总数 可列出方程 新知探究 探究点1 “盈不足”问题 归一归 利用表格可以帮助分析问题中的相等关系,是列方程的常用方法 解方程 一元一次方程的解（x=a) 双检验 实际问题的答案 设未知数、 列方程 一元一次方程 实际问题 探究点1 “盈不足”问题 典例分析 例1《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百：人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何?题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱：每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数   出钱总数     金价   设人数为x ，你能把下表补充完整吗？ 【分析】 11 探究点1 “盈不足”问题 典例分析 例1《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百：人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何?题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱：每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 解:设合伙人数为，由题意得： . 解这个方程,得： . . 有关量 每人出400钱 每人出300钱 人数   出钱总数     金价   答：人数为33,金价为9800钱。 归纳:按照前面解决情境问题的思路列出已知量和未知量，并利用表格分析各个量之间的关系，进而根据等量关系列出方程。 12 探究点1 “盈不足”问题 典例分析 有关量 每人出400钱 每人出300钱 金价 出钱总数 人数 例1《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百：人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何?题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱：每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 设金价为y钱，能列出怎样的方程？ y y 解：设金价为y钱，由题意可得： 解这个方程,得： ∴ （人） 答：人数为33,金价为9800钱。 13 探究点1 “盈不足”问题 典例分析 例3．某公路桥收费站的收费标准是大客车20 元，大货车 10元，轿车 元．某天通过收费站的大客车数量是大货车的 ，大货车数量是轿车数量的 ，当天这三种车辆共收费8900 元．问这天通过收费站的三种车各是多少辆？ 解：设轿车数量为辆，则大货车数量为 辆，大客车数量为 辆， 根据题意得： ， 解得： ∴大货车数量： 280辆， 大客车数量： 200 辆， 答：通过轿车数量为 420辆，大货车数量为 280辆，大客车数量为 200辆． 14 拓展提升 1．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元． (1)根据题意列出方程． (2)在 中，哪一个是（1）中所列方程的解． (3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子 ．请用含的式子分别表示出小张在 两家购买苹果和橘子所花的费用． 解： （1）设橘子的单价为元，苹果单价为 元， 根据题意得: ． 拓展提升 1．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元． (1)根据题意列出方程． (2)在 中，哪一个是（1）中所列方程的解． (3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子 ．请用含的式子分别表示出小张在 两家购买苹果和橘子所花的费用． （2）解：把分别代入， 当 时，左边 ，右边 ， 等号的左右两边不相等，所以 不是方程的解； 当时，左边 ，右边 ． 等号的左右两边不相等，所以 不是方程的解； 当 时，左边 ，右边 ， 等号的左右两边相等，所以是方程的解． 拓展提升 1．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元． (1)根据题意列出方程． (2)在 中，哪一个是（1）中所列方程的解． (3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子 ．请用含的式子分别表示出小张在 两家购买苹果和橘子所花的费用． （3）解：由（2）知，橘子每千克8元，苹果每千克20元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为： 元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为： 元． 巩固练习 教材P150 随堂练习 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两) 解：设一共x人，则银子可表示为(7x+4)两或(9x-8)两 根据题意列方程得 : 7x+4=9x-8 解得: x=6 ∴7x+4=7×6+4=46(两) 答：有6人，有46两银子. 方法一： 巩固练习 教材P150 随堂练习 隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤. 问：人、银各几何？ (选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两. 有多少个人？有多少两银子？(1斤=16两) 解：设有两银子，根据题意，得: 解得: =46 （人） 答：有46两银子，有6人. 方法二： 真题感知 解：根据题意得：9x﹣11＝6x+16， 解得：x＝9． 1．（2025•德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（　　） A．5 B．7 C．8 D．9 D 真题感知 解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3- x ） 2．（2025•内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D．= B 真题感知 3．（2025•吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　 　 ． 解：依题意，得：3（x﹣2）＝2x+9． 3（x﹣2）＝2x+9 课堂小结 利用表格可以帮助分析问题中的相等关系,是列方程的常用方法 盈不足问题 数学问题 （一元一次方程） 表格分析 寻找等量关系 读懂题意，分析出题中的数量关系 通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程． 课后练习 6.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣. 若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1 h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣. 该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 解：设该物流中转站配置了x套分拣设备根据题意，得： 3.5x+4＝4x+1 解得 ：x＝6 答：该物流中转站配置了6套分拣设备 习题5.3 教材P155 课后练习 7.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱. 家数、牛价各是多少？ 解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱 根据题意列方程得= 解得 ：x=126 =3750(钱) 答：一共有126家，牛价为3750钱. 习题5.3 教材P155 感谢聆听! $