精品解析：浙江省金砖联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

浙江省金砖联盟2025学年第一学期期中 高二年级数学学科试题 命题：杭州市余杭第二高级中学 审核：东阳市第二高级中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简，结合复数的定义求出. 【详解】，虚部. 故选：C 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率不存在可得. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角是. 故选：D 3. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 4. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【详解】在三棱柱中，. 故选：B 5. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据正弦定理化简可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 在中，，则，即， 又，则， 由余弦定理得，，则， 即，则，则， 所以. 故选：B 6. 正三棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先计算出正三棱台的高，然后根据棱台的体积公式求解出结果. 【详解】由题意，正三棱台上下底面的中心为， 连接，过作交于点， 因为，所以， ， 因为垂直于上下底面，且，所以， 则四边形为矩形， 所以， 又因为， 所以，所以， 又因为，， 所以正三棱台的体积为. 故选：D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】先求直线过定点，再求圆的圆心坐标、半径，最后求弦长的最小值即可. 【详解】由，则， 则，故，即定点， 由题意可得圆心,半径， 设圆心到直线的距离为，则, 所以， 则. 故选：C 8. 已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据外接球的表面积求出外接球半径为，过点作平面，垂足为，连接，由题设易得，，球心O在上，根据余弦定理可求得，再根据正弦定理、余弦定理及基本不等式求得，进而求得三棱锥的体积的最大值. 【详解】设球O半径为， 由题意，得，所以， 过点作平面，垂足为，连接， 因为，，与平面所成的角均为， 所以，则，， 则球心O在上，如下图所示： 又，， 则，解得， 由，， 所以，则， 即， 由正弦定理，得，显然， 则， 即， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的体积. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解学生周末的日均健身时长（单位分钟），随机抽取10位同学进行调查，得到数据如下：20，50，35，50，65，80，65，80，65，110，下列说法正确的是（ ） A. 众数是65 B. 平均数是62 C. 上四分位数是80 D. 方差是342.5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差以及上四分位数的定义求解判断即可. 【详解】由题设，众数是65， 平均数为， 方差为 ， 将数据从小到大排列为：20，35，50，50，65，65，65，80，80，110， 由于，则上四分位数是80. 故选：ABC 10. 在正四棱柱中，，是的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成的角为 C. 对角线与平面所成的角为 D. 四面体的体积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量公式可判断A；根据线面角的向量公式可判断B，C；根据体积转化法以及棱锥的体积公式可判断D. 【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 对于A，，所以与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为为正方形，所以，因为平面，平面， 所以，又因为平面，，所以平面， 即为平面的一个法向量，， 所以与平面所成的角为，故B正确； 对于C，设平面的一个法向量为，则， 取，则，， 所以对角线与平面所成的角不为，故C错误； 对于D，因为，平面，平面，所以平面， 所以四面体的体积. 故D正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 存在点使得 B. 最大值为4 C. 当直线垂直于时，三角形的周长为8 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AD，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示求得，进而求解判断即可；对于B，根据椭圆定义可得，再结合基本不等式求解判断即可；对于C，由直线垂直于可得，，再根据椭圆定义求解判断即可. 【详解】对于AD，由椭圆，则， 即， 设，，则，即， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，故D正确， 显然，则不存在点使得，故A错误； 对于B，根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B正确； 对于C，由于， 当直线垂直于时，可得直线垂直平分，即，， 所以的周长为： ，故C正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名同学独立破译同一组密码，甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则这组密码被破译的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，， 则甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为． 故答案为：． 13. 圆心在上，经过点，与直线相切的圆方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式建立关系求出圆心和半径可得圆方程. 【详解】因圆心在上，可设圆心， 则圆心到直线的距离为， 圆心到的距离为， 则，得， 则圆心为，半径为， 故圆方程为. 故答案为： 14. 已知,分别是双曲线的左、右焦点，,为双曲线的两条渐近线，设过点且平行于的直线交于点,若,则该双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出直线,联立后求出交点,由题可知为焦点三角形的直角顶点，因此点到原点的距离为焦距的一半，列出方程后即可求解. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设,,联立, ,得交点. , 是以为直角顶点的直角三角形. 又原点是的中点， . 因此有① 又 因此①式可整理为： , 得. 因此双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （2）从（1）中抽取的8箱水果中再随机挑选两箱，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为300克，方差为600；二级果40个，单果质量平均数为240克，方差为640；求160个水果的平均数和方差. 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的定义进行求解； （2）列举出所有的情况，根据古典概型的概率公式求解即可； （3）根据平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】 由题设， 由分层抽样可知，一级果抽取箱， 二级果抽取箱； 【小问2详解】 由（1）知，抽取的8箱水果中一级果有6箱，设为， 二级果有2箱，设为， 抽取的8箱水果中随机挑选两箱，情况为：， ， ，共28种情况， 恰好一级果和二级果各一箱的情况有：， ，共12种情况， 所以恰好一级果和二级果各一箱的概率为． 小问3详解】 由分层平均数， 分层方差， 可知160各水果的单果质量平均数； . 16. 已知圆，直线. （1）求过直线上点且与圆相切的直线方程； （2）若直线与直线平行，与轴交于点，且圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合直线与圆相切，分直线的斜率不存在、存在，两种情况讨论求解即可； （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，由题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题设圆，则圆心，半径， 当所求直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，满足题意； 当所求直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 则直线方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 设圆心到直线的距离为， 由题设可知圆上仅有两个点到直线的距离为1，即， 所以，解得或， 则的取值范围为. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积，角的平分线交边于点. （1）求角； （2）若，且的周长为，求长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解； （2）由面积公式得到，即可得到，再由余弦定理得到，由周长求出，即可求出，再由等面积法计算可得. 【小问1详解】 因为，， 又，所以， 则，即，又，所以. 【小问2详解】 因为角的平分线交边于点，由（1）知， 则， 所以， 又，即，所以，由（1）知. 由余弦定理， 所以， 所以的周长，解得，则， 由， 即， 解得. 18. 在平行四边形中（图1），，，是的中点，将沿折起，使得，连接，.（图2） （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）取中点，中点，连接，交于点，连接，先证明平面，进而根据棱锥的体积公式求解即可； （3）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解即可. 【小问1详解】 由题设，在图1中，，，是的中点， 所以在图2中，四边形中，，， 则， 所以，即，而， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以面平面. 【小问2详解】 取中点，中点，连接，交于点，连接. 由（1）可知平面，平面，可得， 由题意易得，三角形为等边三角形， 则，，因为，，平面， 可得平面，又平面，所以， 而与相交，平面，所以平面. 又，，所以， 又， 所以. 小问3详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 由，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 则. 19. 已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. （1）若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； （2）已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率求出椭圆的方程，再由和同向且共线，将四边形面积进行转化，设直线，联立方程，通过韦达定理，结合基本不等式求出面积范围； （2）根据的中垂线的斜率以及、中点求出直线方程，再结合点在以为直径的圆内表示，通过联立方程求解即可. 【小问1详解】 因为的离心率为，所以，即，解得， 所以椭圆方程为， 由题设，延长交椭圆于另一点，由对称性可知，，所以， 设直线，联立，可得， 所以， ， 由（1）求得，则， 则， 因为，所以， 所以， 又， 令，易知函数在上单调递增， 所以当，即时，. 【小问2详解】 由线段的中垂线的斜率为2，所以直线的斜率为， 则，解得，由，得中点坐标为， 故直线，即，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点， 设，，由消得， 由韦达定理得，， 因为在以为直径的圆内，则，且， 则有， 所以， 即，解得，又， 故，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省金砖联盟2025学年第一学期期中 高二年级数学学科试题 命题：杭州市余杭第二高级中学 审核：东阳市第二高级中学 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 不存在 B. C. D. 3. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 正三棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 40 D. 80 8. 已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解学生周末的日均健身时长（单位分钟），随机抽取10位同学进行调查，得到数据如下：20，50，35，50，65，80，65，80，65，110，下列说法正确的是（ ） A. 众数是65 B. 平均数是62 C. 上四分位数80 D. 方差是342.5 10. 在正四棱柱中，，是的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成的角为 C. 对角线与平面所成的角为 D. 四面体的体积是 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最大值为4 C. 当直线垂直于时，三角形的周长为8 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名同学独立破译同一组密码，甲能破译概率为，乙能破译的概率为，则这组密码被破译的概率为_____. 13. 圆心在上，经过点，与直线相切的圆方程为_____. 14. 已知,分别是双曲线的左、右焦点，,为双曲线的两条渐近线，设过点且平行于的直线交于点,若,则该双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱. （1）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； （2）从（1）中抽取的8箱水果中再随机挑选两箱，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为300克，方差为600；二级果40个，单果质量平均数为240克，方差为640；求160个水果的平均数和方差. 16. 已知圆，直线. （1）求过直线上点且与圆相切的直线方程； （2）若直线与直线平行，与轴交于点，且圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积，角的平分线交边于点. （1）求角； （2）若，且周长为，求长. 18. 在平行四边形中（图1），，，是的中点，将沿折起，使得，连接，.（图2） （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. （1）若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； （2）已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $