2026年中考数学第一轮复习专题02 实数篇(全国通用版)

专题02 无理数与实数考点一：平方根 1、平方根的定义： 若一个数的平方等于，则这个数就是的平方根。即，则是的平方根。表示为。 2、平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0。 （例题讲解） 1．16的平方根为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数，16是正数，因此其平方根为 【详解】∵， ∴ 16的平方根是， 故选：A （练习题） 2．9的平方根是（   ） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了求平方根，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 根据平方根的定义计算即可得解． 【详解】解：， 故9的平方根是， 故选：C． 3．已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，列方程求解． 【详解】解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 化简得： ， ∴ ， 解得， 故选：B． 4．下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，平方根及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据立方根，平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项符合题意； B、∵，∴原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 6．一个跳水运动员从距离水面高的跳台向上跳起，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间，并至少在离水面处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为，该运动员在空中至多做翻滚动作（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用及列方程解应用题，根据题意求出从距离水面高的跳台到入水的过程的平均速度、所用时间及速度变化，设运动员从最高处到离水面处时用时，列方程并解方程解决即可． 【详解】解：由题意得：从距离水面高的跳台到入水的过程的平均速度是， 所用时间为， 速度变化为， 设运动员从最高处到离水面处时用时，则这段距离的平均速度是， ， 解得： 个， 该运动员在空中至多做翻滚动作6个， 故选：D． 7．已知正数的平方根为和，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． 根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， ∴，． 代入方程， 得， 即， 解得， ∵， ∴． 故答案为：2． 8．如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查平方根的定义，利用正数的两个平方根互为相反数，建立方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴， ∴这个正数是； 故答案为：25． 9．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 10．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 11．求下列各式中的. (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用开平方和开立方的知识解方程． 用两边直接开平方法解一元二次方程； 用两边直接开立方法解方程． 【详解】（1）解：， 两边直接开平方得：； （2）解：， 两边直接开立方得：， 移项、合并同类项得：． 12．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ． （2）解：， ． 的平方根为， 的平方根为． （例题讲解）考点二：算术平方根 1、算术平方根的定义： 一个正数的平方等于，则这个正数是的算术平方根。即，则是的算术平方根。表示为。 2、算术平方根的性质： （1） 一个正数的算术平方根的平方等于它本身。即 （2） 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即 （3） 算术平方根的双重非负性： 即；。 3、算术平方根的估算： 用夹逼法对算术平方根进行估算。 13．实数64的算术平方根是（    ） A． B．8 C．32 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】实数64的算术平方根是8． 故选：B． （练习题） 14．下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是明确算术平方根为非负数且负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是指那个非负的平方根，即，且负数没有算术平方根；据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，不是，此选项不符合题意； B、9的算术平方根是3，此选项符合题意； C、3的算术平方根是，不是9，此选项不符合题意； D、是负数，没有算术平方根，此选项不符合题意． 故选：B． 15．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：C． 16．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 17．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和． 【详解】解：，， 、这个数等于1， ，， 到有个数等于2， ，， 到共有个数等于3， ， ，， 到之间工有个数等于44， ． 故选：C． 18．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，由此确定的值，再代入方程求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由二次根式的定义，得， 解得； 代入原方程， 得， 即； 所以． 故答案为：． 19．已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，把原式变形为即可求解． 【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 20．若的整数部分是，的整数部分是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 利用估算方法求出和的值后代入运算即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 21．已知x，y为实数，且，则(x+y)2014= . 【答案】1 【详解】根据绝对值和二次根式的非负性，可知x-1=0，y+2=0，解得x=1，y=-2，因此可代入求解为：(x+y)2014=(1-2)2014=(-1)2014=1. 22．求下列各式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根． （1）先将带分数转化为假分数，再求算术平方根即可； （2）直接求算术平方根即可； （3）直接求算术平方根即可． 【详解】（1）解： （2）解：,. （3）解： 考点三：立方根 1、立方根的定义： 一个数的立方等于，则这个数就是的立方根。即，则是的立方根。表示为。 2、立方根的性质： 任何数都有立方根且有且只有一个。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （1） 一个数的立方根的立方等于它本身。即。 （2） 一个数的立方的立方根等于它本身。即。 3、立方根的估算： 用夹逼法对算术平方根进行估算。 （例题讲解） 23．的立方根为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． （练习题） 24．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 25．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根和立方根，正确化简各数是解题关键． 根据算术平方根和立方根的法则分别计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意． 故选B． 26．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 27．下列说法中：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是；④的算术平方根是；⑤的平方根是；⑥的立方根是．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的概念．根据定义，算术平方根只针对非负数，且本身非负；平方根有两个值（一正一负）；立方根只有一个实根．逐项判断即可．注意算术平方根与平方根的区别． 【详解】算术平方根只对非负数有定义，负数没有算术平方根，①错误； 的算术平方根是，不是正数，②错误； ，的算术平方根是，③正确； ，的算术平方根是，④错误； 的平方根是，不仅，⑤错误； ，的立方根是，⑥正确． 综上，正确的有③和⑥，共个． 故选：B． 28．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 29．的平方根是 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，据此相关性质内容进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则9的平方根是， ∴的平方根是； 则， 故答案为：，4 30．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 31．设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根和立方根，由新定义得，由算术平方根和立方根，并结合新定义分步求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 32．解方程 (1) (2) 【答案】(1) 或 (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． （1）先移项，再运用平方根的定义求解即可； （2）移项，系数化为1，再运用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 开平方得， 解得或； （2）解：， ， 解得． 33．已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 【答案】(1)， (2)；4 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于a，b的方程，解方程，即可求解； （2）将，代入和，再根据平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为4和， ， 的立方根为4． .（例题讲解）考点四：无理数 1、无理数的定义： 无限不循环的小数叫做无理数。 2、无理数的三种形式： ①开方开不尽的根式；②含有π的式子；③形如0.1010010001....形式的规律数字。 34．下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数之比． 本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义及其常见表现形式是解题的关键． 【详解】1. 选项A：是有理数，不符合题意． 2. 选项B：0属于有理数，不是无理数，不符合题意． 3. 选项C：属于有理数，不是无理数，不符合题意． 4. 选项D：是无理数，符合题意． 故选：D． （练习题） 35．在实数，，，，0中，无理数的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，，0中，无理数有和，共2个． 故选：B． 36．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 37．写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 38．在3.14，，，（圆周率），1.2222，中，是无理数的是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．先分别判断每个数是有理数还是无理数，有理数包括整数、有限小数、无限循环小数以及分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：，，是有限小数，是有限小数，是分数，这些都是有理数；是无限不循环小数，是无理数． 故答案为： 39．写出一个无理数，满足，则的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 40．请写出一个大于小于的无理数 ． 【答案】（  答案不唯一） 【分析】先将写成，写成，然后根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：∵，＝ ∴被开方数在1和16之间的无理数的相反数就可以满足题意，如：． 故答案为：（答案不唯一）． 41．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 【答案】 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． 42．下列六个数：（相邻两个2之间依次增加一个0），若无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，求的值． 【答案】6 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 先根据实数的分类得出2个无理数，有0个整数，4个非负数，然后求值即可. 【详解】解：和是无理数，共有2个无理数，； 没有整数，即整数有0个，； 是非负数，共有4个非负数，， 考点五：实数 1、实数的分类： 2、实数与数轴： 数轴上的点与实数存在一一对应关系。即一个实数在数轴上只能找到一个点来表示它，数轴上一个点也只能表示一个实数。 3、相反数与数轴： 互为相反数的两个数在数轴原点的两侧，且到原点的距离相等。关于原点对称。 4、实数的大小比较： ①正实数大于0，0大于负实数，正实数大于一切负实数。两个负实数进行比较时，绝对值大的反而小。 ②数轴上数轴右边的数恒大于数轴左边的数。 ③对算术平方根和立方根进行估算比较。同为二次方根或同为三次方根时，比较被开方数即可。 5、实数的运算： 运算法则同有理数的运算。 ①0次幂的运算：除0外的任何数的0次幂都等于1。即。 ②负整数指数幂的运算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。即。 ③特殊角的锐角三角函数的运算： 锐角三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 （例题讲解） 43．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． （练习题） 44．如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，立方根和平方根，算术平方根，熟知相关知识是解题的关键．通过判断每个填空题的正确性，结合实数的性质、平方根、算术平方根和立方根的定义，计算得分． 【详解】解：①的倒数是，不是，计算错误； ②的绝对值是，计算正确； ③表示算术平方根，结果是2，不是，计算错误； ④0的平方根和立方根都是0，计算正确； ⑤，计算正确； ∴正确题数为3，得分：分， 故选：B． 45．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根、数轴与实数的对应关系等基本概念，需逐项判断正误． 【详解】解：A：立方根是它本身的数应满足，即，解得或或，故A错误，不符合题意； B：数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分，故B错误，不符合题意； C：0.01的平方根是，故C错误，不符合题意； D：平方根是它本身的数应满足算术平方根等于本身，即，解得或，时平方根为，不都等于1，故只有满足，正确，符合题意． 故选：D． 46．下列四个数：，，，，其中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，比较负数的大小，绝对值越大，值越小，因此计算各数的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， 故最小的数是 ． 故选：A． 47．下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴，算术平方根等知识，根据各自的定义和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解： ①无理数包括正无理数、负无理数；则原说法错误； ②无理数与无理数的和不一定是无理数，例如，0是有理数，则原说法错误； ③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1，说法正确． ④正实数和负实数以和0统称为实数；则原说法错误． ⑤实数与数轴上的点一一对应，则原说法错误； 综上，正确的有③， 故选：B 48．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 49．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值表示数到原点的距离，总是非负的．负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义，一个数的绝对值总是非负的．是负数，其绝对值为它的相反数，即． 故答案为：． 50．毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案． 【详解】解：∵，没有意义， ∴在，，0，，，，，，这些数中，无理数有：，，，共个． 故答案为：． 51．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 52．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 53．把下列各数的序号填入相应的横线内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦2025； ⑧（每相邻两个8之间依次多一个6）． 自然数：______； 正分数：______； 负实数：______； 无理数：______； 【答案】①⑦；⑤⑥；②④；③⑧ 【分析】本题考查了实数分类，非负整数为自然数，无限不循环小数即为无理数，大于0的分数为正分数，小于0的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：自然数：①⑦； 正分数：⑤⑥； 负实数：②④； 无理数：③⑧． 54．文字解答题 (1)若，都是实数且，求的平方根； (2)实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查实数与数轴，算术平方根的化简，绝对值的化简，立方根，平方根的定义． （1）根据二次根式的性质求出的值，再代入，结合平方根的定义即可解答； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，再分别化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：，解得， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：根据题意得：，， ∴，，， ． 55．图1是由10个边长均为1的正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的面积为___________，边长的长为___________． (2)估算正方形的边长在哪两个整数之间，并写出边长的小数部分． (3)先将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】(1)10， (2)正方形的边长在3与4之间，正方形的边长的小数部分为 (3)点表示的数为或 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及数轴与实数，掌握算术平方根的估值方法、数形结合，是解题的关键． （1）利用图形剪拼前后面积不变求解； （2）利用算术平方根的估值方法求解； （3）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解． 【详解】（1）剪开前图形的面积等于，剪拼前后图形面积不变， 拼成的大正方形的面积为10， 正方形的边长为， ． （2）由（1）知，正方形的边长为， ， ， 正方形的边长在3和4之间 正方形的边长的小数部分为； （3）由（1）知正方形的边长为， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 无理数与实数考点一：平方根 1、平方根的定义： 若一个数的平方等于，则这个数就是的平方根。即，则是的平方根。表示为。 2、平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0。 （例题讲解） 1．16的平方根为（    ） A． B．4 C． D．2= vb （练习题） 2．9的平方根是（   ） A． B．9 C． D．3 3．已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 4．下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 6．一个跳水运动员从距离水面高的跳台向上跳起，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间，并至少在离水面处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为，该运动员在空中至多做翻滚动作（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．已知正数的平方根为和，若，则的值为 ． 8．如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是 ． 9．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 10．一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 11．求下列各式中的. (1)； (2)． 12．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． （例题讲解）考点二：算术平方根 1、算术平方根的定义： 一个正数的平方等于，则这个正数是的算术平方根。即，则是的算术平方根。表示为。 2、算术平方根的性质： （1） 一个正数的算术平方根的平方等于它本身。即 （2） 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即 （3） 算术平方根的双重非负性： 即；。 3、算术平方根的估算： 用夹逼法对算术平方根进行估算。 13．实数64的算术平方根是（    ） A． B．8 C．32 D． （练习题） 14．下列说法正确的是（   ） A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是 15．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 16．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 17．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 18．若，则= ． 19．已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 20．若的整数部分是，的整数部分是，则 ． 21．已知x，y为实数，且，则(x+y)2014= . 22．求下列各式的值． (1) (2) (3) （例题讲解） 23．的立方根为（   ） A．2 B． C．2或 D．4n'gv考点三：立方根 1、立方根的定义： 一个数的立方等于，则这个数就是的立方根。即，则是的立方根。表示为。 2、立方根的性质： 任何数都有立方根且有且只有一个。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （1） 一个数的立方根的立方等于它本身。即。 （2） 一个数的立方的立方根等于它本身。即。 3、立方根的估算： 用夹逼法对算术平方根进行估算。 （练习题） 24．已知，那么（    ） A． B． C． D． 25．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 27．下列说法中：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是；④的算术平方根是；⑤的平方根是；⑥的立方根是．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 29．的平方根是 ， ． 30．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 31．设a为非负有理数，b是有理数，规定，则 ． 32．解方程 (1) (2) 33．已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 考点四：无理数 1、无理数的定义： 无限不循环的小数叫做无理数。 2、无理数的三种形式： ①开方开不尽的根式；②含有π的式子；③形如0.1010010001....形式的规律数字。 .（例题讲解） 34．下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． （练习题） 35．在实数，，，，0中，无理数的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 36．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个） 38．在3.14，，，（圆周率），1.2222，中，是无理数的是 ； 39．写出一个无理数，满足，则的值可以是 ．（写一个即可） 40．请写出一个大于小于的无理数 ． 41．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 42．下列六个数：（相邻两个2之间依次增加一个0），若无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，求的值． 考点五：实数 1、实数的分类： 2、实数与数轴： 数轴上的点与实数存在一一对应关系。即一个实数在数轴上只能找到一个点来表示它，数轴上一个点也只能表示一个实数。 3、相反数与数轴： 互为相反数的两个数在数轴原点的两侧，且到原点的距离相等。关于原点对称。 4、实数的大小比较： ①正实数大于0，0大于负实数，正实数大于一切负实数。两个负实数进行比较时，绝对值大的反而小。 ②数轴上数轴右边的数恒大于数轴左边的数。 ③对算术平方根和立方根进行估算比较。同为二次方根或同为三次方根时，比较被开方数即可。 5、实数的运算： 运算法则同有理数的运算。 ①0次幂的运算：除0外的任何数的0次幂都等于1。即。 ②负整数指数幂的运算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。即。 ③特殊角的锐角三角函数的运算： 锐角三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 （例题讲解） 43．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． （练习题） 44．如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 45．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和1 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．0.01的平方根是0.1 D．平方根是它本身的数只有0 46．下列四个数：，，，，其中最小的数是（    ） A． B． C． D． 47．下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 48．若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 49．化简： ． 50．毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有 个． 51．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 52．比较大小： （填“”、“”或“”）． 53．把下列各数的序号填入相应的横线内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦2025； ⑧（每相邻两个8之间依次多一个6）． 自然数：______； 正分数：______； 负实数：______； 无理数：______； 54．文字解答题 (1)若，都是实数且，求的平方根； (2)实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 55．图1是由10个边长均为1的正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的面积为___________，边长的长为___________． (2)估算正方形的边长在哪两个整数之间，并写出边长的小数部分． (3)先将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $