精品解析：青海省西宁市第十四中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

青海省西宁市第十四中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 （命题：王蕤 审题：文永明） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：3小题，每题6分，部分选对得部分，错选或多选0分，共18分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 11. 对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为________ 13. 设且，则最小值为_______． 14. 已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，15题13分，16题和17题各15分，18题和19题各17分． 15. 设全集，集合，，. （1）求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且 （1）求解析式； （2）判断并证明函数在区间的单调性. 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数，且. （1）若，求函数在上的值域； （2）解关于的不等式. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省西宁市第十四中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 （命题：王蕤 审题：文永明） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题的否定的定义判断，同时要注意既要否定结论，也要转化量词. 【详解】因为命题“，. 根据命题的否定的定义 所以该命题的否定是， 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得. 【详解】由指数函数的单调性可得，， ，所以. 故选：D 6. 已知幂函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义，结合偶函数特征求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故选：A 7. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集. 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，，可得时，；时，， 则等价为或，解得或，即所求解集为. 故选：C. 二、多选题：3小题，每题6分，部分选对得部分，错选或多选0分，共18分． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案. 【详解】，是偶函数，且在上单调递增 是奇函数，在上单调递减 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 函数最小值为6 D. 函数的单调增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据指数函数的性质即可判断； 选项B，根据一元二次不等式的性质即可判断； 选项C，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断； 选项D，根据复合函数的单调性即可判断. 【详解】选项A，函数（且）的图像恒过定点为，与不符，故A错； 选项B，不等式的解集为或，故必有， 解得，进而得到，故B正确； 选项C，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C错误； 选项D，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区间为，又因为，故，解得，得，综上，函数的单调增区间为，故D正确 故选：BD 11. 对，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，称为“高斯函数”，人们更习惯称之为“取整函数”.下列命题中正确的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. 函数值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，确定之间的关系，然后逐项分析可得结果. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当是整数时，；当不是整数时，， 由上可知，成立，故B正确； 对于C：，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 由上可知，，成立，故C正确； 对于D：由B可知，，所以， 所以的值域为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，其中涉及函数值域以及函数不等式等问题，难度较大.处理高斯函数的相关问题时，一方面可以从函数定义入手解答问题，另一方面也可以利用函数图象解答问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出函数解析式满足的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意得函数要有意义， 需满足，解得， 即函数的定义域为， 故答案为： 13. 设且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由乘“1”法，将和相乘，展开后，利用基本不等式即可求解； 【详解】由可得： ， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 14. 已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，两式相加，可得，从而证明函数是奇函数，再说明的单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】由函数①，则②，又因为，由①+②可得，即， 所以为奇函数，又因为函数在区间上单调递增， 所以函数在R上为单调递增函数， 由，即， 则，解得. 故答案为：． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，15题13分，16题和17题各15分，18题和19题各17分． 15. 设全集，集合，，. （1）求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1) ， (2) 或 【解析】 【分析】（1）先解出A，然后进行交集、补集的运算即可； （2）根据题意可得C⊆A可讨论C是否为空集，从而可求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， （2）由知 当时，即时，，满足条件； 当时，即时，且， 综上，或 【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 16. 已知函数，且 （1）求解析式； （2）判断并证明函数在区间的单调性. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题得且，解方程组即得解； （2）利用单调性的定义判断证明即可. 【小问1详解】 解：且，解得. 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解： ∵. ∵， ，所以， 所以，所以函数在单调递增. 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再利用求的值； （2）对任意，不等式恒成立，转化为对任意，恒成立， 令，，利用函数的单调性求的最大值即可. 【小问1详解】 ， ， ，． 【小问2详解】 若对任意，恒成立， 即对任意，恒成立，即， 即，， 在上单调递增, 当时，， 则在上的最大值小于， ． 18. 已知函数，且. （1）若，求函数在上的值域； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数， 可得函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以函数的最大值为， 又由，所以函数的最小值为， 所以函数值域为. 【小问2详解】 解：由不等式，可得，即， 若，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 若，不等式即为， 令，解得或 （1）当时，不等式等价于，解得或； （2）当时，不等式等价于， ①当时，即时，解得，即不等式的解集为； ②当时，即时，此时不等式的解集为； ③当时，即时，解得，即不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； （3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在为减函数,证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在原点有定义，由即可求解； （2）根据单调性的定义即可判断与证明； （3）对任意的，总存在，使得成立，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集即可. 【小问1详解】 因为为R上的奇函数，所以， 则，因为，所以为奇函数， 所以； 【小问2详解】 由（1）得：，当时，在为减函数. 证明如下： 取且， 因为，所以 所以，即， 所以在为减函数. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时 不妨记函数在区间内值域为. ① 当时，在上单调递减， 则，得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立; ② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则， 所以在区间内的值域为． 因，故，所以; ③ 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则， 得在区间内的值域为． 因，故对任意的，总存在，使得成立； （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为． 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $