精品解析：江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（20班）

景德镇一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二（20）班数学 一、单选题 1. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 10. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 11. 若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可取任意实数 D. 当时，的最大值为e 12. 如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱上，且平面平面为内一点，记三棱锥的体积为，设，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数在上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. ，使得（其中为四面体的体积） 三、填空题 13. 设数列满足，且，则____________． 14. 已知数列满足，，则数列的前项和______． 15. 已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为________. 16. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为______. 四、解答题 17. 已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 19. 设为数列的前n项和，时，，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 20. 设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 21. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025-2026学年度第一学期期中考试 高二（20）班数学 一、单选题 1. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得在恒成立，参变分离，结合函数单调性分析求解即可． 【详解】因为， 由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立， 又因为在内单调递减， 可得，可得， 所以a的范围为. 故选：D． 2. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先证是有三个不同零点的必要条件，再举特例说明不是有三个不同零点的充分条件. 【详解】因为所以， 因为有三个不同的零点，必有两个极值点， 所以有两个不同的根， 所以，所以， 又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号， 例如时，，，此时只有两个不同零点， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； 故选：B. 3. 已知等比数列的公比为2，且.若，则值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的通项，在运用等比数列的性质及前项和公式求解即可． 【详解】由题可得：，解得，故， 因为 ，解得． 故选：B． 4. 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用曲率的定义可求得，进而得曲率半径，利用向心加速度的定义计算可求向心加速度. 【详解】设，则，，所以，， 则曲线在点处的曲率，曲率半径， 故曲线在点处的向心加速度的大小为. 故选：B. 5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 6. 已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长方体体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球，再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得. 【详解】长方体可以在内部随意转动，则需找出该圆锥的内切球， 再计算内切球中内接长方体的体积最大值即可得， 设该圆锥的内切球半径为， 如图，设圆锥轴截面为，则，，则， 则有，解得， 设该内切球中内接长方体的底边为，高为， 则，即有， ，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 即该长方体体积最大值为. 故选：C. 7. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性和最值，由题意得，即，求出答案. 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 10. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求抛物线方程得，由，根据抛物线的定义得，进而得，即可求，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由得，令，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以，故A正确； 又，不是固定不变的常数， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由，故C正确； 由，即，令， 所以，所以在单调递增，又， 所以当时，，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，可取任意实数 D. 当时，的最大值为e 【答案】ACD 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象，由图易判断选项AC；当时，易知在处的切线方程为，此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，即可判断选项B； 当时，与相切，设切点为，则，则，则.令，求导研究函数的单调性即可判断选项D. 【详解】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象. 由图易知选项AC正确； 当时，易知在处的切线方程为， 此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，故选项B错误； 对于D选项，当时，与相切，设切点为，则，则，则，则. 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为e. 另解：，即与相切时，已知求的最大值，由图象可知，与相切于点时，最大，即的最大值为e. 故选：ACD. 12. 如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱上，且平面平面为内一点，记三棱锥的体积为，设，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数在上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. ，使得（其中为四面体的体积） 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，然后根据函数性质一一验证. 【详解】设点在平面内的射影为点，连接，如图所示，则为等边的中心， 故，因为平面平面，所以， 所以，所以.因为平面平面，则， 且点到平面的距离为，所以点到平面的距离为， 所以，其中，对于选项，，当时，，此时函数单调递增，；当时，， 此时函数单调递减，，故正确，B错误；对于C选项，，故函数的图象不关于直线对称，故C错误；对于D选项，，故对任意的，故D错误. 故选：A. 三、填空题 13. 设数列满足，且，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据递推关系逐一求解的值即可求解. 【详解】由以及可得， 故， 故答案为：4 14. 已知数列满足，，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出. 【详解】由，，得. 当时，，所以，即， 所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列. 则. 故答案为：. 15. 已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，为开口向下的二次函数，而时，利用导数求解单调性，进而可得极值，结合三个零点即可得，进而可求解. 【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为， 当时，，则当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时， ， 由于， 所以函数恰有3个不同零点，则，所以． 故答案为：. 16. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件同构变形，构造函数利用导数研究其单调性与最值计算即可. 【详解】令，由， 即恒成立， 易知，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，单调递减，所以， 要考虑的最小值，先考虑为负数， 若，则单调递减，，即， 所以，令， 易知，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 若，显然符合题意， 所以不论取何正数，实数a的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 17. 已知等差数列满足是关于的方程的两个根. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义，结合韦达定理计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可知. 不妨设的公差为d，则， 作差得，所以. 又， 所以， 所以. 【小问2详解】 由上可知：， 所以 . 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题已知，可得函数解析式，先求函数的导数，得出单调区间，再判断出极值． （2）当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围； 【小问1详解】 当时，故. 当时；当时 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； ∴当时有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，所以 令 ， 令，则； （i）当，即时，恒成立，， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； （ii）当，即或时， 令，解得：，； 当时，，在上恒成立， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； 当时，，又，，； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 则当时，，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 设为数列的前n项和，时，，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【答案】（1）证明如下： 当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合变形给定等式，再利用构造法推理得证. （2）由（1）求出，再利用构造法求出通项公式. （3）利用错位相减法求和，再借助恒成立的不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式. 【小问3详解】 由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 20. 设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 (2)证明: 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 【解析】 【分析】（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）略 【点睛】考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 21. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）由（1）知，又，所以，，累加证明左边；由（2）可知，令，累加可得，将其变形结合等比数列求和公式利用放缩法证明右边，即可得证. 【小问1详解】 若，则，， 当时，，仅当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以； 【小问2详解】 ，则，， ，仅当时等号成立， 当时，， 此时恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则必须，即恒成立，所以，得， 所以； 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 先证明左边： 由（1）知时，在上单调递增， 所以当时，，即， 又，所以，， 累加得； 再证明右边： 由（2）可知，时，在上单调递减， 所以当时，，可得，令， 累加可得 ， 所以， 所以； 综上，. 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：. 【答案】（1）当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明:由（1）知， 当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意； 当时，在单调递减，在单调递增，则. 不妨设， 要证，即证，即证，即证. 因为在单调递增，即证， 因为，所以即证，即证. 令 ， . 当时，单调递减，又， 所以时，，即， 即. 又，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解不等式，即可得答案； （2）当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，只要证，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）. ①当时，单调递增； ②当时，单调递减； 单调递增. 综上：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）略 【点睛】思路点睛：用导数证明不等式的基本思路：构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $