精品解析：湖北省荆楚联盟2025-2026学年 上学期期中考试八年级数学试题

2025-2026 学年度上学期期中考试 八年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是( ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 5. 已知图中两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 7. 桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（ ） A. D B. E C. F D. G 8. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在中，，，则这个三角形是___________三角形．（填“锐角”“直角”“钝角”） 12. 如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为5米．则松树断裂前的高为___________米． 13. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某时刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是___________． 14. 如图，中，分别为角平分线和高，，则___________． 15. 中，边上的中线，则的取值范围是___________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 17. 在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 18. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 19. 已知，，是的三边． （1）若，，求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； 20. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）求证：． 21. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 22. 上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． （1）求海岛到海岛的距离； （2）渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 23. 如图，在中，，为的中点．若点在线段上以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示的长度为：___________； （2）若两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （3）若两点的运动速度不相等，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 24. （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 25. 附加题 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： （1）点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． （2）若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； （3）已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度上学期期中考试 八年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形”进行解答即可． 【详解】解：“爱、我、华”这三个字都不能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它们都不是轴对称图形； “中”能沿一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形；   故选：C ． 2. 双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是( ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：A． 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是： ， 故选：C 4. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 5. 已知图中两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，是a、c边的夹角， ∴． 故选：A． 6. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 7. 桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（ ） A. D B. E C. F D. G 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球， 故选：A 8. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：B． 9. 如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 10. 如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断①；证明，推出，再证明，即可判定③，进而得出可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴故③正确， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 所以，正确的结论有4个， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在中，，，则这个三角形是___________三角形．（填“锐角”“直角”“钝角”） 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类，理解锐角三解形、钝角三角形的定义是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型． 【详解】， ， 解得， ， 是锐角三角形． 故答案为：锐角． 12. 如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为5米．则松树断裂前的高为___________米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由题意可得，米，，由直角三角形的性质可得米，即可得解． 【详解】解：由题意可得，，米，， ∴米， ∴松树断裂前的高为米， 故答案为：15． 13. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某时刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，中，分别为角平分线和高，，则___________． 【答案】##12度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键．根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理可得，推得，根据三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：在中， ，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 中，边上的中线，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 17. 在的正方形网格图中，有和，三角形的顶点都在格点上，且和关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形．根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】解：如图，即为所求． 18. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 19. 已知，，是的三边． （1）若，，求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【小问1详解】 解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； 【小问2详解】 解：第三边为奇数，且， ， ∵， ， 是等腰三角形． 20. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ； 【小问2详解】 证明：∵平分，且， ∴， 由（1）可知，， ． ， ． 21. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，理解等腰三角形的性质和判定是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质先求出，根据角平分线的性质求出即可． （2）先根据三角形的内角和定理求出的度数，从而得到，根据等角对等边得到，再证，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 由作图可知：是的角平分线， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 22. 上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． （1）求海岛到海岛的距离； （2）渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛到海岛的距离为40海里 （2）海岛派出的救援队先到达渔船处 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 23. 如图，在中，，为的中点．若点在线段上以每秒3个单位长度的速度从点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示的长度为：___________； （2）若两点的运动速度相等，则经过1秒后，与是否全等？请说明理由； （3）若两点的运动速度不相等，则当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先表示出，根据，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度． 【小问1详解】 解：依题意，，则； 【小问2详解】 解：和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ， ， ∵， ∴， 在和中， ； 【小问3详解】 解：点、的运动速度不相等， ， 又与全等，， ，， ∴点，点运动的时间为秒， 个单位长度秒， 当点的运动速度为4个单位长度秒时，能够使与全等． 24. （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 25. 附加题 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形T关于轴的对称图形称为图形T的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形．例如，点的一次对称点为，二次对称点为，根据定义，回答下列问题： （1）点的一次对称点为___________，二次对称点为___________． （2）若点在第二象限，点分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，求，应满足的关系式； （3）已知点，．若以为边的正方形，在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的定义，正确理解一次对称点和二次对称点的定义是解题的关键． （1）根据题意可知一次对称点是原来的点关于x轴对称的点，二次对称点是原来的点关于x轴对称的点关于直线对称的点，据此求解即可； （2）根据题意可求出，，则可证明，再由等腰直角三角形的定义可得，则可推出，据此可得答案； （3）根据题意可求出，，再分点在该直线上和点在该直线上，两种情况分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，直线l即为直线， ∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴点的一次对称点为，二次对称点为； 【小问2详解】 解：∵点关于x轴对称的点的坐标为，点关于直线的对称点的坐标为， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴点在第三象限，点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点，，且四边形是以为边的（，在线段的上方）的正方形， ∴轴， ∴， ， ∴正方形的一次对称图形，即正方形的顶点坐标分别为， ∴正方形的二次对称图形，即正方形的各顶点的坐标分别为，， 二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点， 若点在该直线上，则 解得， 若点在该直线上，则： 解得， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $