精品解析：浙江省五湖联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

2025学年第一学期浙江省五湖联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、正整数集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为0是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定方法求命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定需通过改变量词，否定结论得到， 所以命题：，的否定为，， 故选：A. 3. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A、B、D，通过取特殊值，即可判断正误，对C，通过作差法，即可判断正误. 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，取，显然有，但，所以B错误， 对于C，因为，又，则， 所以，即，所以C正确， 对于D，取，显然有，但，所以D错误， 故选：C. 4. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题知恒成立，则，解得， 故选：D. 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】通过配凑，得，进而求得函数解析式，要注意的影响. 【详解】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数m和n，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：C. 7. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法能求出正确选项． 【详解】∵函数f（x），当x时，f（x）>0故D错误； ∴x>1时，f（x）<0恒成立，故B和C错误． 由排除法得正确选项是A． 故选A． 【点睛】本题考查函数的大致图象的判断，考查函数的性质、特殊值点等基础知识，是基础题． 8. 已知函数，（），用表示，中的较大者，记为，若的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，观察图象即可得解. 【详解】如图：的最小值在，的交点处取得， 令解得， 故或 当时的最小值为； 当时的最小值为. 所以 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质就可以得到答案. 【详解】对于A：两个不等式相加得,所以A正确; 对于B：因为，所以,因为，所以,所以B正确; 对于C：两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D：因为，所以,因为，所以,所以D错误. 故选：ABC 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A、D，根据对勾函数的性质判断B，根据二次函数的性质判断C. 【详解】对于A：若，则或，此时均有，故充分性成立； 若，则或，此时均有，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：令，则， 又对勾函数在上单调递增， 所以当时取最小值， 所以的最小值，当且仅当时取得，故B错误； 对于C：若函数在区间上单调递减，所以， 解得， 即实数的取值范围是，故C正确； 对于D：若，解得且， 所以由推不出，即充分性不成立； 由能推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ACD 11. 若，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 与的图象有三个交点，则 C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解. 【详解】函数的图象如图所示： 由图可知， 函数的单调增区间为，故A错误； 与的图象有三个交点，则，故B正确； 当时，，故不等式的解集是，故C正确； 即，则且，解得， 故不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】设，根据函数过点，即可求出的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】解：设，因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，所以 故答案为： 13. 奇函数是定义在的减函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性将不等式等价转换成即可求解. 【详解】函数是奇函数且是定义在的单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据已知判断函数的对称性及单调性，结合对称性得，然后利用基本不等式“1”的代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称， 又在单调递增，所以在单调递减， 又，，且有，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为7. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，， （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，化简集合，根据并集运算求解； （2）根据包含关系，分类讨论，建立不等式求解. 【小问1详解】 由，解得，故. 当时，，则， 【小问2详解】 当时，，即， 若时，，解得，，. 综上所述，. 16. 已知. （1）用定义证明在区间上是增函数； （2）求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2），. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可求解. （2）利用（1）结果，由函数单调性的性质，即可求解. 【小问1详解】 任取，，且， 则. ，，而， ，即， 在区间上是增函数. 【小问2详解】 由（1）知，在区间上是单调增函数， ，. 17. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. 【小问2详解】 因为. 所以①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 18. 疫情期间，某防护服厂全力生产保障供应.生产防护服的固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本万元.当产量不大于40万件时，；当产量超过40万件时，.若每件防护服售价100元，且生产的防护服可全部销售完. （1）求防护服销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该防护服生产厂所获利润最大？ 【答案】（1） （2）70万件 【解析】 【分析】（1）由题设分时和两种情况即可求解； （2）分时和两种情况结合函数性质分别求出利润最大值比较即可得解. 【小问1详解】 当时， . 当时，. 即. 【小问2详解】 ①当时，， 当时，取得最大值2150； ②当时，， 因为函数和均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时有. 因为，所以当产量为70万件时，该防护服生产厂所获利润最大. 19. 若函数在()上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“优质函数”. （1）函数①；②；③，其中函数_______是在上的“优质函数”；（填序号） （2）已知函数：（）. ①函数是在上的“优质函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“优质函数”，请直接写出的值； （3）已知函数：()，若函数是在(为整数)上的“优质函数”，且存在整数，使得，求的值. 【答案】（1）① （2）①或；②或； （3）. 【解析】 【分析】（1）分析三个函数的区间内的单调性得出最大值和最小值； （2）①分析二次函数的对称轴，得出最大值和最小值，计算出a；②讨论对称轴和t的关系，根据单调性计算出最小值最大值； （3）讨论对称轴与m的关系，根据单调性求出最大值最小值，然后根据m是整数，k是常数来取舍. 【小问1详解】 函数,当时,y随x的增大而增大，所以,符合条件. 函数,当时,函数是,y随x的增大而增大,所以,不符合条件. 函数,当时,y随x增大而减小，所以,不符合条件. 【小问2详解】 因为对称轴为直线， ①当时，函数在单调递增， 当时，；当时，， 由得. 当时，函数在单调递减， 当时，；当时，， 由得. 综上所述，或. ②或； 当，即时,函数单调递减，,, 所以,所以. 当时，函数单调递增,, 所以,所以. 当，即时，函数，可得， 令，解得,(舍)； 综上或. 【小问3详解】 由题意可知：，解得， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时，则函数在内单调递减， 可知，， 因为为整数， 且，为整数，则， 代入检验可知：当且仅当时，符合题意， 可得，， 由得，解得； 当，即时,此时函数在内单调递增, 则,，所以, 可得 令为整数，则， 可得为整数， 可知为整数，则为整数， 即有整数解，注意到， 这与相矛盾，不成立； 当，即时，且m为整数，则，此时， 当，区间为，，不为整数，不合题意； 当，区间为，， 由,解得，此时，符合题意； 当，区间为，，，不为整数，不合题意； 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙江省五湖联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A B. C. D. 4. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. （） C. （） D. （） 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 8. 已知函数，（），用表示，中的较大者，记为，若的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的最小值为2 C. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 若，则下列选项中正确的有（ ） A. 函数的单调增区间为 B. 与的图象有三个交点，则 C. 的解集是 D. 的解集是 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则___________. 13. 奇函数是定义在减函数，若，则实数的取值范围是_______. 14. 设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，， （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）用定义证明在区间上增函数； （2）求该函数在区间上的最大值与最小值. 17 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 18. 疫情期间，某防护服厂全力生产保障供应.生产防护服的固定成本为300万元，每生产万件，需另投入成本万元.当产量不大于40万件时，；当产量超过40万件时，.若每件防护服售价100元，且生产的防护服可全部销售完. （1）求防护服销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，该防护服生产厂所获利润最大？ 19. 若函数在()上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“优质函数”. （1）函数①；②；③，其中函数_______是在上的“优质函数”；（填序号） （2）已知函数：（）. ①函数是在上的“优质函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“优质函数”，请直接写出的值； （3）已知函数：()，若函数是在(为整数)上的“优质函数”，且存在整数，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $