精品解析：重庆市部分区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

重庆数学中期考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，到Oxy平面的距离为2的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标的定义即可求解. 【详解】点到平面的距离为2， 点，到平面的距离均为1， 点到平面的距离为0. 故选：A 2. 倾斜角为钝角的直线l一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 3. 已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的共面定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，所以向量共面，所以A不符合题意； 对于B，设，可得，此时方程组无解， 所以不共面，符合题意； 对于C，由，所以共面，所以C不符合题意； 对于D，由，所以共面，所以D不符合题意. 故选：B. 4. 直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式求解即可. 【详解】由题意得圆心，半径 ， 圆心到的距离为， 所以. 故选：A 5. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】设直线与平面所成的角为， 所以， 又，所以， 故选：C. 6. 一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 7. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 8. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 11. 若正方体外接球的半径为，球心为O，E，F分别是AB，BC的中点，则（ ） A. B. 直线OE与所成的角为 C. 点O到平面的距离为 D. 平面截球O所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，根据正方体外接球的性质，列出方程求得，可判定A正确；以D为原点，建立空间直角坐标系，求得的夹角，可判定B正确；求得平面的法向量和，结合向量的距离公式，可判定C错误；设截面圆的半径为r，根据截面圆的性质，求得圆的半径，可判定D正确. 【详解】对于A中，设正方体的棱长为，可得对角线长为， 因为正方体外接球的半径为，所以，解得，所以，所以A正确. 对于B，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 所以，，则， 所以直线OE与所成的角为，所以B正确； 对于C，设平面的法向量为，则， 令，可得，，所以， 又由向量，所以点O到平面的距离为，所以C错误； 对于D，平面截球O所得的截面是一个圆， 设该圆的半径为r，则， 所以平面截球O所得截面的面积为，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为___________m． 【答案】7 【解析】 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 14. 在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合三角形的外接圆性质，运用基底法解决向量模长问题. 【详解】 设,由题意知,则 ,得,得, 因为, 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 【答案】（1），；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合截距式的概念，即可求解； （2）设直线的方程为，将点的坐标代入求得的值，即可求解； （3）化简圆的方程为，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】解：（1）由，可得， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为和. （2）依题意，可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得， 解得，所以所求直线的方程为. （3）由，可得， 所以圆M的圆心坐标为，半径为. 16. 在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）直接写出C，D，E，F的坐标. （2）证明：平面ABC. （3）求点E到直线CD的距离. 【答案】（1），，， （2） 证明：由（1）得， 直三棱柱中，可得平面， 所以平面的一个法向量为，可得，所以， 又因为平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的坐标，结合中点公式和，求得的坐标，即可得到答案. （2）由（1）得和平面的一个法向量为，求得，得到，结合项目平行的判定定理，即可得证； （3）由（1）得，向量，，结合距离公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题设中的空间直角坐标系，可得，， 因为为的中点，可得，即， 又因为点在线段上，且，可得， 设，可得， 可得，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得，向量，， 所以点E到直线CD的距离为. 17. 已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得. 由得 所以过定点. （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. 【小问3详解】 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥-中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．面底面分别是的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与底面夹角的余弦值． （3）若分别是直线上的一个动点，求长度的最小值． 【答案】（1） 由为正三角形，为的中点， 所以， 又因为底面是正方形， 所以， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2） （3）长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （3）由点在直线上，设，点在直线上，设，计算，当时，最小，即，解出，进而得的坐标，利用求模公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接，取的中点为，连接，则， 又平面，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，由，所以，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由，， 因为点在直线上，设，即， 又点在直线上，设，即， 所以， 当时，最小， 所以， 所以， 故， 所以长度的最小值为. 19. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. 【小问1详解】 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，， 故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为. 【小问3详解】 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆数学中期考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，到Oxy平面的距离为2的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 2. 倾斜角为钝角的直线l一定经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第二、三象限 3. 已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线l：被圆C：截得的弦AB的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 5. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 6. 一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 若正方体外接球的半径为，球心为O，E，F分别是AB，BC的中点，则（ ） A. B. 直线OE与所成的角为 C. 点O到平面的距离为 D. 平面截球O所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为___________m． 14. 在三棱柱中，的外心为,则的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在x轴、y轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）求圆M：的圆心坐标与半径. 16. 在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）直接写出C，D，E，F的坐标. （2）证明：平面ABC. （3）求点E到直线CD的距离. 17. 已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥-中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．面底面分别是的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与底面夹角的余弦值． （3）若分别是直线上的一个动点，求长度的最小值． 19. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $