精品解析：福建省南平第一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

南平一中2025~2026学年第一学期九年级数学期中试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 3. 如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是（ ） A. B.     C.    D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴． 故选：C． 4. 已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找出二次函数的图象在轴下方的部分即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是， 故选：A． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长．解题的关键是掌握：垂直于弦的直径平分这条弦． 【详解】解：如图，连接， ∵是的弦，半径于点，，， ∴，，， ∴， 即的长是． 故选：C． 6. 在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 7. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，因此从第一天到第三天的增长倍数为，据此即可获得答案． 【详解】解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为， ∵ 第三天播放量为228万次， ∴可得． 故选：A． 8. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且为的弦，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据圆的切线的性质定理得出直角三角形，利用直角三角形的性质求出，然后再利用平行线的性质和等边对等角进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 已知抛物线（m为常数，且），当时，y随x的增大而减小，当时，y的最大值为4，则m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，点C的坐标为，将向左平移个单位长度后，再绕点O旋转，当垂直于x轴时，点B的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先由平移方式画出平移后的，再作出逆时针旋转90°后的和顺时针旋转90°后的，根据点C′绕原点旋转90°的特征求得B1，B2坐标即可； 【详解】解：如图，将向左平移个单位长度后，得到， 将绕点O逆时针旋转90°后，得到，此时B1C1⊥x轴， ∵C′（0，3），∴C1（-3，0），∵B1C1=，∴B1（-3，-）； 将绕点O顺时针旋转90°后，得到，此时B2C2⊥x轴， ∵C′（0，3），∴C2（3，0），∵B2C2=，∴B2（3，）； ∴点B的对应点的坐标为（-3，-）或（3，）； 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，掌握坐标绕原点旋转90°的特征是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律是左加右减，上加下减． 根据图像向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式是，即为： 故答案为：． 13. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 14. 已知抛物线过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、代数式求值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将点代入二次函数的解析式可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 求出二次函数解析式，将代入计算即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过、、， 则， 解得：， 即， 当时，． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，由，得到在以为直径的上，连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， 由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段的最小值为，解题的关键是正确理解在以为直径的上，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知各种解法是解题的关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】(1) 解：， ， 解得， (2) 解：， ， 解得，． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ 无论取何值，，故， ∴不论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，解得． 19. 如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．请按要求画图： （1）将绕点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标； （2） 点如图，即为所求， 的坐标． 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转和中心对称作图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质，画图即可， （）根据根据中心对称性质，画图即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】略． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一动点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出，得到，设，则面积，解得，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， ∴ 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得：， ∴， ∴， 设， ∴面积， 解得： ， 当时，， 解得：或， 当时，，方程无实根， ∴或． 22. 如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 【答案】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵， ， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴ 与相切． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得垂直平分，得到，进而可证，得到，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 23. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为直径作．若交x轴于点，则m，n为方程的两个实数根． （1）由勾股定理得，，在中，，所以．化简得，同理可得： ，所以m，n为方程的两个实数根； （2）已知一元二次方程，请在图2中画出，使得与x轴的交点横坐标刚好是方程的两个实数根（要求尺规作图，保留作图痕迹）； （3）已知点，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 如图，点M，N即为所求作； （3） 解：与x轴相切，理由如下： 由题意可知与x轴的两个交点的横坐标是方程的两个根， 可知， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 所以与x轴只有一个交点， 即与x轴相切． 【解析】 【分析】对于（1），仿照提供的解析过程，根据勾股定理解答； 对于（2），先确定点，连接，再以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线于点G，然后以点G为圆心，以为半径画圆，与x轴的交点即为所求作； 对于（3），由题意可知与x轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，再求出，可得一元二次方程有两个相等的实数根，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，根据勾股定理，得 ， 在中，，所以， 化简得， 所以n为方程的一个实数根； 故答案为：； 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中面积点，连接，以的中点为圆心画圆，交x轴于点M，N，则点M，N即为所求作； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程根的判别式，直线和圆的位置关系，尺规作中垂线，求一元二次方程的实数根，理解数形结合思想是解题的关键． 24. 【综合与实践】 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据： 0 0.5 1 1.5 2 … 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 … （1）当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式； （2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数） （3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①__________． ②球拍到桌边的距离的取值范围__________． 【答案】（1）1，（或） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式，再根据顶点坐标公式进行计算即可； （2）根据与的函数关系式，与的函数关系式进而得到与的函数关系式，再进行判断即可； （3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标，再代入乒乓球反弹后抛物线的关系式可求出的值； ②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可． 【小问1详解】 由题意得，， 设抛物线的关系式为，将，，代入得， ， ． 抛物线的关系式为． ， 当时，． 故答案为：1． 【小问2详解】 由题意得，， ， 当时， ． 乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． 答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． 【小问3详解】 ①当时，即， 解得，， ，， 即， 乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而， ， 解得． 故答案为：2.5． ②由①，乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与x轴的右交点为点E）， 当时，即， ，． ． ， 如图，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于， 在中，，， ，， 当时，即， 解得在上舍去），， 即， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 25. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平一中2025~2026学年第一学期九年级数学期中试卷 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是（ ） A. B.     C.    D. 4. 已知二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ） A. 点A在上 B. 点C在内 C. 直线与相切 D. 直线与相离 7. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且为的弦，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（m为常数，且），当时，y随x的增大而减小，当时，y的最大值为4，则m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 或4 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标为，点C的坐标为，将向左平移个单位长度后，再绕点O旋转，当垂直于x轴时，点B的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 12. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 13. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 14. 已知抛物线过点，则__________． 15. 若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为______________． x 0 1 2 3 y 14 7 2 16. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程∶ （1） （2） 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 19. 如下图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．请按要求画图： （1）将绕点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标． 20. 如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一动点P，使的面积为10，求点P的坐标． 22. 如图，为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．求证：与相切． 23. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为直径作．若交x轴于点，则m，n为方程的两个实数根． （1）由勾股定理得，，在中，，所以．化简得，同理可得： ，所以m，n为方程的两个实数根； （2）已知一元二次方程，请在图2中画出，使得与x轴的交点横坐标刚好是方程的两个实数根（要求尺规作图，保留作图痕迹）； （3）已知点，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 24. 【综合与实践】 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据： 0 0.5 1 1.5 2 … 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 … （1）当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式； （2）桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数） （3）乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①__________． ②球拍到桌边的距离的取值范围__________． 25. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $