3.3探索与表达规律 题型分类填空题专题提升训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学上册《3.3探索与表达规律》 题型分类填空题专题提升训练（附答案） 一、数字规律探索 1．已知下列一组数：，，，，，…，则第个数为 ． 2．计算：，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是 ；的个位数字是 ． 3．观察一列数，，，，，……，其中，，，，，……，则 ． 4．一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是 ． 5．数轴上所有整数点处均安装有固定灯，初始时仅点亮表示0的点处的灯．按规律切换亮灯点：第一次，在当前亮灯点处左2个单位长度，点亮该位置的灯，之后每次的亮灯都与前一次方向相反，且距离比前一次多2个单位长度．则第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是 ． 6．观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…； ② 1，，4， ，16，，…； ③ 设x，y，z分别为第①②③行的第8个数，则的值为 ． 7．已知整数，满足下列条件：，依次类推，则的值为 ． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2025次输出的结果为 ． 9．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……则的值为 ． 10．有依次排列的个数：，，，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串；，，，，，这称为第次操作；这样继续操作下去…… ①第二次操作后产生的新数串倒数第四个数为 ； ②从数串，，开始操作第次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 二、图形规律探索 11．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有 个点，第10个图形中有 个点． 12．用小棒按下面的方式搭图形，按这样搭下去，第10个图形需要 根，搭n个这样的图形要 根小棒． 13．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为 ． 14．如图的图中共有 个正方形． 15．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 ★． 16．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点、沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么他们第一次相遇在边上，请问他们第次相遇在哪条边上 17．下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有个黑色正方形，图②中有个黑色正方形，图③中有个黑色正方形，图④中有个黑色正方形，，依此规律，图中黑色正方形的个数是 ． 18．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒按此规律摆下去第n个图案需要 根小棒． 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，而把这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，如．正方形数可以看作两个相邻的“三角形数”之和，则这两个相邻“三角形数”是 ．    20．棱长为1厘米的正方体，按如图所示方式层层重叠放置． （1）第3个图形的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． （2）照这样摆下去，第5个图形的体积是 立方厘米． （3）如果要将摆成的第5个图形补成一个正方体，最少还需要补上 个这样的小正方体． 参考答案 1． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，通过观察给定数列的符号、分子和分母的规律，发现符号交替变化，分子为连续奇数，分母为连续正整数的平方，从而推导出第n个数的通项公式． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， ……，以此类推可知，这一列数的分子为从1开始的连续的奇数，分母是从1开始的连续的自然数的平方，其中奇数项符号为负，偶数项符号为正， ∴第个数为， 故答案为：． 2． 2 7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数9除以4的余数为1，对应个位数字为2； 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：2，7． 3．403 【分析】根据所给算式发现规律，总结出第，再将n=100代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， …， ∴， ∴， 故答案为：403． 4．1013 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出算式． 规定向右为正方向，根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，规定向右为正方向， ， 故答案为：1013． 5． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数字类规律探索，总结归纳出数字变化的规律是解题的关键．依次计算出前几次点亮的灯在数轴上对应的数，归纳出规律即可求解． 【详解】解：第1次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第2次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第3次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第4次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第5次点亮的灯在数轴上对应的数是， 第6次点亮的灯在数轴上对应的数是， …… 依此类推，第次点亮的灯在数轴上对应的数是，第次点亮的灯在数轴上对应的数是， 当时，即， 此时， ∴第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是． 故答案为：． 6． 【分析】本题考查规律型题目，关键在于理解题意找出题中规律； 第①行的数是以为底数，指数为项数的幂；第②行的数比第①行对应数多2；第③行的数是第①行对应数乘以；根据规律求出第8个数x、y、z的值，代入代数式计算. 【详解】解：第①行的第n个数为，第8个数 ； 第②行的第n个数为，第8个数 ； 第③行的第n个数为，第8个数； 代入代数式：. 7． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过计算前几项找出规律的方法是解题的关键．先根据已知条件依次计算出前几项的值，找出规律，再根据规律计算和的值，最后求和． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， …… 由此可发现规律：当为偶数时，；当为奇数时， 因为是奇数， 所以； 因为是偶数， 所以 则 故答案为： 8．4 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算，探究出运算结果的循环规律是解题的关键． 先通过计算，找到程序框图的规律，结果从第3次运算开始，结果每3次运算循环一次，则第次输出的结果与第3次输出的结果相同，即可求解． 【详解】当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， …… 从第3次运算开始，结果每3次运算循环一次， ， 第次输出的结果与第3次输出的结果相同， 第次输出的结果是4， 故答案为：4． 9．2025 【分析】本题主要考查了数字类规律，准确计算、发现规律是解题的关键． 先计算前几组数据，然后发现每三次变换为一个循环，然后运用规律解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ，，故数组； ∴每3次变换一个循环，且，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2025． 10． 【分析】本题主要考查数字变化类，关键是找出规律．能根据每次操作发现数据个数及数据之和变化的规律是解题的关键． ①根据规律求出第次操作后产生的新数字串，即可求解； ②根据规律分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数都为，从而求得第次操作后所有数之和，即可解答． 【详解】解：①第次操作后产生的新数字串为，，，，， 和为； 第次操作后产生的新数字串为，，，，，-11，，，， 故第二次操作后产生的新数串倒数第四项为． 故答案为：． ②初始数串为2，9，7，和为18。 第1次操作后数串为2，7，9，，7，和为； 第2次操作后数串为2，5，7，2，9，，，9，7，和为； 观察发现，每次操作后和增加5，即操作n次后和为， 当时，和为． 故答案为：． 11． 31 91 【分析】本题考查的知识点是图形类规律探索问题，解题的关键是通过观察图形分析总结出规律，再按规律求解．根据图形的排序、数量找出规律，即可求解． 【详解】解：通过观察得： 图1有：个点， 图2有：个点， 图3有：个点， 图4有：个点， 图5有：个点， …， 所以图6有：个点， 图10中的点数为：． 故答案为：31，91． 12． 41 / 【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力，通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需根小棒；据此解答即可． 【详解】解：第10个图形需要： （根）， 搭第n个图形需要根小棒． 答：第10个图形需要41根小棒，搭第n个图形需要根小棒． 故答案为：41；． 13． 【分析】此题考查规律型：图形的变化类，解决本题的关键是找规律的时候，一定要结合图形进行分析，注意前后两个图形之间的联系．根据图形的变化得到规律，灰色瓷砖块数每次增加2个，即可求解． 【详解】解：观察图形发现： 时，灰瓷砖的块数为：； 时，灰瓷砖的块数为：； 时，灰瓷砖的块数为：； …； 当时，灰瓷砖的块数为：． 故答案为：． 14． 【分析】这道题主要考查组合图形中正方形个数的计数知识点，具体是通过分类讨论不同边长的正方形，涉及到对图形的观察分析以及有序计数的数学思想，避免重复或遗漏计数． 【详解】解：设一个小正方形的边长为1， 正方形的边长可以是，，，(因为图的列数为，边长最大只能是；行数为，不影响边长的最大值)， 对于一个的网格(为行数，为列数)，边长为的正方形数量为： 数量(行数)(列数) 具体到(行数，列数)： 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 边长为的正方形：个数为（个）， 将所有边长的正方形个数相加：（个）， 故答案为：． 15．60 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过归纳总结，得到其中规律是解题的关键．根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有个五角星， 第二个图形有个五角星， 第三个图形有个五角星， 第四个图形有个五角星， ∴第20个图形共有个五角星， 故答案为：60． 16． 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，解题关键是根据题意找到规律． 设出正方形的边长a，根据甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵乙的速度是甲的速度的3倍，且运动时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： 第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 由此得到：四次一个循环． ∵， ∴它们第2025次相遇在边上， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了图形的变化规律问题，由已知图形可得图中黑色正方形的个数为，进而把代入计算即可求解，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵图①中有个黑色正方形， 图②中有个黑色正方形， 图③中有个黑色正方形， 图④中有个黑色正方形， ， ∴图中黑色正方形的个数为， 当时，， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查图形的变换规律，求得每个图形中小棒的根数与图形的个数的关系是解决本题的关键．第一个图形有小棒：根；第二个图形有小棒：根；第三个图形有小棒：根；第四个图形有小棒：根；由题意得出：得到其余图形中小棒的根数在4的基础上增加几个3即可． 【详解】解：第一个图形有小棒：根 第二个图形有小棒：根； 第三个图形有小棒：根； 第四个图形有小棒：根； 以此类推， 所以第个图形需要小棒：根， 故答案为：． 19．解：三角形数的规律： ， ， ， ， ， 所以第个三角形数为：； 正方形数的规律： ， ， ， ， ， ∴第个正方形数为， ∵， ∴第个正方形数为第个与第个三角形数之和， 当正方形数为时，即， 解得， 所以第个正方形数为第个与第个三角形数之和， 第个三角形数为：， 第个三角形数为：， 所以这两个相邻“三角形数”是和． 故答案为：和． 20．解：（1）表面积为：平方厘米， ∴平方厘米； （2）立方厘米， ∴立方厘米； （3）个， ∴最少需要补上90个这样的小正方体． 学科网（北京）股份有限公司 $