3.3探索与表达规律 题型分类解答题专题提升训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学上册《3.3探索与表达规律》 题型分类解答题专题提升训练（附答案） 一、数字规律探索 1．观察下列各式： ；；； (1)写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算：． 2．观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 3．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……；① 1，7，，19，，67，……；② ，11，，35，，131，……；③ (1)填空：第①行第7个数是________，第①行第个数可以表示为________；观察第②行中的数与第①行相对应的数之间的关系，确定第②行第个数可以表示为________； (2)取第③行中第9个与第10个数，计算它们的和． 4．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，； (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 5．如图所示为由“※”组成的图案，现给出下列算式： ； ； ； ； … 观察并解答下列问题： (1)根据规律，猜想___________； (2)根据规律，猜想___________； (3)请用上述规律计算：． 6．已知（且n是自然数）是按顺序排列的若干个数．定义一种运算方式：第一个数为，第二个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：________；________；________． (2)根据以上计算试求的值． (3)若表示不超过p的最大整数，如，记，当时， ________（直接写出答案）． 7．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)数列2，1，3___________理想数列（填“是”或“不是”） (2)若数列，是理想数列，则___________，___________；（直接填空） (3)若数列，是理想数列，求代数式的值； (4)若数列．．．，1，，，…，是理想数列，且，求代数式的值． 8．找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 9．如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． (1)用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； (2)移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； (3)在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 10．【问题初探】 数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为进而得到 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的类比图1，可求的值． 【归纳结论】 （1）(用含n的式子表示)； 【学以致用】 （2）运用（1）发现的结论计算的值； 【拓广探索】 （3）计算的值． 二、图形规律探索 11．摆一摆，找规律 (1)请画出第⑥个图形； (2)摆第7个图形需要用______根小棒； (3)摆第个图形需要用______根小棒． 12．如图，将长3厘米，宽2厘米的长方形硬纸如下图一层、二层、三层地排下去， (1)当排到第五层时，一周的长度是___________厘米； (2)当周长是150厘米时，一共有___________层． 13．（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 14．一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 15．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（）个点． (1)当时，图形的点数为　　个； (2)当时，图形的点数为　　个； (3)当时，图形的点数为　　个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为　　个． 16．学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 17．仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 18．综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 19．用边长相同的正方形和三角形两种瓷砖进行设计、拼接，铺设地面，如图所示． 【观察思考】 第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此类推． 【规律总结】 （1）第5个图案有_____个三角形，第个图案中有_____个三角形．（用含的代数式表示） 【问题解决】 （2）如果每块正方形瓷砖50元，每块三角形瓷砖20元，当时，求铺设地面共需花多少钱购买瓷砖． 20．观察下列图形与等式的关系： 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是___________，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式：___________； (2)用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：___________； (3)运用上述规律直接写出的值． 参考答案 1．（1）解：第n个等式为； （2）解：原式． 2．（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． 3．（1）解：观察①的变化规律可知第n个数可以表示为：， 则第①行第7个数是， 再观察第②行中的数与第①行相对应的数之间的关系为：， 故答案为：；；； （2）观察第③行中的数与第①行相对应的数之间的关系为， 则第9个数为：， 第10个数为：， 第9个数与第10个数和为：． 4．（1）解：①，， ，， ，则①是“隔一数对”； ②，， ，， ，则②不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．（1）解：∵； ； ； ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 6．（1）解：， ， ， ， 故答案为：，3，； （2）解：由（1）可得：该数列以，，3这3个数不断循环出现， ， ， ， ； （3）解：表示不超过的最大整数，， ， 当，且为3的倍数时，有， 解得：， 则当时，， 综上所述：或650． 故答案为：648或650． 7．（1）解：∵， ∴数列2，1，3是理想数列， 故答案为：是； （2）解：∵数列，是理想数列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5，29； （3）解：∵数列，是理想数列， ∴， ∴ ； （4）解：∵数列1，，，…，是理想数列， ∴、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入式子中， 代入得， ． 8．（1）解：①1，②1，③1，④1； （2）解：① 故答案为：1； ② 故答案为：1； （3）解： ． 9．（1）解：， 故答案为：80； （2）解：由（1）中计算过程可发现：以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，； 故答案为：； （3）解：设位于“”形阴影最中间的一个数为，由（2）知， ， ． 所以这五个数字中最中间的数为12． 10．解：（1）∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）将原式变形，提取，得到 ． 根据（1）的结论，． 所以原式． （3）将每一项拆分：，，，，，． 原式可转化为： ． 11．（1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形； （2）观察图形可知： 1个三角形所需火柴棍的根数为3， 2个三角形所需火柴棍的根数为， 3个三角形所需火柴棍的根数为， 4个三角形所需火柴棍的根数为， … n个三角形所需火柴棍的根数为， 当时，， 故摆第7个图形需要15根小棒． （3）由（2）可知： n个三角形所需火柴棍的根数为， 故摆第个图形需要用根小棒． 12．（1）解：排到第1层时，一周的长度是（厘米）， 排到第2层时，一周的长度是（厘米）， 排到第3层时，一周的长度是（厘米）， …… 依此类推，排到第层时，一周的长度是厘米， 当时，， ∴当排到第五层时，一周的长度是50厘米； 故答案为：50； （2）解：令，解得， ∴当周长是150厘米时，一共有15层， 故答案为：15． 13．解：（1）第一个图形需要7根小棒， 第二个图形需要根小棒， 第三个图形需要根小棒， … 则第n个图形需要根小棒， 故答案为：； （2）摆法如图（答案不唯一）所示： 14．（1）解：观察图形或分析拼接规律： 1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可坐人数增加2人； 因此2张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 3张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 归纳得出，张桌子拼在一起可坐人数为人． 故答案为：，，． （2）根据（1）中得到的规律，当时，可坐人数为人， 已知40张桌子可拼成8张大桌子，每张大桌子可坐14人， 因此总人数为人． 答：共可坐人． 15．（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：6072． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 16．（1）解：当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 以此类推，可知第个图形中火柴有根， ∴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得，第个图形中火柴有根； （3）解：是2026的倍数，理由如下：      ∴前个图形火柴数的总和是的倍数． 17．（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 18．解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 19．解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3， ∴第5个图案有个正三角形， 依据第1个图案有4个正三角形，后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3， ∴第个图案中有个正三角形． 故答案为：16；； （2）第1个图案有1个正方形， 第2个图案有2个正方形， 第3个图案有3个正方形， 第4个图案有4个正方形， ……， 以此类推可知，第n个图案有n个正方形， ∴当，即第10个图案中，有10个正方形，有个正三角形， ∴铺设地面共需花元购买瓷砖． 20．（1）解：由所给图形可知， 第1个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：； 第2个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：； 第3个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：； ， 所以第n个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：． 当时，， 则第5个图中空白部分小正方形的个数是11； 当时， 第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：． 故答案为：11，； （2）由（1）知，第n个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为：； （3）根据题意： 学科网（北京）股份有限公司 $