精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

沈北新区2025—2026学年度上学期期中测试 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”， 已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项． 令，则，解得，即函数与x轴的交点为； 令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 5. 下列正确的是（ ） A. 6是36的算术平方根，即 B. 6是的算术平方根，即 C. 是49的平方根，即 D. 是4的平方根，即 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 6. 下列关于直线的说法不正确的是（ ） A. 一定经过点 B. 与轴交于点 C. 随的增大而增大 D. 图像过一，三，四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第二象限 B. 点到轴的距离为2 C. 若中，则点在轴上 D. 若在轴上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标上点的特征．根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 点在第二象限，故该选项正确，不符合题意； B. 点到轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意； C. 若中，则点在轴或轴上，故该选项不正确，符合题意； D. 若在轴上，则，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，D是线段上的动点（不与点重合）．当的面积为时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，过作交于，先由，可求出，再表示出面积即可求出的长. 【详解】解：过作交于 ∵ ∴为中点 ∵ 在中 ∴ ∴ ∴ 故选：D 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 10. 如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵ ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由可得： ， 解得：且． 【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键． 12. 把无理数，，表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根以及数轴上的点表示的数的意义，熟练掌握算术平方根以及数轴上的点表示的数的意义是解决本题的关键． 先根据数轴确定被覆盖无理数的范围，再分别分析三个无理数的大小，找出在该范围内的无理数． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为，由数轴可知， ， ， ， ∴被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是. 故答案为：． 13. 如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是______．（填序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的运算规则以及乘法公式的应用． （1）分别计算平方根、立方根，再进行加减运算； （2）先分别进行二次根式的除法和乘法运算，再进行减法运算； （3）利用积的乘方逆运算和平方差公式进行简便计算； （4）分别计算乘方、绝对值、立方根，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 18. 阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分子分母都乘以（），即可得出答案； （2）根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相等．找出分母的有理化因式是解本题的关键． 19. 某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数满足如图1所示的函数关系. 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒满足如图2所示的函数关系. 根据图像回答下列问题： （1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？ （2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？ （3）请分别求出与的函数关系式. （4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由. 【答案】（1）5 （2）， （3） （4）当 则 即当购买包装盒的数量为8000盒时，方案一与方案二所需费用一样；当 则 即当购买包装盒的数量大于8000盒时，方案二更省钱；当 则 即当购买包装盒的数量小于8000盒时，方案一更省钱 【解析】 【分析】（1）根据图一得出答案； （2）根据图二得出租赁机器的费用和盒子的单价； （3）利用待定系数法分别求出两个函数的解析式； （4）首先求出两个相等时的值，然后得出答案． 【小问1详解】 解： ∴方案一中每个包装盒的价格是元 【小问2详解】 根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为元， 盒子的单价为， 故盒子的单价为元； 【小问3详解】 设图象一的函数解析式为：， 由图象知函数经过点(100,500)， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 设图象二的函数关系式为 由图象知道函数的图象经过点和 ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； 【小问4详解】 令， 解得， ∴当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案一；当时，选择方案二． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． （1）已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； （2）若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】（1）①3；②③或． （2）的值是或 【解析】 【分析】（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解； ②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点； ③根据“等距点”的定义可得点的“长距”是3，从而得到，解方程即可求解； （2）由于点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，又，为“等距点”，可分两种情况讨论：①若，则，②若，则，解之即可解答． 【小问1详解】 ①∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”是3． 故答案为：3 ②∵点的“长距”是3， 点的“长距”是3， 点的“长距”是5， ∴点A的“等距点”是点E，F． 故答案为：E，F ③∵点A，B两点为“等距点”，且， ∴， 解得或． 故答案为：或 【小问2详解】 ∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为1， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为4， 又，为“等距点”， ∴①若，则， 解得（舍去）或． ②若，则， 解得或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键． 21. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 22. 【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 【答案】 （1）证明：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①，，②或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）设直线与轴交于点，设，先求出，，根据，在中利用勾股定理建立方程求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； ②如图所示，当点M在原点右边时，连接，， 由题意得， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：设直线与轴交于点，设， 对于直线：，当；，， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线，代入，， 则， 解得， ∴直线． 23. 如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求∠BPC的大小． 李明同学的思路是： 将绕点B旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，只要证得是等边三角形，是直角三角形，进而求得∠BPC的度数，使问题得到解决． 问题（1）：请直接写出的度数； 问题（2）：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点P，且，，．求的度数和正方形的边长． 【答案】（1）；（2），正方形的边长是 【解析】 【分析】根据旋转得出，求出，得到等边，推出，求出即可求出； （2）求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；过点 B 作，交 的延长线于点 F ，求出，，根据勾股定理即可求出 ． 【详解】解：（1）∵等边， ， 将绕点逆时针旋转得出， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， 与（1）类似：可得， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， 在中，由勾股定理，得． 答：的度数是，正方形的边长是． 【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈北新区2025—2026学年度上学期期中测试 八年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 5. 下列正确的是（ ） A. 6是36的算术平方根，即 B. 6是的算术平方根，即 C. 是49的平方根，即 D. 是4的平方根，即 6. 下列关于直线的说法不正确的是（ ） A. 一定经过点 B. 与轴交于点 C. 随的增大而增大 D. 图像过一，三，四象限 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第二象限 B. 点到轴的距离为2 C. 若中，则点在轴上 D. 若在轴上，则 8. 如图，在中，，D是线段上的动点（不与点重合）．当的面积为时，的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是____． 12. 把无理数，，表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是______． 13. 如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 15. 周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是______．（填序号） 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 18. 阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 19. 某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数满足如图1所示的函数关系. 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒满足如图2所示的函数关系. 根据图像回答下列问题： （1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？ （2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？ （3）请分别求出与的函数关系式. （4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由. 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． （1）已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是 ． ②在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______； （2）若，两点为“等距点”，求k的值． 21. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 22. 【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 23. 如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求∠BPC的大小． 李明同学的思路是： 将绕点B旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，只要证得是等边三角形，是直角三角形，进而求得∠BPC的度数，使问题得到解决． 问题（1）：请直接写出的度数； 问题（2）：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点P，且，，．求的度数和正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $