精品解析： 江西省鹰潭市余江区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期 九 年 级 数 学 期 中 作 业 题 说明： 1．本作业共有六个大题，23个小题，满分120分，时间120分钟． 2．本作业分为作业题和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在作业题上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，正方形中，E是的中点，、的延长线交于点F，的垂直平分线分别交、于点H、G，连接，则与相似的三角形个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 用配方法解一元二次方程，此方程变形为的形式是_______________． 8. 把红、白、黄、蓝四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取______个球以保证取到两个颜色相同的球． 9. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根的值为_____． 10. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 11. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则______． 12. 如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 13. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 14. （1）解方程：． （2）如图，点为边上一点，，，．求证： ． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 16. 如图，在矩形中，连接，．将沿射线的方向平移，得到．若与相交于点，求的值． 17. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 18. 在图1、2中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝900，O是斜边AB的中点，△ABD是等边三角形，BD∥AC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图（1）中，画出矩形ACBE，使E点在BD上； （2）在图（2）中，画出菱形DEOF，使E点在BD上，F点在AD边上． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 某人民广场是环岛型交通广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从，，三个出口中随机选择一个出口驶出． （1）乙车从C出口驶出的概率是 ； （2）用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 20. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． （1）证明：四边形是正方形； （2）若矩形与原矩形相似，．求的长． 21. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 22. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 23. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 六、（本大题共12分） 24. 如图，在矩形中，M、N分别是的中点，P、Q分别是的中点． （1）求证：． （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． （3）矩形的边与满足什么长度关系时，四边形是正方形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期 九 年 级 数 学 期 中 作 业 题 说明： 1．本作业共有六个大题，23个小题，满分120分，时间120分钟． 2．本作业分为作业题和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在作业题上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：∵3a=2b， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 4. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（平均变化率问题），解题的关键是根据平均降低率的规律列出方程． 根据平均降低率的公式，结合初始成本、降低率和两个月后的成本，列出方程并判断选项． 【详解】解：设月平均成本降低率为，则第一个月后的成本为万元，第二个月后的成本为万元， 根据题意，两个月后成本降至1.2万元， 因此方程为： 故选：C． 5. 如图，正方形中，E是的中点，、的延长线交于点F，的垂直平分线分别交、于点H、G，连接，则与相似的三角形个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是正方形，，，得到；由，，，得到；由，，得到；即可得到相似三角形的数量 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键 6. 如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形，每一步都踩在一块纸片的中心，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，进而可得这个小孩走的路线所围成的图形． 【详解】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 用配方法解一元二次方程，此方程变形为的形式是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查配方法解一元二次方程． 根据完全平方公式配方即可． 【详解】解：方程， 移项得， 配方得， 即． 故答案为：． 8. 把红、白、黄、蓝四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取______个球以保证取到两个颜色相同的球． 【答案】5 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数． 【详解】解：考虑最差情况，先取出4个球，这4个球可能是红、白、黄、蓝四种颜色各取了一个，再取任意一个，就能保证两个球颜色相同． 4+1=5（个）， 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球． 故答案为：5． 【点睛】此题考查的知识点是简单的抽屉原理．抓住四种颜色对应四个小球是解题的关键． 9. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则另一个根的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 设另一个根为，再根据根与系数的关系求另一个根即可． 【详解】解：设另一个根为， 根据根与系数的关系，两根之和为， 即， 解得． 故另一个根为． 故答案为：． 10. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，，，． ∴， 在中，，是斜边上的中线， ． 11. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，根据等边对等角得到，利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________． 【答案】或2或12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ， ， 解得； 若， ∴， 设， ， ， 解得； 综上所述，的长度为或2或12， 故答案为：或2或12． 13. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P在AD上，若△PBC为直角三角形，则CP的长为_____． 【答案】2或2或2 【解析】 【分析】分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合，由勾股定理得CP＝；②当∠BPC＝90°时，由勾股定理得22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，求出AP＝2，DP＝2，由勾股定理得出CP＝；③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， 分情况讨论：①当∠PBC＝90°时，P与A重合， 由勾股定理得：CP＝； ②当∠BPC＝90°时， 由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2＝22+AP2，CP2＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）2，BC2＝BP2+CP2＝42， ∴22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16， 解得：AP＝2， ∴DP＝2， ∴CP＝； ③当∠BCP＝90°时，P与D重合，CP＝CD＝2； 综上所述，若△PBC为直角三角形，则CP的长为或或2； 故答案为：2或2或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程以及分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 14. （1）解方程：． （2）如图，点为边上一点，，，．求证： ． 【答案】（1）；， （2）证明：，， ， ，， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似三角形的判定． （1）根据配方法求解即可； （2）求出，再根据即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ；； （2）略 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 16. 如图，在矩形中，连接，．将沿射线的方向平移，得到．若与相交于点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平移的性质得到，，根据平行线分线段成比例得到，由矩形的性质得到，代入比例式求出比值即可 【详解】解：由平移可知，，， ， 在矩形中，， ， ， ． 17. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 18. 在图1、2中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝900，O是斜边AB的中点，△ABD是等边三角形，BD∥AC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图（1）中，画出矩形ACBE，使E点在BD上； （2）在图（2）中，画出菱形DEOF，使E点在BD上，F点在AD边上． 【答案】 （1）在图 1 中，四边形DEOF即为所求的矩形； （2）在图 2 中，四边形DEOF即为所求的菱形． 【解析】 【分析】（1）连接CO，并延长交BD于E点，连接AE，即可得到矩形DEOF； （2）连接CO，并延长交BD于E点，连接AE,OD，交于G,再连接BG,延长交于F，即可得到菱形DEOF. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查作图，解题的关键是熟知矩形、菱形的判定与性质. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 某人民广场是环岛型交通广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从，，三个出口中随机选择一个出口驶出． （1）乙车从C出口驶出的概率是 ； （2）用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：共个出口，乙车从C出口驶出的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 20. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． （1）证明：四边形是正方形； （2）若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 21. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】（1） （2） 解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 22. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 【答案】（1） 解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 23. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 六、（本大题共12分） 24. 如图，在矩形中，M、N分别是的中点，P、Q分别是的中点． （1）求证：． （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． （3）矩形的边与满足什么长度关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵P是的中点， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （3） 解：当时，四边形是正方形，理由如下： 如图，连接． 由（2）可知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵P、Q分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，再根据线段中点的定义得到，由此证明，即可证明； （2）如图，连接，由矩形的性质得到，，由线段中点的定义得到，则四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，得到，同理可得，再由，推出，即可证明四边形是菱形． （3）要想四边形是正方形，则菱形中，由于（三角形中位线定理得到），（矩形的性质得到），则时，可推出，即可推出四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知矩形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $