精品解析：青海省西宁市虎台中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

6学科网 列组卷网 西宁市虎台中学九年数学阶段性检测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分) 1随若A1技术的普及，出现了很多“现象级”A应用，以下是一些常见A1 logo 应用的 图案，其中是中 心对称图形的是() 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可， 【详解】解：A.不是中心对称图形，故A不符合题意： B.不是中心对称图形，故B不符合题意： C.不是中心对称图形，故C不符合题意： D.是中心对称图形，故D符合题意. 故选：D. 2.下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦 的直径垂直于弦，你认为正确的共有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质， 本题考查圆的基本性质，包括等弧、弦、圆心角等概念，需要根据圆的性质逐一判断每个说法的正确性 【详解】解：①长度相等的弧必须是同圆或等圆中才称为等弧，故错误： ②直径是圆中最大的弦，正确： 第1页/共33页 6学科网6组卷网 ③相等的圆心角所对的弦相等必须在同圆或等圆中才成立，故错误： ④平分弦的直径垂直于弦，必须弦不是直径才成立，故错误。 ·正确的只有②，共1个， 故选：B 3.已知二次函数y=+hr+ 的'与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（) 0 2 3 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=2 ，ys5 C.当=5 D.若A(1.2,H),B(43乃)是图象上两点，则片> 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛 物线的对称性可对B进行判断；把x=5代入函数解析式求出y值即可判断C:根据二次函数的图象和性质 可对D进行判断， 【详解】解：设抛物线解析式为y=c(x-4) 把（-1,5)代入得5=ax(-)x(-1-4), 解得a=1, :抛物线解析式为y=t-4,开口向上，所以A选项不符合题意： y=x2-4x=(x-2)2-4 第2页/共33页 命学科网组卷网 ∴抛物线的对称轴为直线x=2，所以B选项不符合题意： 把x=5代入y=x2-4x=(x-2)2-4 解得：少5 ,所以C选项不符合题意： A1.2,),B(43,少)是函数y=t-4x图象上两点， 且1.2-2<4.3-21 离对称轴越近越小，则片<片，所以选项D符合题意， 故选：D 4.如图，Rta0AB的顶点(-2,4)在抛物线y=am上，将Rt△0AB绕点0顺时针旋转90，得到 △OCD CD P P ,边 与该抛物线交于点，则点的坐标为() B O A.（V2,2) B.(2,2） c(N2,2 D.(1,2) 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征，先根 据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D(0,2）,且DC∥x拍，从而求得P的纵坐标为 2,代入求得的解析式即可求得P的坐标，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键. 【详解】解：：Rt△OAB的顶点1(-2,4)在抛物线y=上， 第3页/共33页 6学科网 组卷网 .4=4a,解得a=1, ·抛物线为少= :点1(-2,4) :B(-2,0) .OB=2, ,将RtAOAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD, .D点在y轴上，且OD=OB=2, :D(0,2) :DC⊥OD. .DC∥x轴， P点的纵坐标为2，代入y=r ,得2=x2 解得七=±V2 P2,2. 故选：C 5.已知关于x的二次三项式+br+ 的部分对应值如表： 3 33 3 第4页/共33页 学科网 组卷网 据此可估计关于x的一元二次方程r+bc+c=0 的一个根的取值范围为() 3.1<x<3.2 A. B.3.3<x<3.4 c3.2<x<3.3 D.3.4<x<3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到X=3.3时，m+br+C=-0.01<0 X=3.4时， 2+bx+c=0.,36>0进行求解，即可解题. 【详解1解：依题意，x=3.3时，m2+hx+c=0.01<0 =3.4时，r+hr+c=0.36>0, “关于x的一元二次方程ar+br+c=0 的一个根的取值范围为 .3<x<3.4 故选：B 6.如图，抛物线y=2+hx+C与x轴交于点1(-2,0)，B(6,0),与y轴交于点C,小红同学得出了以 下结论：①b-4ac>0:②4a+h=0:③当y>0时，-2<x<6:@(a+c<h,⑤3a+c>0. 其中正确的个数为() y=ax2+bx+c 6 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可. 第5页/共33页 学科网命组卷网 【详解】解：：抛物线y=心+x+c与x轴交于点1(-2,0），B(6,0), 抛物线对应的一元二次方程r+hr+c=0 有两个不相等的实数根， 即4=b2-4ac>0 故①正确： x=-b=2+6=2 对称轴为直线2a2 整理得4a+b=0,故②正确： 由图象可知，当户0时，即图象在箱上方时， x<-2.x>6 或，故③错误， 由图象可知，当术= -时，y=a-b+c<0 当x=1时，y=a+b+c<0 时 ∴.(a+b+c)(a-b+c)>0 即(a+c)2-b2>0 则(a+c'>b,故④不正确： .4a+b=0 .b=-4a, ∴.y=a-b+c=5a+c<0 .3a+c<-2a .a>0 即3a+c<0,故⑤错误. 第6页/共33页 6学科网 命组卷网 则正确的有①②，共2个， 故选：C 7知图.点4A、C0E在O0上.且∠40的度数为0°，则∠B+∠D的度数为() ⊙0 B D A E A.1550 B1450 c1100 D 90° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，作出辅助线构造圆内接四边形是解题的关键。连 接AB,利用圆内接四边形的性质得到∠ABE+∠CBE+∠D=180°，再利用圆周角定理求出 ∠ABE=1∠40E=350 2 即可求解. 【详解】解：如图，连接AB, D “四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠D=180°. 第7页/共33页 6学科网命组卷网 :.∠ABE+∠CBE+∠D=180 又∠ABE=2∠A0E-)×70°=35 .∠CBE+∠D=180°-35°=145° 故选：B 8.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，点E从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速 度运动到点C,同时点F从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D.在此过程中 △AEF的面积y与运动时间t的函数关系大致是() D V3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，二次函数图象的识别，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等 三角形的性质与判定，过点A作AT⊥EF于T,连接AC,可证明△ABC是等边三角形，得到 第8页/共33页 命学科网命组卷网 ∠BAC=∠ACB=60°AC=BC=CD=AD △ACD ∠ACF=∠ABE 再证明 是等边三角形，得到 证 明△ABE≌AACF(SMS）,得到AE=AD,∠BAE=∠CAP,则可证明△AEF是等边三角形，进而可 求出Sa=)4ArEF=5 2 E,当1=0时，B=AB=2,则S,=V5,当1=2时， 4 AB=AC=2,则Sr=V5,据此可得答案 【详解】解：如图所示，过点A作AT⊥EF于T,连接AC, ,四边形ABCD是菱形， :AB=BC=CD=AD,, .∠ABC=60°. ∴.△ABC是等边三角形 ∴.∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=CD=AD. :.△ACD是等边三角形， ∠ACF=∠ABE=60°， :点E从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度运动到点C,同时点F从点C出发，沿CD以每 秒1个单位长度的速度运动到点D, .BE =CF, :△ABE≌aACF(SAS) :.AE=AF,∠BAE=∠CAF, 第9页/共33页 6学科网6组卷网 .∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°， ∴.△AEF是等边三角形， 小能-8n-46 2 AT-A+ET-AB 2 当I=0时，AE=AB=2,则Sr=V5 当1=2时，AE=AC=2,则S,m=V5 故选：C B 二、填空题（每小题2分，共20分） 9若函数=(0一3)X+2m15 是二次函数，则m=一· 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可. 【详解】“函数y=(m-3)x+2B 是二次函数， ∴.m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5. 第10页/共33页 6学科网命组卷网 考点：二次函数的定义 10若实数x,y满足(x+y-6(x+y）-16=0,则x2+y的值为 【答案】8 【解析】 【分析】木题考查的是解一元二次方程，将+少看成一个整体，令了+少=加，转换成一个头于m的 一元二次方程，利用因式分解法求出m的值，再结合平方的非负性，即可得到答案. 【详解】解：令x+y2=m≥0 …(x2+y2-6(x2+y2）-16=0, :m2-6m-16=0 .(m+2)(m-8)=0 ∴m+2=0,m-8=0」 m=-2(不合题意，舍去)，m=8, :r+y的值为8 故答案为：8. 1.若点M(-1+2m,-5)和点(3-3+川)关于原点对称，则m的值为 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可. -1+2m=-3,-3+n=5 【详解】解：由题意， m=-1,n=8 解得 .m”=(-1)=1 第11页/共33页 6学科网丽组卷网 故答案为：1. 12若关于x的一元二次方程k-)r-3r-2=0 有两个实数根，则k的取值范围是 1 k≥ 【答案】 8且k≠1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键.因为一元二次方 程k-l0r2-3x-2=0 两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等 式组，求解即可. 【详解】解：：一元二次方程k-)x2-3x-2=0 两个实数根， k-1≠0 (-3)2-4(k-1)-(-2)≥0 [k≠1 解得k之-」 8 、1 k的取值范围是8且k≠1. 1 k2- 故答案为： 8且k≠1. 13.二次函数片=r+bx+c(a≠0)与一次函数乃=c+m(k≠0)的图象知图所示，当 ax2+(b-k)x+c≥m 时，自变量x的取值范围是 第12页/供33页 学科网命组卷网 【答案】x≤1或x≥4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值 范围即可· 【详解】解：观察图象得：当≤1或x之4时，片≥为， 即当x≤l或x≥4时，+bx+C≥c+m,此时r+(b-k)x+c≥m 所以当r+(b-k)x+c≥m时，自变呈x的取值范围是x≤1或x之4， 故答案为：x≤1或x之4 Rt△ABC 90° 14.如图，将 绕直角顶点C顺时针旋转0，得到 C,连接M,若 △A'B'C AB=4,∠AA'B'=15° 则AB 的长度为一 B B 【答案】 2V3-2 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理.根据旋转的性质可得 AC=CA',∠BAC=∠CA'B' 可得∠CAB'=30 ,再由含30度角的直角三角形的性质，可得 BC-BC-14B-2 2 ,再由勾股定理，可得AC=AC=2V3,即可求解. Rt△ABC 90° △A'B'C 【详解】解：·将 绕直角顶点C顺时针旋转，得到 第13页/共33页 6学科网命组卷网 :AC=CA,LBAC=∠CA'B :ZCAM'=∠CAA=45o .∠AA'B'=15°， :∠CAB'=30 AB=A'B'=4,∠A'CB'=∠ACB=90° :BC-BC-148-2 2 .AC=A'C=V42-22=2V3 .AB'=AC-B'C=23-2 故答案为： 2W3-2 15.如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面AB宽为20m,拱桥的最高点O到水面AB的距离为 4m 3m CD ，CD .如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 【答案】10m 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键， 以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作Y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析 第14页/供33页 6学科网列组卷网 式为y=2,由此可得A(-10,4,B10,4),即可求函数解析式为'=25，再将y=1代入解析 式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=c ,O点到水面AB的距离为4m, ∴.A、B点的纵坐标为4， :水面AB宽为20m, ∴.A(-10,-4),B(10,-4) 将点A代入y=r2 -4=100a, 1 ∴.a= 25’ 1 ∴.y= ,水位上升3m就达到警戒水位CD, ∴.C点的纵坐标为-1， -1=-x2 25 第15页供33页 6学科网 命组卷网 .x=t5 .∴.CD=10m 故答案为：10m. 16.如图，N是⊙O的直径，N=2,点A在⊙O上，∠AN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN 上一动点，则PA十PB的最小值为 A M OP 【答案)V3 【解析】 【分析】作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,连接OA,OC,作OD⊥AC于D,根据勾股 定理求解即可. 【详解】解：作点B关于N的对称点C,连接AC交N于点P,则P点就是所求作的点. 此时PA+PB最小，且等于AC的长， B M 连接OA,OC,OB,作OD⊥AC于D, ,∠AMN=40°， .∠AOW-80, B为弧AN的中点， ∴.∠AOB=∠NOB=40°， 由对称可知，∠CON=∠NOB=40°， .∠A0C=120°， 第16页/共33页 6学科网 命组卷网 .MN=2 ∴.OA=0C=1, .∠OAC=∠OCA=30°， 1 .OD=2, CD=Joc2-Op3 , AC=2CD=3 故答案为V5 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点的位 置，求出∠AOC的度数是解决本题的关键 17.当-1≤x≤2时，二次函数y=m+a- 有最大值4，则“的值为 【答案)1或V5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为y轴，再分α>0和 a<0两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 【详解】解：y=ar2+a2-1 ∴抛物线的对称轴为y轴， 当a>0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， .-1≤x≤2， 当x=2时，函数有最大值， 即4a+a2-1=4 解得a=1或a=-5(不合，舍去)； 第17页/供33页 6学科网列组卷网 当a<0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， -1≤x≤2， 当x=0时，函数有最大值， 即0-1s4 解得a=5或a=5(不合，舍去)： 综上，的值为1或V5 故答案为：1或V5 A(1,0) 18.在平面直角坐标系中，将点 向右平移一个单位得到点B,再取点B关于原点的对称点C,然后 把点C绕原点顺时针旋转90°得到点4，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个 周期变化后得到的点为4，以此类推，则点A,5的坐标为 【答案】 (0,2) 【解析】 【分析】依据题意求出4,4,4,4的坐标，发现A,4,4,4“4次一循环，那么得到点5的坐标与 点4(0,2)的坐标一样，即可求解。 【详解】解：如图： 第18页供33页 可学科网命组卷网 A1●M A2---G O NI---H 由题意得， B(1+L,0),即B(2,0) 取点B关于原点的对称点C, :C-2,0) :点C绕原点顺时针旋转90°得到点4 :4(0,2) 同理，由愿意得M(1,2),N(-1,-2) 0N=0A2,∠4,0N=90° 由旋转得： 过点马，W 分别作'轴的垂线，垂足为点G,H,则∠4，G0=∠ON=90° :∠4=∠N0H=90°-∠40G :.△4，GO≌aOHN(AAS) :4,G=0H=2,0G=MH=1 4(-2) 同上操作可求：4(，-），4(L,0）,… 第19页供33页 6学科网6组卷网 发现4,4,4,4…4次一循环， 2025÷4=506…1 点45的坐标与点4(0,2)的坐标一样为(0,2）， 故答案为： (0,2) 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质 等知识点，找出点的变化规律是解题的关键， 三、解答题 19.解下列方程： a)x+5x-4=0 （2)0y-0=20-1) 【答案1当-5+面，与-5面 2 2 (2)y=2,52=1 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； (1)根据公式法解一元二次方程即可： (2)根据因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 解：x2+5x-4=0 :0=,b=5,c=-4 片x=-b±v公-4e_-5±25+16 2a 2 第20页/供33页 命学科网命组卷网 书s5+ -5-√41 2 ,X2= 2 【小问2详解】 解：0-)=20-) yy-1)-2y-1)=0 (y-2)y-1)=0 y-2=0y-1=0 或 解得：片=2，乃=1 20.若二次函数y=ar+br+c(a≠0)图像的顶点为4(2，-，经过点B(4,3) (1)求a、b、c的值： (2)向上或向下平移抛物线y=x'+hr+c(a≠0) 使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线 的函数表达式 【答案】(1)a=1,b=-4,c=3 (2)y=x2-4x 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移. (4)由题意设二次函数的顶点式y=(x-2-1,再把点B(4,3)代入求得Q的值，最后把二次函数的 顶点式化为一般式，即可求出a、b、C的值： (2)由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可. 【小问1详解】 第21页/供33页 6学科网命组卷网 解：：二次函数y=a+bx+c(a≠0)图象的顶点为4(2，) ·设顶点式y=a(x-2)2-1 代入B(43),得3=4a-1,解得a=1, 二次函数的解析式为y=(x-2)}-1 展开得y=-4x+3,故Q=1,b=4,c=3 【小问2详解】 解：向上或向下平移抛物线y=r+hx+c(a≠0) 六设平移后的抛物线为V=r-4+3+k 代入(0,0），得0=3+k,解得k=-3, 六平移后的抛物线的表达式为)=？-4x 21.己知关于x的一元=次方程-3x-m+m+1=0(m为常数). (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程有两个实数根，，且：+3+)=5 求的值. 【答案】(1) 证明：△=(-32-4x1×(-m2+m+1）=4m2-4m+5=(2m-)2+4>0 ∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)%=0,m=1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系 数的关系是解题的关键， (1)先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解： 第22页/共33页 6学科网 命组卷网 （2)先根据一元二次方程根与系数的关系求出+x,x,再整理(：+：+)=5 最后将 x+,代入整理后的方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：由根与系数的关系，得+五=3，x书2=-m2+m+1 (x+1(x2+1)=5,xx2+(x+x2)+1=5 ÷-m+m+1+3+1=5,即m-m=0,解得m=0,m=1 2如图，在平面直角坐标系中，已知△MBC的三个顶点都在格点上，坐标分别为1(2,4)，B(,2), C(5,3) 5 4 3 2 -5:-4-31-2:-10 1123415 (1)画出△ABC △4BC 关于原点O对称的 （2)将△ABC绕原点0顺时针旋转90°，符到△4，B,C,画出△4B,C并写出点B的对应点品的坐标 △4BC 【答案】(1)如图， 即为所求： (2) 第23页/供33页 6学科网组卷网 如图， △4，B,C2即为所求， B(2,-1) 4 B -5-4-31-2- 1213415x B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图. (1)根据中心对称的性质作图，即可得出答案 (2)根据旋转的性质作图，即可得出答案. 【小问1详解】 解：略。 【小问2详解】 解：略 2汉图.是0的直径，点C,D是90 上的点，且OD∥BC,AC分别与BD.O 相交于点E F (1)求证：点D为弧AC的中点； (2)若DF=4,AC=16⊙0 ,求 的直径 第24页/共33页 6学科网 命组卷网 【答案】(1) 证明：4B是O0 直径， .∠ACB=90°. .OD∥BC, .∠OFA=∠C=90°. .OF⊥AC, .4D=CD :点D为AC的中点 (2)20 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： (1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，由平行线的性质可得∠OFA=∠C=90°，从而可得 OF⊥AC 然后利用垂径定理即可解答： AF-1AC-8 (2)利用垂径定理可得“2 ,然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：OF⊥AC,DF=4,AC=16, :4-4c 2×16=8 第25页/供33页 学科网命组卷网 在Rt△MFO中，AO=AF2+OF2 .0A2=82+(OD-DF)2 :0A=64+(0A-42 .0A=10, ⊙0 20 的直径为 24.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元)，每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价 增加x元，每天售出y件 (1)请写出y与x之间的函数表达式： (2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ (3)设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 1 y=-。x+50 【答案】(1) (2)当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元(3)当x为20 时w最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】(1)根据题意列函数关系式即可； (2)根据题意列方程即可得到结论： w=-7(x-302+2450 (3)根据题意得到 ，根据二次函数的性质得到当x<30时，w随x的增大而增 大，于是得到结论 1 y=-5x+50 【详解】(1)根据题意得， 2 ②根意得，(40+分+50-250 第26页/供33页 6学科网命组卷网 解得：=50戈3=10 每件利润不能超过60元， .x=10 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元： (3)根据题意得， w=-(40+x+50+30+200-0x-30+2450 ..q=- <0 2 .当x<30时，w随x的增大而增大， 当x=20时，州增大=2400 答：当x为20时w最大，最大值是2400元 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键， 25.如图，抛物线=-2x2+x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点 D,已知A(-1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点 的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时， 四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 第27页/供33页 命学科网组卷网 D 3 【答案】(1)抛物线的解析式为：=-2x2+2x+2 3 35 35 (2)存在，P(2,4),P(2,2),P(2,-2) 13 (3)当点E运动到(2,1)时，四边形CDBF的面积最大，S四边形cD8F的面积最大=2. 【解析】 【分析】(1)将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、的值： (2)根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧 交对称轴于P1;以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P,P;作CH垂直于对称轴与点H,由等腰 三角形的性质及勾股定理就可以求出结论： (③)由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可 表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SABCD+S△cg+S△sEr可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就 可以求出结论， 【详解】解：(1)，抛物线=-2x2+x+n经过A(-1,0),C(0,2). 3 m=- 2 解得： n=2 第28页/共33页 6学科网 命组卷网 3 1 ∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+2: 3 (2)y=-2x2+2x+2, y P G P --H 0 D B P: 图1 3 25 1 =-2(x-2)2+8, 3 ∴…抛物线的对称轴是x=2. 3 ∴.0D-2. C(0,2), .0C=2 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 5 CD=2. '△CDP是以CD为腰的等腰三角形， .∴.CP1=CP2=CP3=CD 作CH⊥x轴于H, ∴.HP1=HD=2, 第29页/共33页 6学科网 命组卷网 ∴.DP1=4 3 3 5 35 .P1（2,4),P(2,2),P(2,-2); 1 (3)当=0时，0=-22+2x+2, ∴x1=-1,x2=4, B(4,0). 设直线BC的解析式为一+b,由图像，得 b=2 4k+b=0, 2 解得： b=2 ∴.直线BC的解析式为：y=-2+2. 3 如图2，过点C作CMLEF-于M,设E(a,-2at2),F(a,-2d+2at2), 3 :Bn-.3d+2at2.（-2at2)=.5+2a(0s4). :'S四边形csP-SARCD+SACEF+SABEF=2BDOC+2EFCM什2EP-BN, -2×2×2+2a(-2d+2a)+2(4-a)(-2+2a), =-a2+4t2(0x4). 13 =-(a-2)242 第30页/共33页 命学科网命组卷网 13 ∴.2时，S四边形CDBF的面积最大=2， ∴.E(2,1) G D N B 图2 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质：3、四边形的面积；4、二次函数的最值 26.(1)探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形1BC内部有-点P,者乙APB=1S0° 求证： AP2+BP2 CP2 证明：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B,则 △PAC≌AP'AB, :.PC=_. 连接PP',则aAPP'为三角形， .∠APP'=60°，PA=P'A=PP'. .∠APB=150°， .∠BPP'=∠APB-∠APP=150°-60°=90° ∴在 t△BPP 中，由勾股定理可得，PP+PB=一即PF+PB=PC (2)类比延伸 如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，三角形内部有一点P,若∠APB=135°，试判断线段PA, 第31页/供33页 6学科网命组卷网 PB PC 之间的数量关系，并证明. B B 4 图1 图2 【答案】(1)PB 等边： P'B2 (2) 2PA2+PB2 =PC2 证明：将△APC绕A点逆时针旋转0°，得到△APB,连接PP',则△APP为等腰直角三角形. B 图2 ·∠APP'=45°，PP'-V2PAPC=PB .∠APB=135° .∠BPP'=∠APB-∠APP'=90°， Pp+BP2=PB2 .2P4+PB2=PC2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理. 第32页/供33页 命学科网命组卷网 (1)如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B,则△PAC≌aP'AB,连接PP',则 △APP' BPP'=90° 为等边三角形，所以 ∠APP=60°PA=PA=PP.再计算出 接着利用勾股定 理得出PP+PB=P'B,即PA+PB=PC2, (2)将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△APB,连接PP',如图2，则△APP为等腰直角三角形， 所以∠MPP=45°，PP=2PA,PC=PB.再计算出∠BPP=0,则利用勾股定理得到 PP+BP=PB,从而得到2P+PP=PC 【详解】(1)略 (2)略 第33页/共33页 西宁市虎台中学九年数学阶段性检测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 4. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 10. 若实数，满足，则的值为________． 11. 若点和点关于原点对称，则的值为_______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是______． 14. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 15. 如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 16. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_____________． 17. 当时，二次函数有最大值，则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 23. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 24. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 26. （1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴______． 连接，则为______三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，______，即． （2）类比延伸 如图2，在等腰三角形中，，三角形内部有一点，若，试判断线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $