精品解析：青海省西宁市虎台中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

西宁市虎台中学九年数学阶段性检测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质． 本题考查圆的基本性质，包括等弧、弦、圆心角等概念，需要根据圆的性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解： ① 长度相等的弧必须是同圆或等圆中才称为等弧，故错误； ② 直径是圆中最大的弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等必须在同圆或等圆中才成立，故错误； ④ 平分弦的直径垂直于弦，必须弦不是直径才成立，故错误。 ∴ 正确的只有②，共1个， 故选：B． 3. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；把代入函数解析式求出y值即可判断C；根据二次函数的图象和性质可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； 把代入， 解得：，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， 且， 离对称轴越近越小，则，所以选项D符合题意， 故选：D． 4. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，根据题意求得的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴点在轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为，代入，得， 解得， ∴， 故选：． 5. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 6. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为直线， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤错误． 则正确的有①②，共2个， 故选：C． 7. 如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，作出辅助线构造圆内接四边形是解题的关键．连接，利用圆内接四边形的性质得到，再利用圆周角定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，二次函数图象的识别，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，过点A作于T，连接，可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，证明，得到，则可证明是等边三角形，进而可求出，当时，，则，当时，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于T，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数， ∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5. 考点：二次函数的定义． 10. 若实数，满足，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 11. 若点和点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：1． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，， 即当或时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是或． 故答案为：或 14. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OA，OC，作OD⊥AC于D，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，OB，作OD⊥AC于D， ∵∠AMN＝40°， ∴∠AON＝80°， ∵B为弧AN的中点， ∴∠AOB＝∠NOB＝40°， 由对称可知，∠CON＝∠NOB＝40°， ∴∠AOC＝120°， ∵MN＝2 ∴OA＝OC＝1， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴OD＝， ， AC＝2CD＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置，求出∠AOC的度数是解决本题的关键． 17. 当时，二次函数有最大值，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 18. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意求出的坐标，发现4次一循环，那么得到点的坐标与点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得，，即， ∵取点B关于原点的对称点C， ∴， ∵点C绕原点顺时针旋转得到点 ∴， 同理，由题意得，， 由旋转得：， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上操作可求：，，， 发现4次一循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一样为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质等知识点，找出点的变化规律是解题的关键． 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ， ， 或， 解得：． 20. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． 【小问2详解】 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系，得． ， ，即，解得． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 23. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 24. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【解析】 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 26. （1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴______． 连接，则为______三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，______，即． （2）类比延伸 如图2，在等腰三角形中，，三角形内部有一点，若，试判断线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；等边； （2）． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形． ∴，，． ∵． ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理． （1）如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，则，连接，则为等边三角形，所以，．再计算出，接着利用勾股定理得出，即； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图2，则为等腰直角三角形，所以，，．再计算出，则利用勾股定理得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市虎台中学九年数学阶段性检测试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知二次函数的与的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（ ） … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 4. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，点A、B、C、D、E在上，且的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______. 10. 若实数，满足，则的值为________． 11. 若点和点关于原点对称，则的值为_______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是______． 14. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 15. 如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 16. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为_____________． 17. 当时，二次函数有最大值，则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 23. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 24. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 25. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 26. （1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴______． 连接，则为______三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，______，即． （2）类比延伸 如图2，在等腰三角形中，，三角形内部有一点，若，试判断线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $