专题 4.2 一元一次方程及其解法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 一元一次方程及其解法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一元一次方程定义 1 【题型1】一元一次方程的判断（基础★） 1 【知识点二】解一元一次方程——移项 2 【题型2】合并同类项与移项（基础★） 2 【知识点三】解一元一次方程——去括号 2 【题型3】解一元一次方程——去括号（基础★） 2 【题型4】解一元一次方程——去括号（多重括号）（提升★★） 3 【知识点四】解一元一次方程——去分母 3 【题型5】解一元一次方程——去分母（基础★） 4 【题型6】解一元一次方程——去分母（提升★★） 4 【知识点五】解一元一次方程的一般步骤 5 【题型7】解一元一次方程——去分母（方程中含有小数）（提升★★） 5 【题型8】解含参数一元一次方程（压轴★★★） 5 【题型9】解含绝对值的一元一次方程（压轴★★★） 6 二．同步练习​ 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点一】一元一次方程定义 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程. 特别指出：“元”指的是未知数；“次”指的是未知数的次数。 【题型1】一元一次方程的判断（基础★） 【例题1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知方程是关于的一元一次方程，求的值． 【小结归纳】构成一元一次方程满足条件：（1）首先是一个方程；（2）其次是必须只含有一个未知数；（3）未知数的指数是1；（4）分母中不含有未知数． 【知识点二】解一元一次方程——移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 【题型2】合并同类项与移项（基础★） 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． （2）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： （1）； （2）. 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）解方程： （1）； （2） 【特别提示】在解一元一次方程时，移项的目的是把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到另一边。 【知识点三】解一元一次方程——去括号 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为（为常数）的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 【题型3】解一元一次方程——去括号（基础★） 【例题3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，，则的值为 ． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期中）解方程，下面几种解法中，较简便的是（　　） A．先两边同乘4 B．先两边同乘 C．先去括号再移项 D．括号内先通分 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4】解一元一次方程——去括号（多重括号）（提升★★） 【例题4】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）解方程：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【特别提示】去括号时，常用的方法是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，有一些题型先去大括号，再去中括号，最后去小括号解题更加简单，这需要观察题型的结构特征。 【知识点四】解一元一次方程——去分母 在解一元一次方程时，如果方程中有分母，就在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，再去扣括号进行运算即可。 【题型5】解一元一次方程——去分母（基础★） 【例题5】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 （1）以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； （2）写出该方程正确的解答过程． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型6】解一元一次方程——去分母（提升★★） 【例题6】（24-25七年级上·山东日照·月考）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程与的解相同？ （2）佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【变式2】（2023七年级下·福建泉州·竞赛）已知关于的一元一次方程的解比关于的一元一次方程的解大，试求出的值． 【特别提示】去分母时，方程两边都乘以最小公倍数，一定不要漏乘。 【知识点五】解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【题型7】解一元一次方程——去分母（方程中含有小数）（提升★★） 【例题7】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程 （1） （2） 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 【题型8】解含参数一元一次方程（压轴★★★） 【例题8】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【变式1】．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【题型9】解含绝对值的一元一次方程（压轴★★★） 【例题8】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（湖北省宜昌五中教联体2025--2026学年上学期七年级期中数学试卷）已知是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．3 B． C． D．0 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小组活动中，淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解，规则是每人只能看前面一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图，接力过程中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．淇淇 B．嘉嘉 C．珍珍 D．乐乐 二、填空题 6．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 7．（25-26七年级上·河南郑州·月考）已知，求 ． 8．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）设，，且，则的值是 ． 9．（24-25七年级下·全国·期末）如果是方程 的解，则 ． 10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图是一组数值转换机，若输出结果为时，则输入的x的值为 ． 11．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为 三、解答题 13．（25-26七年级上·北京·期中）解方程： （1）； （2） 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1） （2）． 15．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 （1） （2） 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是1，则k的值是（   ） A． B． C．2 D． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若代数式的值与字母x的取值无关，则代数式的值为 ． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果是方程的解，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 10．（25-26九年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 12．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上的点，表示的数分别为，，为数轴上任意一点，表示的数为，若点到点，的距离之和为，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： （1） （2） 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1）． （2） 15．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛） （1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 16．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 一元一次方程及其解法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】一元一次方程定义 1 【题型1】一元一次方程的判断（基础★） 1 【知识点二】解一元一次方程——移项 3 【题型2】合并同类项与移项（基础★） 3 【知识点三】解一元一次方程——去括号 4 【题型3】解一元一次方程——去括号（基础★） 5 【题型4】解一元一次方程——去括号（多重括号）（提升★★） 7 【知识点四】解一元一次方程——去分母 10 【题型5】解一元一次方程——去分母（基础★） 10 【题型6】解一元一次方程——去分母（提升★★） 13 【知识点五】解一元一次方程的一般步骤 15 【题型7】解一元一次方程——去分母（方程中含有小数）（提升★★） 15 【题型8】解含参数一元一次方程（压轴★★★） 17 【题型9】解含绝对值的一元一次方程（压轴★★★） 19 二．同步练习​ 21 【基础巩固（16题）】 21 【能力提升（16题）】 28 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点一】一元一次方程定义 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程. 特别指出：“元”指的是未知数；“次”指的是未知数的次数。 【题型1】一元一次方程的判断（基础★） 【例题1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），据此求解即可． 解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知方程是关于的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义及解法，根据一元一次方程的定义可得，再进一步解方程即可． 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 【小结归纳】构成一元一次方程满足条件：（1）首先是一个方程；（2）其次是必须只含有一个未知数；（3）未知数的指数是1；（4）分母中不含有未知数． 【知识点二】解一元一次方程——移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 【题型2】合并同类项与移项（基础★） 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． （2）解方程：． 解：移项，得__________________________． 合并同类项，得_____________=_____________． 两边都除以_____________，得_____________． 【答案】（1），3，，4，2，2；（2），，，，，2 【分析】本题考查解一元一次方程．根据去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 解：（1）解方程：． 解：移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以2，得； （2）解方程：． 解：移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案． 解：（1）解： 解得； （2）解： 解得． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； 解：（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得， 系数化为1，得． 【特别提示】在解一元一次方程时，移项的目的是把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到另一边。 【知识点三】解一元一次方程——去括号 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为（为常数）的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 【题型3】解一元一次方程——去括号（基础★） 【例题3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【答案】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可求解． 解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 故答案为：，，，． 【点拨】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，建立方程，并正确求出方程的解是解题关键． 根据可得一个关于x的一元一次方程，解方程即可得． 解：∵，，， ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． ∴的值为． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期中）解方程，下面几种解法中，较简便的是（　　） A．先两边同乘4 B．先两边同乘 C．先去括号再移项 D．括号内先通分 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．观察方程可得先去括号，正好可以化分数为整数，再移项即可得． 解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 则在这些解法中，较简便的是先去括号再移项， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可． （2）（3）（4）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． 解：（1）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 【题型4】解一元一次方程——去括号（多重括号）（提升★★） 【例题4】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案． 解：． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选A 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解． 先将方程中的括号依次去掉，移项合并同类项，将x系数化为1，即可得解． 解：， ， 解得：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，是解题的关键． 运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1的方法解答即可．可先从外部去括号，使运算简便，（1），（3），（5）题，可方程两边乘一适当的数，兼顾去分母去括号，（2），（4）题出现了互为倒数，或分母能约尽的情况，用括号外的数直接乘即可． 解：（1）解：（1）∵， ∴两边乘2，得， 移项，得， 两边乘3，得， 移项，得， ∴， 系数化为1，得． （2）∵， ∴去中括号，得， 去小括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）∵， 两边乘2，得， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）∵ ∴去中括号，得，， 去小括号，得，， 移项，得， 合并同类项，得， 把x的系数化为1，得； （5）∵， ∴两边乘2，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【特别提示】去括号时，常用的方法是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，有一些题型先去大括号，再去中括号，最后去小括号解题更加简单，这需要观察题型的结构特征。 【知识点四】解一元一次方程——去分母 在解一元一次方程时，如果方程中有分母，就在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，再去扣括号进行运算即可。 【题型5】解一元一次方程——去分母（基础★） 【例题5】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 （1）以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； （2）写出该方程正确的解答过程． 【答案】（1）三，移项时没有变号；（2）解答过程见分析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 解：（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 解：（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； 解：（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型6】解一元一次方程——去分母（提升★★） 【例题6】（24-25七年级上·山东日照·月考）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程与的解相同？ （2）佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 解：（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 【变式2】（2023七年级下·福建泉州·竞赛）已知关于的一元一次方程的解比关于的一元一次方程的解大，试求出的值． 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．分别用表示两个方程的解，根据的解比的解大得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 解：， 解得：， ， 解得：， ∵的解比的解大， ∴， 解得， ∴的值为． 【特别提示】去分母时，方程两边都乘以最小公倍数，一定不要漏乘。 【知识点五】解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【题型7】解一元一次方程——去分母（方程中含有小数）（提升★★） 【例题7】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，涉及分数和小数的转化、去括号、移项、合并同类项以及系数化为等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和相关运算法则是解题的关键． 先将方程中的分数和小数通过分子分母同时扩大一定倍数的方式化为整数，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为来求解． 解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 解：（1）解： 分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为为1：； （2）解： 分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得﹒ 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 解：（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 【题型8】解含参数一元一次方程（压轴★★★） 【例题8】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 【变式1】．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 【题型9】解含绝对值的一元一次方程（压轴★★★） 【例题8】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键．当时，解方程得；当时，解方程，得，但此时不满足，应舍去． 解：若，则， 解得， 此时，符合题意； 若，则， 解得， 此时，与假设不符， 所以不符合题意，舍去； 所以方程的解为：． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程． 根据绝对值的意义逐步化简即可． 解：， ， 或， 所以或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（湖北省宜昌五中教联体2025--2026学年上学期七年级期中数学试卷）已知是关于x的一元一次方程，则a的值是（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数 x 的指数必须为 1． 解：∵ 方程 是关于 x 的一元一次方程， ∴ x 的指数， ∴． 故选： A． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质和移项法则是解题的关键． 根据等式的性质和移项法则，对每个选项的方程变形进行判断． 解：∵ ，移项得， ∴ 选项A中不正确，故A选项符合题意． ∵ ，两边同乘得， ∴ 选项B正确，不符合题意． ∵ ，两边同除以得 ∴ 选项C正确，不符合题意． ∵ ，移项得 ∴ 选项D正确，不符合题意． 故选：A． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 4．（24-25六年级下·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）小组活动中，淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解，规则是每人只能看前面一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图，接力过程中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．淇淇 B．嘉嘉 C．珍珍 D．乐乐 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．逐一分析四个同学的解题步骤，即可得到答案． 解：方程，去分母得：，淇淇解析出现错误； 方程，去括号得：，嘉嘉解析正确； 方程，移项合并得：，珍珍解析正确； 方程，系数化1得：，乐乐解析正确； 故选：A． 二、填空题 6．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 解：解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南郑州·月考）已知，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 根据绝对值的非负性求出x，y的值，进而代入即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ， 故答案为：2021． 8．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）设，，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值，解一元一次方程，利用绝对值的性质把已知条件代入得出一元一次方程，然后解方程即可，正确利用绝对值的性质分析是解题的关键． 解：∵，，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·期末）如果是方程 的解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出k的值． 解：把代入方程， 得：， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图是一组数值转换机，若输出结果为时，则输入的x的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，解题的依据是正确列出方程． 根据转换机列出方程，再根据平方根的定义解答即可． 解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为 【答案】5 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解． 解：因为方程的解为， 所以方程满足，解得， 故答案为：5． 三、解答题 13．（25-26七年级上·北京·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项、合并同类项，再将系数化为即可； （2）先去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为即可． 解：（1）解： 移项、合并同类项得， 系数化为得，； （2）解： 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得，． 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程； （1）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可. 解：（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：. （2）解：，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 15．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 解：（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解法等知识，根据一元一次方程的定义求出m是解题关键． 解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以， 所以， 所以原方程为， 所以， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由题意解一元一次方程可得：，再根据代数式求值的知识，即可求解； 解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， ∵， 把代入，即， 故选：A； 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是1，则k的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 解：将代入可得： ， ， ， ． 故选B． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 二、填空题 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期中）若代数式的值与字母x的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的加减，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．直接去括号合并同类项，再利用关于含，项的系数为0，进一步即可得出答案． 解：， ， 代数式的值与字母的取值无关， ， 解得， ． 故答案为：9． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果是方程的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程解的意义，有理数的乘方，熟练掌握一元一次方能解的概念：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解是解决问题的关键．根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，从而得到关于的一元一次方程，求解该方程，再代入代数式即可求解． 解：∵是方程的解， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为： ． 10．（25-26九年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 11．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上的点，表示的数分别为，，为数轴上任意一点，表示的数为，若点到点，的距离之和为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离． 根据点到点，的距离之和为列出绝对值方程，进而分情况求解即可． 解：根据题意得：， 当时，化简得：， 解得：； 当时，化简得：， 该方程无解； 当时，化简得：， 解得：； 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解． 解：（1）解： 解得； （2）解： 解得． 14．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： （1）． （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 解：（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 15．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 【答案】（1）见分析；（2）当时，原方程有唯一解；当时，原方程的解为任意有理数；当时，原方程无解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出方程的解即可； （2）先将方程化简变为，分两种情况：当，当，进行求解即可． 解：（1）当时，方程的解为； 当时，方程的解为任意实数； 当时，方程无解 （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，并合并同类项得：， ①当，即时，方程有唯一解，解为； ②当，即时，方程可化为； 若，即时，方程总成立，方程的解为任意实数； 若，即时，方程不成立，方程无解； 综上所述：当时，原方程有唯一解； 当时，原方程的解为任意实数； 当时，原方程无解 16．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3） 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 解：（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $