专题 4.1 等式与方程（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 等式与方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等式与方程： 1 【题型1】等式与方程的判断 1 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 2 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 2 【知识点二】方程的解 2 【题型4】方程的解 2 【题型5】利用等式的基本性质解方程 3 【题型6】已知方程的解求参数 3 【题型7】列方程 3 【题型8】等式的基本性质实际应用 4 二．同步练习 4 【基础巩固（16题）】 4 【能力提升（16题）】 6 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点一】等式与方程： 像，这样,表示相等关系的式子叫作等式.像这样，含有未知数的等式叫方程. 【题型1】等式与方程的判断 【例题1】（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A． 方程的解是5 B．是方程 B． C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 【例题2】（23-24七年级上·青海海东·期末）若，则，依据是 ． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）方程从到变形的依据是 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么________； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 【例题3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知等式，依据等式的性质进行变形，不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【知识点二】方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.求方程的解的过程叫作解方程 【题型4】方程的解 【例题4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·月考）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 归纳：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 【题型5】利用等式的基本性质解方程 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程： （1）； （2）． 【题型6】已知方程的解求参数 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 【变式1】（25-26七年级上·四川自贡·期中）如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【变式2】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果是方程的解，则 ． 【题型7】列方程 【例题7】（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型8】等式的基本性质实际应用 【例题8】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【变式2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． （1）今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； （2）若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知，根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（24-25七年级下·山西晋城·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（18-19七年级上·全国·单元测试）某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么 ． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 ． 10．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 11．（18-19七年级上·浙江舟山·期末）若关于x的方程的解为，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 14．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； （1） （2） 15．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值． 16．（25-26六年级上·上海虹口·期中）【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 （1）某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ （2）小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 2．（湖北省宜昌五中教联体2025--2026学年上学期七年级期中数学试卷）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级上·浙江·竞赛）若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如果，那么 ． 8．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 9．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）方程与有相同的解，则的值为（ ） 11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 三、解答题 13．（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 14．（2023七年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． （1）； （2）． 15．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 等式与方程 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】等式与方程： 1 【题型1】等式与方程的判断 1 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 2 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 4 【知识点三】方程的解 5 【题型4】方程的解 5 【题型5】利用等式的基本性质解方程 6 【题型6】已知方程的解求参数 8 【题型7】列方程 9 【题型8】等式的基本性质实际应用 11 二．同步练习​ 12 【基础巩固（16题）】 12 【能力提升（16题）】 19 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点一】等式与方程： 像，这样,表示相等关系的式子叫作等式.像这样，含有未知数的等式叫方程. 【题型1】等式与方程的判断 【例题1】（2025七年级上·北京·专题练习）下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A． 方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 解：A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 【例题2】（23-24七年级上·青海海东·期末）若，则，依据是 ． 【答案】等式的性质（或等式的性质2） 【分析】本题考查的是等式的性质，利用等式的两边都除以同一个不为0的数，所得的结果仍为等式解答即可． 解：∵， 两边都除以：，， ∴， 故答案为：等式的性质2 【变式1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么________； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 【答案】（1），根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 ；（2）5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3），根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等；（4）2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等； 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）（2）根据等式的性质1，即可解答； （3）（4）根据等式的性质2，即可解答； 解：（1）如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 【例题3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质；由题意可根据等式的性质进行排除选项． 解：A、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； D、若，则或，原变形不正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得． 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立；等式性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个非零数，等式仍成立．根据等式的基本性质，选项A、B、C均不符合等式性质，只有选项D正确运用性质2． 解：对于A：∵等式两边应同时加1，得，∴由得错误，不符合题意； 对于B：由得或，原变形错误，不符合题意； 对于C：由得，原变形错误，不符合题意； 对于D：由得，符合等式性质2，正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知等式，依据等式的性质进行变形，不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可． 解：已知等式， 那么，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 由得，则C不符合题意； 由得，则D符合题意； 故选：D． 【知识点二】方程的解 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.求方程的解的过程叫作解方程 【题型4】方程的解 【例题4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·月考）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把代入各个方程进行验证即可． 解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意； 故选D． 【变式2】 （24-25八年级下·上海青浦·期末）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 归纳：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 【题型5】利用等式的基本性质解方程 【例题5】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． （1）； （2）． 【答案】（1）是原方程的解；（2）是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 解：（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 【变式1】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质及其计算是解题的关键． 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 解：A、，等式两边同时加上5得，，故原选项错误，不符合题意； B、，等式两边同时除以5得，，故原选项错误，不符合题意； C、，等式两边同时除以得，，故原选项错误，不符合题意； D、，等式两边同时减去3得，，正确，符合题意； 故选：D ． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了等式的基本性质解一元一次方程 （1）（2）根据等式的性质，即可求得； 解：（1）解：两边都减，得， 两边都除以，得 ； （2）解：两边都加，得 ， 两边都除以，得 ． 【题型6】已知方程的解求参数 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 把代入原方程中求出，整体代入即可得到答案． 解：因为是关于的方程的解， 所以把代入，得， 所以． 【变式1】（25-26七年级上·四川自贡·期中）如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于a和b的关系式，然后整体代入求值即可． 解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查已知一元一次方程的解，求参数；把代入方程中，计算求解即可． 解：∵是方程的解， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【题型7】列方程 【例题7】（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）一系列方程，第1个方程是，解为；第2个方程是，解为；第3个方程是，解为，，根据规律，第10个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解方程的运用，根据题目中方程的变化规律，即可求解，理解数量关系，找出规律是解题的关键． 解：第1个方程是，解为， 第2个方程是，解为， 第3个方程是，解为， ， 根据规律，第个方程为，解为， ∴第10个方程是，解为， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 【答案】，， 【分析】此题考查了列方程．根据三角形的周长、三角形内角和定理、直角三角形的面积公式分别列方程即可． 解：如图（1），由题意可得，， 如图（2），由题意可得，， 如图（3），由题意可得，， 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 【题型8】等式的基本性质实际应用 【例题8】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 【变式2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． （1）今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； （2）若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 解：（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知，根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，关键是熟练应用； 对给定等式 进行变形，判断各选项是否正确，等式性质包括：等式两边同时加、减、乘、除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立. 解： ，两边同时减 得：，即：选项A错误； ，两边再同时除以得：，选项B正确； 由两边同时减得：，选项C错误； 由两边同时乘以得：，选项D错误. 故选：B 3．（25-26七年级上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西晋城·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．根据方程解的定义，将代入各选项方程，验证是否成立． 解：A. 方程左边：，右边为6，，不成立． B. 方程左边：，右边为，，不成立． C. 方程左边：，右边为，，成立． D. 方程左边：，右边为0，，不成立． 故选：C． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数． 解：∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得：， ∴， ∴， ∴， 故被污染的常数是3． 故选：C． 6．（18-19七年级上·全国·单元测试）某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点拨】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 8．（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．通过等式性质，将方程两边同时乘以，求解即可． 解： ， ； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 11．（18-19七年级上·浙江舟山·期末）若关于x的方程的解为，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了方程的解．把代入得到关于m的方程求解即可． 解：把代入可得：， 解得：． 故答案为：5． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）利用等式的基本性质进行计算即可； （2）利用等式的基本性质进行计算即可． 解：（1）解：等式两边都加上，得， 即， 等式两边都乘，得， 即． （2）解：等式两边都减去3，得， 即， 等式两边都乘，得， 即， 等式两边都加上，得， 即． 14．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程； （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据等式的基本性质对方程进行变形求解． （1）通过等式两边同时除以未知数的系数求解； （2）先根据等式性质化简，再求解未知数． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 15．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 解：由题意知，， 整理得，， ∴． 16．（25-26六年级上·上海虹口·期中）【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 （1）某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ （2）小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【答案】（1）117；（2）20 【分析】本题主要考查了方程的应用． 对于（1），根据目标心率等于最大心率乘以计算； 对于（2），设他的年龄为x岁，根据题意列出方程，求出解． 解：（1）解：（次/分钟）， 所以，她的目标心率为117次/分钟； （2）解：设他的年龄为x岁，根据题意，得 ， ， ， 所以，他的年龄是20岁． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 解：A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 2．（湖北省宜昌五中教联体2025--2026学年上学期七年级期中数学试卷）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立．据此逐项判断即可． 解：A：等式两边加3，得，正确； B：等式两边乘2，得，正确； C：∵ ，分母恒不为零，等式两边除以，成立； D：当时，恒成立，但a与b可能不相等，故不正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 4．（2023九年级上·浙江·竞赛）若正整数满足方程，则这个方程的解的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，正整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由为正整数，推出，那么，那么可得到的取值，从而得出答案． 解： 为正整数， ， 正整数满足方程， ， ， 当时，，解得，符合题意； 那么满足这个方程的解只有一组， 故选：A ． 5．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等是解答此题的关键． 根据题意，可知第一个等式等号右边为，第二个等式等号右边为，因为，所以等号两边同时加． 解：两边同时加，得； 故答案为： 8．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 9．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，代数式的值，先把代入原方程可得：，再整体代入代数式求值即可． 解：∵是方程的一个解， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）方程与有相同的解，则的值为（ ） 【答案】4 【分析】本题考查了解方程和方程的解，方程与有相同的解，则这两个方程中x的值相同，所以根据等式的基本性质，求出方程中x的值，再把x的值代入方程中，再根据等式的基本性质即可求出M的值． 解： 把代入，得到 ∴， 故答案为：4． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可． 解：把代入方程， ， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义等知识，，掌握相关知识是解题的关键．首先求出方程的解为，根据相反数的定义得到方程的解为，代入求解即可． 解：， 解得：， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解是， 把代入方程，得：， 解得：． 14．（2023七年级上·全国·专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． （1）； （2）． 【答案】（1）是；（2）不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 解：（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点拨】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 15．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查等式的基本性质， （1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； （2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论； （3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论； （4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； 解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 解：（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 解：（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $