专题3.4 空间向量在立体几何中的应用 (4大知识点+11大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.4 空间向量在立体几何中的应用 知识点一、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量 2.平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量 3.平面法向量的求法 要求一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,如果已有直线与平面垂直,那就直接得到平面 的法向量.如果没有明显直线与平面垂直,一般用待定系数法求法向量,其步骤如下: (1)设平面法向量为; (2)找出平面内的两个不共线向量 (3)根据法向量的定义建立方程组; (4)解方程组,取其中一个解,得到(因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,) 建立空间直角坐标系的注意点: 选取原点时,要以坐标计算简便为标准,要注意找到两两垂直且交于一点的三条直线 知识点二　判定空间中直线、平面的位置关系 1.线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 4.线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 5.线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 6.面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三、空间距离的计算 1.异面直线的空间距离 如图所示,是异面直线与的公垂线段,A 、B分别为a 、b上的 两点,令,则. 即 两异面直线与的距离. 2.点到平面的距离 如图,已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点,过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 因此. 3.两平行平面之间的距离 两平行平面间的距离转化为点到平面的距离来解决.在平面内取一点,通过求点到平面的距离,求得平面之间的距离. 知识点四、空间角的计算 1.异面直线所成角 若异面直线所成的角为,其方向向量分别为,则 (两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补) 2.直线与平面所成角 如图,直线与平面相交于点,设直线与平面所成的角为(的范围是______),直线的方向向量为,平面的法向量为,则. 3.平面与平面所成角 (1)定义:如图,平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角(两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角相等或互补). (2) 若平面的法向量分别是和,则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则. 注意:在利用向量法求二面角时,一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角. 知识点一、平面的法向量 题型01：空间直线的方向向量 【例1】已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【跟踪训练】 1．若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（3，2，1） 2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型02：平面法向量的求法 【例2】如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是（　　） A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1） 【跟踪训练】 1．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 2.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 3.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 知识点二、空间直线与平面的位置关系 题型03： 空间向量证明线面平行关系 【例3】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【跟踪训练】 1．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 2.如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 3．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    题型04：空间向量证明线面垂直关系 【例4】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【例5】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点． 求证：平面MND⊥平面PCD； 【跟踪训练】 1．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 3.在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    4.如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 知识点三、求距离 题型05：点面距离 用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式、 【例6】在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【例7】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【跟踪训练】 1.如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 题型06：线面距离 【例8】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 题型07： 点线距离 用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 【例9】已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离． . 【例10】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2.如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    证明，并求直线到直线的距离. 题型08：异面直线的距离 用向量法求异面直线的距离： ①确定两异面直线的方向向量，求与两者都垂直的公垂向量； ②在两直线上各取一点，得连接两点的向量；③代入距离公式 【例11】已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 【跟踪训练】 1．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 2.如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； 知识点四、求角的大小 题型09：异面直线所成的角及其他量 用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 【例12】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例13】如图，在正四棱锥中，为的中点，. 已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则 . 【跟踪训练】 1．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 题型10：线面角及其他量 用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 【例14】在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2.在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型11： 二面角及其他量 用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 【例15】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） 【例16】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【跟踪训练】 1.如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 2.在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值．． 3.在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 一、填空题 1．若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为_____ 2．若（x，2y﹣1，）是平面α的一个法向量，且（﹣1，2，1），（3，，﹣2）与平面α都平行，则向量等于______ 4．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________ 5．已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若⊥，（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为_______ 6．在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a＝　　． 7.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为（﹣1，0，5），（t，5，1），则t的值为　　． 8.动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是　　． 9.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____. 10.如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______. 11．如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的有____________________. (1)当时，，，三点共线 (2)当时， (3)当时，平面 (4)当时， 12.已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为_______ 二、选择题 13．如图，在直四棱柱中，，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 14．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 15．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； 18.如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）与所成的角； （2）与平面所成的角； （3）二面角的大小． 19．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 20．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE； (2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角的大小. 21．如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上. （1）求证：BM⊥EF； （2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.4 空间向量在立体几何中的应用 知识点一、直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量 2.平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量 3.平面法向量的求法 要求一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,如果已有直线与平面垂直,那就直接得到平面 的法向量.如果没有明显直线与平面垂直,一般用待定系数法求法向量,其步骤如下: (1)设平面法向量为; (2)找出平面内的两个不共线向量 (3)根据法向量的定义建立方程组; (4)解方程组,取其中一个解,得到(因为有无数个,常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量,一般令,,) 建立空间直角坐标系的注意点: 选取原点时,要以坐标计算简便为标准,要注意找到两两垂直且交于一点的三条直线 知识点二　判定空间中直线、平面的位置关系 1.线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2.线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3.面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 4.线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 5.线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 6.面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三、空间距离的计算 1.异面直线的空间距离 如图所示,是异面直线与的公垂线段,A 、B分别为a 、b上的 两点,令,则. 即 两异面直线与的距离. 2.点到平面的距离 如图,已知平面的法向量为是平面内的定点,是平面外一点,过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 因此. 3.两平行平面之间的距离 两平行平面间的距离转化为点到平面的距离来解决.在平面内取一点,通过求点到平面的距离,求得平面之间的距离. 知识点四、空间角的计算 1.异面直线所成角 若异面直线所成的角为,其方向向量分别为,则 (两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补) 2.直线与平面所成角 如图,直线与平面相交于点,设直线与平面所成的角为(的范围是______),直线的方向向量为,平面的法向量为,则. 3.平面与平面所成角 (1)定义:如图,平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角(两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角相等或互补). (2) 若平面的法向量分别是和,则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则. 注意:在利用向量法求二面角时,一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角. 知识点一、平面的法向量 题型01：空间直线的方向向量 【例1】已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【跟踪训练】 1．若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（3，2，1） 【解答】解：由题意可得：直线l的一个方向向量 （2，4，6）， 又∵（1，2，3）（2，4，6）， ∴（1，2，3）是直线l的一个方向向量． 故选：A． 2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 题型02：平面法向量的求法 【例2】如图，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是（　　） A．（1，1，1） B．（﹣1，1，1） C．（1，﹣1，1） D．（1，1，﹣1） 【解答过程】解：在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 以D为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系， A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1）， （0，1，﹣1），（﹣1，0，1）， 设平面A1BC1的法向量是（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，1，1）， ∴平面A1BC1的法向量是（1，1，1）． 故选：A． 【跟踪训练】 1．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 2.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 【解答过程】解：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BDAD， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， 则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）． 设平面PAB的法向量为（x，y，z），则，即， 即，因此可取． 3.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 【解答过程】解：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD． ∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥AC． 又底面四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系． 、 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1）， D（0，2，0）． （0，2，0），（﹣2，0，1）， 设平面BPC的法向量为（x，y，z）， ∴，∴，取（1，0，2）． ∴平面BPC的一个法向量为（1，0，2）． 知识点二、空间直线与平面的位置关系 题型03： 空间向量证明线面平行关系 【例3】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 【跟踪训练】 1．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，若，则，所以，即，解得. 故选：B. 2.如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 3．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 题型04：空间向量证明线面垂直关系 【例4】如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 【例5】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点． 求证：平面MND⊥平面PCD； 【解题思路】作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得 、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为 （﹣2，﹣1，1）和 （0，1，1），算出 •0可得，从而得出平面MND⊥平面PCD； 【解答过程】证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直， 如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， M（1，0，0），N（1，1，1）， ∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2） 设（x，y，z）是平面MND的一个法向量， 可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1， ∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得（0，1，1）是平面PCD的一个法向量， ∵•2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴， 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD； 【跟踪训练】 1．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 2.已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，说明，即可. 【详解】因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以． 3.在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】借助直二面角性质可得面面垂直，再利用面面垂直的性质定理可得线面垂直及线线垂直，即可建立适当空间直角坐标系，得到直线、的方向向量，借助空间向量数量积为即可得证. 【详解】因为，为的中点，所以， 由二面角为直二面角，故平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以， 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， ，， 因为，所以． 4.如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 知识点三、求距离 题型05：点面距 用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式、 【例6】在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 【例7】如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 【跟踪训练】 1.如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 题型06：线面距 【例8】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 【跟踪训练】 1．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，由，得， 在中，，而， 由余弦定理，得，则， 即，由，得，则， 又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）连接，由分别为的中点，得，由（1）得平面， 由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由点在PD上，令， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，则，解得， 于是，而，则点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 题型07： 点线距 用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 【例9】已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故，故， 所以； （2），，， 点到直线的距离为 . 【例10】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 【跟踪训练】 1．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 2.如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    证明，并求直线到直线的距离. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． 题型08：异面直线的距离 用向量法求异面直线的距离： ①确定两异面直线的方向向量，求与两者都垂直的公垂向量； ②在两直线上各取一点，得连接两点的向量；③代入距离公式 【例11】已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【解析】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 2.如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 知识点四、求角的大小 题型09：异面直线所成的角及其他量 用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 【例12】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 【例13】如图，在正四棱锥中，为的中点，. 已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则 . 【答案】 【分析】连接、交于点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得结果. 【解析】连接、交于点，则， 因为四棱锥为正四棱锥，故底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， ，则， ，由已知可得， 整理可得，因为，解得，即. 故答案为： 【跟踪训练】 1．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 2.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 题型10：线面角及其他量 用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 【例14】在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 【跟踪训练】 1.在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体， 点分别是和的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 2.在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 题型11： 面面角及其他量 用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 【例15】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 【例16】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 【跟踪训练】 1.如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 2.在中，，，，过点作交于点，以为轴，将向上翻折使平面平面，连接，为线段的中点，为线段上一点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质以及直线与平面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面BCDE，平面平面， 且，又平面， ∴平面BCDE，又平面BCDE，∴， 又在中，，则， 又F为CE中点，故，且平面AEC， 则平面AEC. （2）由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分别以ED，EB，EA为x，y，z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 其中，，，，则，，， 不妨设，则， 再设，分别是面ADQ、面EDQ的法向量， 则分别满足与 令，，得到，． 由题意知，，解得，即． 3.在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，． (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大． 【解题思路】（1）利用线面垂直平面证明线线垂直、线面垂直平面证明线线垂直，然后再利用线面垂直平面证明线线垂直，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及，再求出两平面的法向量，利用公式求出余弦值，然后借助换元结合基本不等式，求出最值即可得解. 【解答过程】（1）因为平面，又平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 又为线段的中点，所以, 又,平面,平面, 所以平面,又平面, 所以. （2）如图，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系 不妨设， 则，， ，设， 则，解得， 设平面的法向量为， 则， 所以，取，则，即， 设平面的法向量为， 则，令，故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 令，则， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，． 一、填空题 1．若A（﹣1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3） B．（1，3，2） C．（2，1，3） D．（3，2，1） 【解答过程】解：由题意可得：直线l的一个方向向量 （2，4，6）， 又∵（1，2，3）（2，4，6）， ∴（1，2，3）是直线l的一个方向向量． 故选：A． 2．若（x，2y﹣1，）是平面α的一个法向量，且（﹣1，2，1），（3，，﹣2）与平面α都平行，则向量等于（　　） A．（） B． C． D． 【解答过程】解：因为（x，2y﹣1，）是平面α的一个法向量，且（﹣1，2，1），（3，，﹣2）与平面α都平行， 则，即， 解得， 所以． 故选：D． 4．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答过程】解：如，分别取BC，B1C1的中点M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1易证，MN⊥平面ABC． 连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直． 以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz： 由已知得：A（，0，0），C（0，−，0），C1（0，−，），B（0，，0）． 所以（，，0），（0，0，），（0，−1，）， 设平面ACC1A1的法向量为（x，y，z）， 所以，即， 令x＝1，则y，z＝0，故（1，−，0）． 设BC1与侧面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos|． 故选：D． 5．已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若⊥，（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　） A．，，4 B．，，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15 【解答过程】解：∵⊥， ∴3+5﹣2Z＝0，解得z＝4． ∴． ∵BP⊥平面ABC， ∴，． ∴化为， 解得． ∴，，z＝4． 故选：B． 6．在空间中，已知平面α过点（3，0，0）和点（0，4，0）及z轴上一点（0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面xOy上的夹角为45°，则a＝　　． 【解答过程】解：如图，设A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），则： 在Rt△OAB中，OA＝3，OB＝4； ∴AB＝5； 过O作OD⊥AB，垂足为D，并连接CD，则：3•4＝5•OD； ∴OD； ∵OC⊥平面OAB，OD⊆平面OAB，且OD⊥AB； ∴根据三垂线定理得：CD⊥AB； ∴∠ODC是平面ABC和平面OAB所成二面角的平面角，根据题意知该角为45°； ∴OC＝OD； ∴． 故答案为：． 7.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为（﹣1，0，5），（t，5，1），则t的值为　　． 【解题思路】先根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，则•0，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积得到等式，解之即可． 【解答过程】解：∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量与平面β的法向量垂直 ∴•0即﹣1×t+0×5+5×1＝0 解得t＝5 故答案为：5 8.动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是　　． 【解答过程】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1） ∴（1，1，﹣1），∴（λ，λ，﹣λ）， （﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）， （﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）， 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0， ∴0，∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得λ＜1 因此，λ的取值范围是（，1） 故答案为：（，1） 9.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为____. 【答案】 正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，. 设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，， 得，令x=2，则z=6，y=-7，∴， 设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===. 故答案为：. 10.如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 以为原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，. 设，则的方向向量 设平面的法向量，，，， ，即，取，则 若平面，则 即，则. 又 即 ，， ，即. 故答案为： 11．如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的有____________________. (1)当时，，，三点共线 (2)当时， (3)当时，平面 (4)当时， 【答案】(1) (3) (4) 【详解】 解：在长方体中，连接，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，则，，，，，，，，则，，． 对于A选项，当时，为线段的中点，则，，，则，所以，，三点共线，(1)选项正确； 对于(2)选项，设，，由，可得，解得，所以，，所以，所以与不垂直，(2)选项错误； 对于(3)选项，当时，，又，所以，又，，所以，因为平面，所以平面，(3)选项正确； 对于(4)选项，当时，，所以，又，所以，(4)选项正确， 故选：(1) (3) (4)． 12.已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为_______ 【解答过程】解：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则 E（2，0，0），B′＝（3，0，3），D′＝（0，3，3），设 P（x，3，z）， 则 ， 由正方体的性质可知平面ABCD的一个法向量为， 平面CC′D′D的一个法向量为， 设平面EPB′的法向量为， 则，即， 取c＝1，则 ， 所以，又因为平面B′EP与平面ABCD和平面CC′D′D所成的角相等， 所以，即， 又即 ，即或， ①当，即， 因为x∈[0，3]，所以z∈[﹣9，0]，又z∈[0，3]，所以z＝0， 此时， ②当，即， 因为x∈[0，3]，所以z∈[﹣3，6]，又因为z∈[0，3]，所以z∈[0，3] 此时 当时，不等式取等号．综上所述，PD′的最小值为 ． 二、选择题 13．如图，在直四棱柱中，，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 解：如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，显然为面的一个法向量， 因为平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，所以 所以 所以，所以当时，取得最大值 故选：C 14．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 15．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系， 依题意，设，，设，，故， 又，异面直线与成的角，故， 即，即，，故，又，故. 故选：B. 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 异面直线PQ与AD成的角， ， ， ， 即，解得， ， 可得. 故选：C. 三、解答题 17．在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】 （1）取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18.如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）与所成的角； （2）与平面所成的角； （3）二面角的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）π－﹒ 【解析】（1）设AB＝1，作AO⊥BC于点O，连DO， ∵和所在的平面互相垂直，及可知OD，OC，OA两两垂直， 故以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： O(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，C(0，，0)，A(0，0，)， ，0，)，•，0，)•(0，1，0)＝0 ∴AD与BC所成角等于； （2）由(1)可知(0，0，1)为平面BCD的一个法向量 |cos|＝||＝|| ∴直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）设平面ABD的法向量为(x，y，1)则 (x，y，1)•(x，y，1)•(0，)＝0 (x，y，1)•(x，y，1)•(，0，)＝0 解得 x＝1，y， 则(1，，1) 显然(0，0，1)为平面BCD的法向量． 设二面角A﹣BD﹣C大小为θ，则 |cosθ| 又∵二面角A﹣BD﹣C为钝二面角， 因此，二面角的余弦为． ∴二面角大小为：π－﹒ 19．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）. 【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （II）由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； （III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 20．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE； (2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)60° (1)证明：连结，，交于点，连结， 底面是矩形，是的中点， 点是的中点，， 平面，平面， 平面； (2)解：在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，设， 则，2，，，0，，，0，，，2，， ，，，，2，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 直线与平面所成角为， ， 解得，，，2，，，2，，，0，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，，， 设二面角的大小为， 则， ， 二面角的大小为． 21．如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上. （1）求证：BM⊥EF； （2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M位于DG上，且. 【详解】 (1)证明　因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， 所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD， 又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1). 因为点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1). 可得＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)， 所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0， 所以BM⊥EF. (2)解：假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的法向量为， 因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)， 所以 所以 令z＝1，得x＝y＝1，所以为平面BEF的一个法向量， 所以， 因为直线MB与平面BEF所成的角为45°， 所以， 所以，解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，所以t＝3－4. 所以存在点M(0,0,3－4). 当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $