专题3.2 空间向量基本定理 (3大知识点+8大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.2 空间向量基本定理 知识点一、共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 知识点二、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 知识点三、共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较 共线向量基本定理 共面向量定理 空间向量基本定理 ⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa 如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 知识点一、空间向量共面的充要条件 题型一、判断空间向量共面 【例1】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【跟踪训练】 1.有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 题型二、 空间向量共面求参数 【例2】已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【例3】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【跟踪训练】 1.已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 2.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 3.在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 4.已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 5.已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 知识点二、空间向量基本定理 题型三、 空间向量的基底辨析 【例4】在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例5】若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列结论正确的是（ ） （A）也可以作为基向量． （B）空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示． （C）如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线． （D）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.{，，}＝是空间向量的一个基底，设，，，给出下列向量组：①{，，}，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（　　）组． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四、 用空间基底表示向量 【例6】如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 题型五、 空间向量基本定理求参问题 【例7】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　) A．，－ B．－，－ C．－， D．， 【跟踪训练】 1．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 3．如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．    知识点三、空间向量基本定理的应用 题型六、证明平行、共线、共面问题 【例8】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【例9】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【例10】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【例11】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型七、几何中的求夹角、证明垂直问题 【例12】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【例13】如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【例14】如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【例15】已知在空间四边形中，，，求证：． 题型八、空间基底法解决长度问题 【例16】如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【例17】已知平行六面体，底面是正方形，，， ，，，设，，． (1)用、、表示，； (2)求的长度． 【例18】如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 一、填空题 1.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则 2.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，用、、作为基底向量表示　　． 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则______ 4.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，若，则x＝　　，y+z 5.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 6.已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 7．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 8．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为______ 二、选择题 9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 10.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（　　） A．{，，} B．{，，} C．{，，} D．{，，2} 11．设构成空间的一个基底，下列说法不正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 12.如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（　　） A． B． C． D． 13.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP＝2D1P，若xyz，则x+y+z＝（　　） A． B． C． D．1 ．14.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若，且G，M，N三点共线，则x+y＝（　　） A． B． C． D． 15．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 三、解答题 16.四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 17.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值.19.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k=k=k=k. 求证:(1)点E,F,G,H共面; (2)直线AB∥平面EFGH. 20.如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1． （I）若G为△ABC的重心，，设，用向量a、b、c表示向量； （II）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1． 21．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.2 空间向量基本定理 知识点一、共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①上面①式叫做平面的向量表达式． 知识点二、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 知识点三、共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较 共线向量基本定理 共面向量定理 空间向量基本定理 ⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa 如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 知识点一、空间向量共面的充要条件 题型一、判断空间向量共面 【例1】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 【跟踪训练】 1.有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型二、 空间向量共面求参数 【例2】已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 【例3】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 2.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 3.在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 4.已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 5.已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 知识点二、空间向量基本定理 题型三、 空间向量的基底辨析 【例4】在三棱柱中，可以作为空间向量一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据三棱柱的性质和空间向量基底的定义逐个分析判断 【详解】对于A，因为向量，，是共面向量，∥，所以，，是共面向量，所以不能作为基底，所以A错误， 对于B，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以B错误， 对于C，因为，，这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以C正确， 对于D，因为，，是共面向量，所以不能作为基底，所以D错误， 故选：C 【例5】若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理，即若三个向量，，共面，则存在实数，，使得通过列方程组判断是否有解，来确定向量是否共面，一一判定选项即可. 【详解】对于A，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故A错误； 对于B，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故B错误； 对于C，若共面，则存在， 使， 则，显然无解，故不共面，故C错误； 对于D，若共面，则存在， 使， 则，解得，故共面，故D正确． 故答案为：D． 【跟踪训练】 1．下列结论正确的是（ ） （A）也可以作为基向量． （B）空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示． （C）如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线． （D）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 【答案】C 【详解】（A）错误．由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是，所以不能是基向量． （B）错误．当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． （C）正确．由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底． （D）错误．空间的基底是由三个不共面的向量组成的． 故答案为：C 2．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 3.{，，}＝是空间向量的一个基底，设，，，给出下列向量组：①{，，}，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（　　）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题设条件知，本题研究空间向量基底，可以作为空间向量基底的向量组需要满足不共线，即其中一个向量不能用另两个向量的线性组合表示出来， 【解答】解：∵{，，}＝是空间向量的一个基底，设，，， ①{，，}，不可以作为基底，因为， ②{，}，可以作为空间向量的基底，因为三向量不共面． ③{，，}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面； ④{，，}，此向量组也可以作为空间向量的一组基底，因为其中任意一个向量都不能用另两个向量的线性组合表示出来，三向量不共面． 综上②③④是正确的 故选：C． 题型四、 用空间基底表示向量 【例6】如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， . 故选：C 【跟踪训练】 1．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】 如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足 则 即： 故选：C. 2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，点N为BC中点，所以， 故 . 故选：B. 3．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 题型五、 空间向量基本定理求参问题 【例7】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　) A．，－ B．－，－ C．－， D．， 【答案】A 【分析】直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得. 【详解】由于， 所以. 故选：A 【跟踪训练】 1．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答. 【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则， 于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足. 故选：A 2．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法和减法即可求得. 【详解】因为，所以， 则， 所以． 故答案为：. 3．如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．    【答案】，，． 【分析】借助空间向量的线性运算即可解答. 【详解】因为 ， 所以，，． 知识点三、空间向量基本定理的应用 题型六、证明平行、共线、共面问题 【例8】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【例9】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【例10】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论. 【详解】（1）∵ ∴ （2）连接 ∵分别是的中点，∴. 又∵，∴， ∴，则四点共面. 【点睛】 【例11】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 题型七、几何中的求夹角、证明垂直问题 【例12】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【例13】如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【例14】如图，已知三棱锥中，，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点． (1)记用表示； (2)求异面直线AF和CE所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为F是CD的中点， 所以， 因为点E是AB的中点． 所以； （2）因为和都是边长为2的正三角形 ， 因为， 所以， 因为，所以，即， 所以， 又， ， 所以设所求角为θ，则． 【例15】已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 题型八、空间基底法解决长度问题 【例16】如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 【例17】已知平行六面体，底面是正方形，，， ，，，设，，． (1)用、、表示，； (2)求的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）首先用、、表示，再根据向量数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）解： ； 即， （2）解：因为 ，，，，，， 所以 所以，即 【例18】如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解. 【详解】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 一、填空题 1.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=　　　　　.  答案-1 解析=2x+3y+4z =-2x-3y-4z. 由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1. 2.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，用、、作为基底向量表示　　． 【解题思路】画出图形，根据空间向量的线性表示，用、和表示即可． 【解答过程】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，， 如图所示： 则． 故答案为：． 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则______ 【解题思路】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【解答过程】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 4.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，若，则x＝　　，y+z＝　　． 【解题思路】直接利用向量的加法求出结果． 【解答过程】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 如图所示： 由于， 所以， ， 由于， 所以x＝1，y＝z， 所以y+z． 故答案为：1；． 5.若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 6.已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 7．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 8．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为______ 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 二、选择题 9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断. 【解答过程】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 10.若{、、}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（　　） A．{，，} B．{，，} C．{，，} D．{，，2} 【解题思路】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果． 【解答过程】解：对于{、、}为空间的一组基底， 所以对于与共线，故选项A错误． 对于与共线，故选项B错误． 对于和不共线向量，所以可以作为基底，故选项C正确． 对于，所以不可以作为向量的基底，故选项D错误． 故选：C． 11．设构成空间的一个基底，下列说法不正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】B 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：B. 12.如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若，，，则向量（　　） A． B． C． D． 【解题思路】向量，由此能求出结果． 【解答过程】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点． ，，， ∴向量 ． 故选：A． 13.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP＝2D1P，若xyz，则x+y+z＝（　　） A． B． C． D．1 【解题思路】根据空间向量的基本定理进行分解即可． 【解答过程】解：∵BP＝2D1P， ∴2， 即2（）＝22， 即32， 即， 所以，，，所以． 故选：A． 14.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若，且G，M，N三点共线，则x+y＝（　　） A． B． C． D． 【解题思路】若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得成立，求出，从而，由此能求出结果． 【解答过程】解：若G，M，N三点共线， 则存在实数λ使得成立， 所以，可得，所以， 可得． 故选：B． 15．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 三、解答题 16.四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 17.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【解答过程】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 19.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k=k=k=k. 求证:(1)点E,F,G,H共面; (2)直线AB∥平面EFGH. 证明(1)∵,∴k+k=k. 而=k=k,∴+k. 又,∴=k. 同理,=k=k. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴, ∴,即. 又它们有同一公共点E, ∴点E,F,G,H共面. (2)由(1)知=k, ∴,即AB∥EF.又AB⊄平面EFGH, ∴AB与平面EFGH平行,即AB∥平面EFGH. 20.如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1． （I）若G为△ABC的重心，，设，用向量a、b、c表示向量； （II）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1＝O，求证：OE⊥平面ABC1D1． 【解题思路】（I）利用向量加法的三角形法则及重心的性质，将用基底表示，再在三角形A1AG中，将用基底表示； （II）连接C1E，AE，由已知证明△C1EA为等腰三角形，从而OE⊥AC1，同理可证明OE⊥BD1，最后由线面垂直的判定定理证明结论 【解答过程】解：（I）依题意， ∵G为△ABC的重心， ∴ 又∵ ∴[] （II）证明：连接C1E，AE， ∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1 ∴C1E＝AE， ∴△C1EA为等腰三角形 ∵O为AC1的中点， ∴OE⊥AC1 同理可证 OE⊥BD1 ∵AC1∩BD1＝O， ∴OE⊥平面ABC1D1． 21．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $