专题3.1 空间向量及其运算 (4大知识点+11大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.1 空间向量及其运算 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或． 3．表示法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为的向量 0 单位向量 模为的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b或∥ 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝＋＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c 减法 ＝－＝a－b 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三 空间向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2； (3)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； (4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝. 3．数量积的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 知识点四 共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 知识点一、空间向量概念的理解 题型一、空间向量的基本概念 【例1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】C 【详解】 A：零向量与它的相反向量相等，故错误； B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误； C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确； D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误； 故选：C 【例2】给出下列命题： (1)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； (2)向量a，b相等的充要条件是 (3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 其中正确的是________．(填序号) 【解析】　a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故(1)正确． 由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故(2)错误． ∵＝，∴||＝||且∥. 又A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形． 反之，在平行四边形ABCD中，有＝，故(3)正确． 【答案】　(1)(3) 【跟踪训练】 1.关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 2．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 解析：选D　A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. 3．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②若a≠b，则|a|≠|b|； ③两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 解析：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，②不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，③不正确．综上可知只有①正确． 答案：① 知识点二、空间向量的线性运算 题型二、空间向量的加减数乘运算 【例3】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简：　 　． 【分析】根据向量的加减的运算法则即可求出． 【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图，， 故答案为：， 【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题． 【跟踪训练】 1.若A，B，C，D为空间任意四个点，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知结合向量减法及减法的三角形法则即可直接求解． 【解答】解：． 故选：A． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 2.如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋.(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选D　①连接AC(图略)，(＋)＋＝＋＝； ②连接AD1(图略)，(＋)＋＝＋＝； ③连接AB1(图略)，(＋)＋＝＋＝. 即所给3个式子的运算结果都是. 4.如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1)－； (2)＋＋. 【解】　(1)－＝－＝＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 向量，如图所示． 5.在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各向量表达式： (1)＋＋； (2)(＋－)． 【解】　(1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||， 所以＝.又因为＝， 所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH， 则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝， 所以(＋－)＝＋－＝－＝. 题型三、 空间向量的线性表示 【例4】已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，用，，表示，则等于（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出． 【解答】解：∵点M为AB的中点，∴（）， ∵点N分别为OC的中点，∴， ∴（）． 故选：D． 【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题． 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 2.如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】类比平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则可求． 【解答】解：因为（）， ， ， ， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题． 3.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 题型四、 空间向量的线性表示求参数 【例5】如图，在空间四边形ABCD中，2，568，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若33，则λ＝　 　． 【分析】根据空间向量的线性运算，用、表示，从而求出λ的值． 【解答】解：空间四边形ABCD中，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G， 所以，； 所以 （568）（2） ＝﹣335， 所以λ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 【跟踪训练】 1.在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，，则x+y+z＝（　　） A．0 B． C．1 D．﹣1 【分析】由空间向量的线性运算得：（），得解． 【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点， 则（）， 又， 所以x＝﹣1，y， 所以x+y+z＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属简单题． 2.平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    3.如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．若xyz，则x+y+z等于（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解． 【解答】解： ， ∵xyz， ∴x＝﹣1，y＝1，z， ∴x+y+z 故选：C． 【点评】本题考查空间向量的线性运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题． 4.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则abc的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】由向量的线性运算求得，结合已知可求得a，b，c的值，从而得到abc的值． 【解答】解：如图，， 由， 可得a＝1，b，c， 所以abc． 故选：D． 【点评】本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题． 知识点三、向量共线的判定及应用 题型五、 空间向量共线 【例6】已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，若、、三点共线， 则，而无解，故A错误. 因为，若、、三点共线， 则，而无解，故B错误. 因为、、， 所以，即， 所以、、三点共线，故选C正确. 因为、、， 所以，若、、三点共线， 则，而无解，故D错误. 故选：C. 故D成立，故选：D. 2．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    题型六、 空间向量共线求参数 【例7】在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】由已知可得，．假设G与M，N共线，则存在实数λ使得，与比较可得． 【解答】解：，． 假设G与M，N共线，则存在实数λ使得， 与比较可得：，， 解得x＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则，属于基础题． 【跟踪训练】 1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 2．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 3.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 知识点四、空间向量数量积的运算 题型七、 空间向量数量积 【例8】已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． 【解】　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1 ＝1. 【跟踪训练】 1.如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 2.设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 3.已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则，所以 . 故选：D 4.空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解. 【详解】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 5.在正三棱锥中，，D，E分别是棱的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可说明，，，利用向量法即可求得答案. 【详解】依题意得，故， 则，则，同理，.    而D，E分别是棱AB，PC的中点， 则， 故 ， 则， 即异面直线PD与BE所成角的余弦值是， 故选：B 题型八、空间向量的模长 【例9】如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 【跟踪训练】 1. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以. 2.平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 3.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 题型九、空间向量的夹角 【例10】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2， ∴E为BC的中点，∴＝(＋)． ∵AA1＝，∴A1C＝2. ∵·＝(＋)·(－)＝||2＝1， ∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°， 即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 【答案】　C 【跟踪训练】 1.在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题设条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴. 故选：D. 2.如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值． 解：因为＝－， 所以·＝·－· ＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24. 所以cos〈，〉＝＝＝， 即OA与BC所成角的余弦值为. 3.已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    题型十、 投影向量 【例11】在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 【跟踪训练】 1．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 2．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解析】，，， ，， ，，. 故选：C. 题型十一、 空间向量数量积的最值与范围 【例12】设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解 【详解】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线． 【跟踪训练】 1.已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 2.已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 3．已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】如图所示，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1， 所以当点P在与正方体的面的中心时，PS取得最小值1，当点P顶点时，PS取得最大值，所以， ， 所以的取值范围为. 故答案为：. 一、填空题 1.在空间四边形中，化简_________ 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 2.在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则用向量，，表示向量　　． 【分析】（），由此能求出结果． 【解答】解：∵在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上， 且OM＝2MA，N为BC的中点， ∴（）． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3.行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若a2b3c，则abc＝　　． 【分析】由平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，则，与a2b3c比较，即可得出． 【解答】解：由平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1， 则，与a2b3c比较， 可得：a＝1，2b＝1，3c＝﹣1． 解得a＝1，b，c， 则abc． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. ，是两个不共线的空间向量，若2，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为　　． 【分析】先由求出，在根据A，C，D三点共线，得到，从而得到2﹣5k＝0，解出k即可． 【解答】解：∵2，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∴2﹣5k＝0，∴k， 故答案为：． 【点评】本题考查了三点共线和向量共线定理，考查了方程思想和计算能力，属基础题． 5.已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则________ 【分析】根据已知，设，结合向量不共面及基本定理有，求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以，可得，则. 6．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为________ 解析：选C　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝(||2＋||2)＝1， 7.已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可. 【详解】根据题意知，则， 所以. 故选：B 8.已知空间单位向量，，两两垂直，则_________ 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 9.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 【答案】 【分析】将用表示，再求出，得到. 【详解】因为， 所以 ， 则，    10. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值_________ 【分析】先求出，两边平方得到，求出的长；，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】，，，，，， ， ， ，，， ， ， ． 11.已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 12．如图，在三棱锥中，，，下列结论正确的有_____________ (1) (2)异面直线与所成角余弦值是 (3)若点是边上任一点，则为定值 (4)三棱锥体积是 【答案】(1) (3) (4) 【解析】 解：根据题意，可知， ， ， ，所以，故(1)正确； 分别取和的中点，，连接，，则，， ，， ， ， 则异面直线与所成角余弦值是，故(2)错误； 由于点是边上任一点，设， 则， 而，则，所以 的结果与无关， 即为定值，故(3)正确； 连接，由于是边长为的等边三角形， 则，所以 ， 在中，， 则，所以，而 ， 所以平面，即为三棱锥的高， 而， 所以，故(4)正确. 故选：(1) (3) (4) 二、选择题 13.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 14.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 15．已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量减法运算法则，得共线、共线，所以共线，继而得解. 【详解】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 16．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【解析】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 三、解答题 17．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 18．如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量，； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， ； (2) 【解析】 (1)如图，设正四面体棱长为1， 则， ； (2)由(1)知，，. 又. 设异面直线与所成角为， 则 . 19.如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B， 设αβγ，试求α，β，γ的值． 【分析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可； （2）通过，，表示，根据对应关系求出α，β，γ的值即可． 【解答】解　（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F， 使得D1F＝2FC1，连接EF， 则． （与相等的向量都对）…………（5分） （2） （）（） ， 所以α，β，γ． …………（10分） 【点评】本题考查了向量的线性运算，考查数形结合思想，是一道基础题． 20．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【详解】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 21.在三棱锥中，分别是的中点，且. (1)求. (2)已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得； （2）设，由、，应用向量数量积的运算律得关于的表示式，即可求最大值. 【详解】（1）由题意得 所以，所以； （2）①由题意， ， 由，得，设， 得 同理， 则 . 当时，取得最大值，且最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.1 空间向量及其运算 知识点一　空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或． 3．表示法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几个特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为的向量 0 单位向量 模为的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b或∥ 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝＋＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c 减法 ＝－＝a－b 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三 空间向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．数量积的性质 (1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2； (3)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； (4)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝. 3．数量积的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 知识点四 共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 知识点一、空间向量概念的理解 题型一、空间向量的基本概念 【例1】下列说法正确的是（ ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【例2】给出下列命题： (1)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； (2)向量a，b相等的充要条件是 (3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 其中正确的是________．(填序号) 【跟踪训练】 1.关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 3．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②若a≠b，则|a|≠|b|； ③两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 知识点二、空间向量的线性运算 题型二、空间向量的加减数乘运算 【例3】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简：　 　． 【跟踪训练】 1.若A，B，C，D为空间任意四个点，则（　　） A． B． C． D． 2.如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的有①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋.(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 4.如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1)－； (2)＋＋. 5.在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各向量表达式： (1)＋＋； (2)(＋－)． 题型三、 空间向量的线性表示 【例4】已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，用，，表示，则等于（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 2.如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四、 空间向量的线性表示求参数 【例5】如图，在空间四边形ABCD中，2，568，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若33，则λ＝　 　． 【跟踪训练】 1.在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，，则x+y+z＝（　　） A．0 B． C．1 D．﹣1 2.平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3.如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．若xyz，则x+y+z等于（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则abc的值等于（　　） A． B． C． D． 知识点三、向量共线的判定及应用 题型五、 空间向量共线 【例6】已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    题型六、 空间向量共线求参数 【例7】在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【跟踪训练】 1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 2．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 3.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点四、空间向量数量积的运算 题型七、 空间向量数量积 【例8】已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． 【跟踪训练】 1.如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 2.设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 3.已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4.空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 5.在正三棱锥中，，D，E分别是棱的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型八、空间向量的模长 【例9】如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【跟踪训练】 1. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 2.平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 3.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 题型九、空间向量的夹角 【例10】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【跟踪训练】 1.在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 2.如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值． 3.已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 题型十、 投影向量 【例11】在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 2．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型十一、 空间向量数量积的最值与范围 【例12】设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 2.已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 3．已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为 . 一、填空题 1.在空间四边形中，化简_________ 2.在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则用向量，，表示向量　　． 4. ，是两个不共线的空间向量，若2，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为　　． 5.已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则________ 6．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为________ 7.已知正方体的棱长为1，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 8.已知空间单位向量，，两两垂直，则_________ 9.在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 10. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值_________ 11.已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 12．如图，在三棱锥中，，，下列结论正确的有_____________ (1) (2)异面直线与所成角余弦值是 (3)若点是边上任一点，则为定值 (4)三棱锥体积是 二、选择题 13.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 14.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 15．已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 16．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 三、解答题 17．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 18．如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. (1)用，，分别表示向量，； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 19.如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1NC1B， 设αβγ，试求α，β，γ的值． 20．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 21.在三棱锥中，分别是的中点，且. (1)求. (2)已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $