3.1空间向量及其运算（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

第三章 空间向量及其应用 3.1空间向量及其运算 学习目标 教学重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量线性运算、数量积运算方法及应用 教学难点：空间向量运算的几何意义理解，空间向量与平面向量的联系与区别 理解空间向量概念，掌握其线性运算、数量积定义； 能进行空间向量的运算，并应用于简单问题； 体会空间向量对平面向量的推广，培养抽象概括与运算能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：空间向量概念的抽象； 逻辑推理：空间向量运算的推导； 直观想象：空间向量的几何意义及空间直观性理解； 数学运算：空间向量的线性运算、数量积运算。 新知引入 F1 F2 F3 图1 线缆同时受到来 自不同方向的支持力 图2 跳伞运动员同时受到 重力、风力、绳索牵拉力 图3 水平抬起钢板，钢板受 到来自不同方向上的作用力 思考：每个场景中的力都能用平面向量表示吗？ 新知引入 我们知道，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。在必修课程第8章中，我们讨论的是同一个平面中的有向线段所表示的向量。那么，我们能去掉这一限制，研究用空间任何有向线段表示的向量吗？ 问题1：我们可以仿照平面向量的定义和法则，探究空间向量。那么，你还记得平面向量的有关知识吗？ F1 F2 F3 新知引入 平面向量的概念 定义 既有大小又有方向的量叫做向量 长度/模 向量的大小叫做向量的长度（或模） 表示法 几何表示法 字母表示法 A B C D 用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 新知引入 几类特殊的平面向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为 共线向量 方向相同或相反的非零向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 新知引入 平面向量的线性运算 加法 减法 数乘 + + 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 ① ②当时，与同向； 当时，； 当时，与向. 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 新知探究 问题2：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.那么类比平面向量，你能给出空间向量的有关概念吗？ 长度/模 空间向量的大小叫做空间向量的长度（或模）记为. 表示法 几何表示法 字母表示法 用小写字母、等表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 A B 新知探究 空间向量的有关概念 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 规定长度为的向量叫零向量，记为 模长为的的向量叫单位向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量，的相反向量，记为 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在直线平行或重合 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 新知探究 辨析1：判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)将空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） (2)× 空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同． (3)× 缺少另一条件：方向相同． (1)× 缺少另一条件：长度相等． (4)× 它们的终点构成一个球面． 新知探究 思考：空间向量是如何运算的呢？能否把空间讨论向量的新问题，归结到平面上讨论？ a b a b O A B 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算.从而空间中任何只涉及一个或两个向量的运算、概念和相关性质，都可以直接运用平面向量有关结论。 新知探究 问题3：空间向量的加法结合律涉及三个向量，那么它还与平面向量一样吗？ 空间向量加法结合律涉及三个向量，它们可能不共面，但每一步加法都只涉及两个向量，可以用平面向量加法法则证明定律成立。 b c a a + b + c a + b b a a + b + c b + c c 典例精讲 例1：如图，在正方形中，为棱上任意一点，只考虑图上已作出线段所对应的向量，分别写出： （1）的相等向量，的负向量； （2）用另外两个向量的和或差表示； （3）用三个或三个以上的向量的和表示（举两个例子） 解：（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的负向量有、 （2），，， （3）， 练习巩固 练习1：如图,已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量. A B C D A1 B1 C1 D1 (1) (2) (3) (4) 小技巧： 一般地，对于三个不共面的向量以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量 典例精讲 例2：如图，在长方形中，点为棱的延长线上，且。设，，，试用、、的线性组合表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）； （2） （3）； （4） 新知探究 问题4：向量的数量积对向量加法的分配律也涉及三个向量，它们可能不共面，那么还能利用平面向量的结论解决吗？ 参考平面向量中分配率的证明，课下有兴趣的同学可以尝试给出空间向量情形的证明。 新知探究 问题4：空间向量可以转化为平面向量，那么你能写出向量的数量积定义、运算律及相关性质吗？ 练习巩固 辨析2：判断正误. (1)向量与的夹角等于与的夹角.（ ） (2)若，则或.（ ） (3)对于非零向量，，与相等.（ ） (4)若，且，则.（ ） (5)若均为非零向量，则是与共线的充要条件. （ ） 答案：×，×，×，×，×. 典例精讲 例3：如图，已知正方形的棱长为，是棱的中点。 （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的大小； （4）判断与是否垂直。 解：（1）由与，得 再根据向量数量积的定义，得 典例精讲 例3：如图，已知正方形的棱长为，是棱的中点。 （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的大小； （4）判断与是否垂直。 解：（2）因为， ， 并注意到，， 以及， 所以 典例精讲 例3：如图，已知正方形的棱长为，是棱的中点。 （3）求与的夹角的大小； （4）判断与是否垂直。 解：（3）由（1）类似的方法，可得。 又由、与两两互相垂直且模均为，得 从而， 所以， 典例精讲 例3：如图，已知正方形的棱长为，是棱的中点。 （3）求与的夹角的大小； （4）判断与是否垂直。 解：（4）由于，且，， ，因此 因此可知， 练习巩固 练习2：如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，求下列向量的数量积. (1)(2)(3)(4) 解：设 依题意得 (3) (4) 新知探究 问题4：平面向量垂直的充要条件在空间向量中适用，那么平面向量平行的充要条件在空间向量中是否也适用呢？ 共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 典例精讲 例4：底面是平面四边形的棱柱称为平行六面体，其特点是六个面都是平行四边形，且两两互相平行。如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且求证：、、三点共线。 证明：令，，，则 ，=， 所以， 又因为， 典例精讲 例4：底面是平面四边形的棱柱称为平行六面体，其特点是六个面都是平行四边形，且两两互相平行。如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且求证：、、三点共线。 所以 因此可知，，所以 因为点为与的公共起点，所以、、三点共线。 小结 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 小结 运算律 空间向量的数量积运算 夹角 数量积 常见题型 (交换律)；(分配律). 垂直 模长 夹角 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $